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高中数学必修一集合与函数的概念单元测试及答案解析


集合与函数的概念

高一数学必修一集合与函数的概念
一、 选择题 ( ) C.4 个 D.5 个 ) 1.集合 {a, b} 的子集有 A.2 个 B.3 个

2.设集合 A ? ?x | ?4 ? x ? 3? , B ? ?x | x ? 2? ,则 A ? B ? ( A. (?4,3) B. (?4, 2] C. (??

, 2]

D. (??,3) ) D. x 2 ? 6 x ? 10

3.已知 f ?x ? 1? ? x 2 ? 4x ? 5 ,则 f ?x ? 的表达式是( A. x 2 ? 6 x B. x 2 ? 8 x ? 7 C. x 2 ? 2 x ? 3

4.下列对应关系: ( ) ① A ? {1, 4,9}, B ? {?3, ?2, ?1,1, 2,3}, f : x ? x 的平方根 ② A ? R, B ? R, f : x ? x 的倒数 ③ A ? R, B ? R, f : x ? x2 ? 2 ④ A ? ??1,0,1?, B ? ??1,0,1?, f : A 中的数平方 C.③④ D.②③ 1 5.下列四个函数:① y ? 3 ? x ;② y ? 2 ;③ y ? x2 ? 2 x ?10 ;④ x ?1
?? x ( x ? 0) ? y?? 1 . ? ( x ? 0) ? ? x

其中是 A 到 B 的映射的是 A.①③ B.②④

其中值域为 R 的函数有 A.1 个 B.2 个



) C.3 个

D.4 个 )
5 2

? x 2 ? 1 ( x ? 0) y ? 6.已知函数 ,使函数值为 5 的 x 的值是( ? ? ?2 x ( x ? 0)

A.-2

B.2 或 ?

5 2

C. 2 或-2 (

D.2 或-2 或 ? )

7.下列函数中,定义域为[0,∞)的函数是 A. y ? x B. y ? ?2 x2

C. y ? 3 x ? 1

D. y ? ( x ? 1)2 )

8.若 x, y ? R ,且 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,则函数 f ( x) ( A. f (0) ? 0 且 f ( x) 为奇函数

B. f (0) ? 0 且 f ( x) 为偶函数

1

集合与函数的概念

C. f ( x) 为增函数且为奇函数 9.下列图象中表示函数图象的是
y y

D. f ( x) 为增函数且为偶函数 ( )
y y

0

x

0

x

0

x

0

x

(A)

(B)
n

(C )

(D) )

10.若 x ? R, n ? N * ,规定: H x ? x( x ? 1)( x ? 2) ????? ( x ? n ? 1) ,例如: (

H

4 ?4

? (?4) ? (?3) ? (?2) ? (?1) ? 24 ,则 f ( x ) ? x ? H x ? 2 的奇偶性为

5

A.是奇函数不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 二、 填空题 11.若

B.是偶函数不是奇函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 ,则 A ? B ?

A ? ?0,1,2,3?, B ? ?x | x ? 3a, a ? A?



12.已知集合 M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合 M∩N= ______________.

? x ? 1, x ? 1, f ? x? ? ? ?? x ? 3, x ? 1, 则 f ? f ? 4?? ? _____________ 13.函数
14.某班 50 名学生参加跳远、铅球两项测试,成绩及格人数分别为 40 人和 31 人,两项测试均不及格的人数是 4 人,两项测试都及格的有 __________________________人. 15.已知函数 f(x)满足 f(xy)=f(x)+f(y),且 f(2)=p,f(3)=q,那么 f(36)= _____________ . 解答题 16.已知集合 A=

?x1 ? x ? 7?,B={x|2<x<10},C={x|x<a},全集为实数集 R.

(Ⅰ)求 A∪B,(CRA)∩B; (Ⅱ)如果 A∩C≠φ ,求 a 的取值范围.

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集合与函数的概念

17.集合 A={x|x2-ax+a2-19=0} ,B={x|x2-5x+6=0} , C={x|x2+2x-8=0} . (Ⅰ)若 A=B,求 a 的值; (Ⅱ)若 ? A∩B,A∩C= ? ,求 a 的值.

2 18.已知方程 x ? px ? q ? 0 的两个不相等实根为 ? , ? .集合 A ? {? , ? } ,

B ? {2,4,5,6}, C ? {1,2,3,4},A∩C=A,A∩B= ? ,求 p, q 的值?

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集合与函数的概念

2 19.已知函数 f ( x) ? 2 x ?1 .

(Ⅰ)用定义证明 f ( x) 是偶函数; (Ⅱ)用定义证明 f ( x) 在 (??, 0] 上是减函 数; (Ⅲ)作出函数 f ( x) 的图像,并写出函数 f ( x) 当 x ?[?1, 2] 时的最大值与最 小值. y

o x

2 20.设函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1( a ? 0 、b ? R ) ,若 f (?1) ? 0 ,且对任意实数 x

( x ? R )不等式 f ( x) ? 0 恒成立. (Ⅰ)求实数 a 、 b 的值; (Ⅱ)当 x ?[-2,2]时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围.

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集合与函数的概念

高一数学必修一单元测试题(一)参考答案 一、选择题 CBACB AAACB 二、填空题 11.

?0,3?

12. {(3,-1)}

13. 0

14. 25

15. 2( p ? q)

三、解答题 16.解: (Ⅰ)A∪B={x|1≤x<10} (CRA)∩B={x|x<1 或 x≥7}∩{x|2<x<10} ={x|7≤x<10} (Ⅱ)当 a>1 时满足 A∩C≠φ 17.解: 由已知,得 B={2,3} ,C={2,-4} 2 2 (Ⅰ)∵A=B 于是 2,3 是一元二次方程 x -ax+a -19=0 的两个根, 由韦达定理知:
?2 ? 3 ? a ? 2 ?2 ? 3 ? a ? 19

解之得 a=5.

(Ⅱ)由 A∩B ? ? A ∩ B ? ? ,又 A∩C= ? , 得 3∈A,2 ? A,-4 ? A, 由 3∈A, 得 32-3a+a2-19=0,解得 a=5 或 a=-2 ? 当 a=5 时,A={x|x2-5x+6=0}={2,3} ,与 2 ? A 矛盾; 2 当 a=-2 时,A={x|x +2x-15=0}={3,-5} ,符合题意. ∴a=-2. 18.解:由 A∩C=A 知 A ? C 又 A ? {? , ? } ,则 ? ? C , ? ? C . 而 A∩B= ? ,故 ? ? B , ? ? B 显然即属于 C 又不属于 B 的元素只有 1 和 3. 不仿设 ? =1, ? =3. 对于方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两根 ? , ? 应用韦达定理可得 p ? ?4, q ? 3 . 19. (Ⅰ)证明:函数 f ( x) 的定义域为 R ,对于任意的 x ? R ,都有 f (? x) ? 2(? x)2 ?1 ? 2x2 ?1 ? f ( x) ,∴ f ( x) 是偶函数. (Ⅱ)证明:在区间 (??, 0] 上任取 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,则有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2x12 ?1) ? (2x22 ?1) ? 2( x12 ? x22 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) , ∵ x1, x2 ? (??,0] , x1 ? x2 ,∴ x1 ? x2 ? ?? x1 ? x2 ? 0, 即 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x) 在 (??, 0] 上是减函数. (Ⅲ)解:最大值为 f (2) ? 7 ,最小值为 f (0) ? ?1 . 20.解: (Ⅰ)∵ f (?1) ? 0 ∴a ? b ?1? 0

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集合与函数的概念

∵任意实数 x 均有 f ( x) ? 0 成立∴ ? 解得: a ? 1 , b ? 2 (Ⅱ)由(1)知 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1

?a ? 0 2 ?? ? b ? 4a ? 0

∴ g ( x) ? f ( x) ? kx ? x 2 ? (2 ? k ) x ? 1 的对称轴为 x ? ∵当 x ?[-2,2]时, g ( x) 是单调函数 k ?2 k ?2 ? ?2 或 ?2 ∴ 2 2 ∴实数 k 的取值范围是 (??,?2] ? [6,??) . 21.解:(Ⅰ)令 m ? n ? 1 得 f (1) ? f (1) ? f (1) 所以 f (1) ? 0
1 1 1 f (1) ? f (2 ? ) ? f (2) ? f ( ) ? ?1 ? f ( ) ? 0 2 2 2 1 所以 f ( ) ? 1 2

k ?2 2

(Ⅱ)证明:任取 0 ? x1 ? x2 ,则

x2 ?1 x1 x2 )?0 x1

因为当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,所以 f (

所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ?

x2 x ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) ? f ( x1 ) x1 x1

所以 f ( x) 在 ?0,??? 上是减函数.

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