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双曲线定义1


一 、 复 习 与 回 顾

1、椭圆的定义
F2 的距离之 平面内与两个定点 F1 , 和等于常数(大于 | F1F2 |)的点轨 迹叫做椭圆

2、椭圆的标准方程

x y ? 2 ?1 或 2 a b

2

2

y x ? ? 1 2 2

a b

2

2

二 平面内与两个定点F1,F2的距离的差 、 的绝对值 等于常数 2a (小于︱F1F2︱)的 双 点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; 曲 M 线 ② |F1F2|=2c ——焦距. 的 注意 1、 2a < |F1F2 | 双曲线 o F F 定 1 2 2 、2a= |F1F2 | 义 以F1、F2为端点两条射线
3、2a> |F1F2 | 不表示任何图像

三 、 1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴, 线段F1F2的中点为原点建立直角 双 y 坐标系 曲 设P(x , y),双曲线的焦 2.设点. 线 o 距为 2c ( c>0 ) ,F (-c,0),F (c,0) F 1 2 的 标 常数=2a 准 3.列式. |PF1 - PF2|= 2a 方 即 | (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 | = 2a 程
1

P

F2

x

4.代点化简.

三 、 双 曲 线 的 标 准 方 程

移项两边平方后整理得


cx ? a ? ?a
2

2 x ? c ? y ? ? 2

两边再平方后整理得
c2 ? a2 x2 ? a2 y2 ? a2 c2 ? a2 由双曲线定义知


?

?

?

?

2c ? 2a 即:c ? a ?c 2 ? a 2 ? 0
2 2 2 c ? a ? b ?b ? 0?代入上式整理得


x y ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 2 a b

2

2

四 、 标 准 方 程 应 用

判断下列方程是否表示双曲线,若 是,求出其焦点的坐标

x y x y (1) ? ? 1 (2) ? ?1 4 2 2 2 2 2 x y (3) ? ? ?1 (4)4 y 2 ? 9 x 2 ? 36 4 2
2 2

2

2

四 、 标 准 方 程 应 用

x2 y2 变式一:如果方程 2 ? m ? m ? 1 ? 1 表示双

曲线,求 m的取值范围.

变式二 : ( 2 ? m )( m ? 1 ) ? 0 分析 :由 2 2

x y ? ? 1 方程 2 ? 得 ??m m? 1 m 1 ? 2表示双曲线时,则

m ? ?1 或 m ? 2 m的取值范围是_________________.

五 、 典 型 例 题

例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0),双曲线上一点P到F1、F2的距 离的差的绝对值等于8,求双曲线的 标准方程. 解:根据双曲线的焦点在 x 轴上,设它的标准方程为
∵ 2a = 8, c=5 ∴ a = 4, c = 5

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 2 a b

∴ b2 = 52-42 =9 x2 y2 ?1 所以所求双曲线的标准方程为: ?

五 、 典 型 例 题

x y ? ? 1 1、已知 F1 , 的 F2 是椭圆 4 3 两个焦点,平面内一个动点 M 满足
| MF1 | ? | MF2 |? 2

2

2

则动点 M 的轨迹是( ) B.双曲线的一个分支 D. 一条射线

A.双曲线 C.两条射线

五 、 典 型 例 题

x y ? ? 1 F 2、过双曲线 4 左焦点 1 的 3

2

2

F2 直线交双曲线的左支于 M 、N 两点, 为其右焦点,则 | MF2 | ? | NF2 | ? | MN |? ___

五 、 典 型 例 题

1.△ABC一边的两个端点是B(0,6) 和C(0,-6),另两边所在直线的斜率 之积是 4 ,求顶点A的轨迹.
9

1、双曲线的定义

小 结 与 作 业

2、双曲线的标准方程及应用 3、求解双曲线的方程

五 、 典 型 例 题

练习:已知动圆 M 过定点 F2 (5,0) 与圆 2 2 F1 : ( x ? 5) ? y ? 36 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.

六 、 走 向 高 考

x2 y2 1.若双曲线 16 ? 9 ? 1上的点 P 到点 (5,0)的距离是15,则点 P 到点(?5,0) 的

距离是( ) A.7 B. 23 C. 5或25

D. 7或23

六 、 x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) F2 有相同的焦点F1、 走 a b 向 点 P 为椭圆与双曲线的公共点,则 高 | PF1 | ? | PF2 | 等于( ) 1 考 A. m ? a B. ( m ? a )
2

x2 y2 ? ? 1 ( m ? n ? 0) 和双曲线 2.若椭圆 m n

C. m ? a
2

2

D. m ? a

六 、 走 向 高 考

x2 y2 F2 是双曲线 ? ? 1 的两个 3.设F1、 9 16 焦点,点 P 在双曲线上,且 ?F1 PF2 ? 60?

求 ?F1 PF2 的面积______
2 y 2 ? 1 的左、 F2 是双曲线 x ? 4.设F1、 9 右焦点,若点 P 在双曲线上,且

PF1 ? PF2 ? 0 ,则 | PF1 | ? | PF2 |? ( )

A. 10 B. 2 10

C.

5

D. 2 5


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