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2012-2013第一学期高二期末考试文科数学试题及答案

时间:2013-01-25


2012 学年度第一学期高二年级期末教学质量检测

文科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在 答题卷上。 2、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷

选择题(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.“ x ? 0 ”是“ 3 x 2 ? 0 ”成立的 A.充分非必要条件
2

B.必要非充分条件

C.非充分非必要条件

D.充要条件

2.抛物线 x ? 4 y 的焦点坐标是 A. (1, 0 )
2

B. ( 0 ,1)
2

C. (

1 16

, 0)

D. ( 0 ,

1 16

)

3.圆 ( x ? 3 ) ? ( y ? 3 ) ? 8 与直线 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定

4.设 l 是直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列结论正确的是 A.若 l ∥ ? , l ∥ ? ,则 ? / / ? C.若 ? ⊥ ? , l ⊥ ? ,则 l ⊥ ? B.若 l / / ? , l ⊥ ? ,则 ? ⊥ ? D.若 ? ⊥ ? , l / / ? ,则 l ⊥ ?

5.已知命题 p: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0,则 ? p 是 A. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 C. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0
高二年级文科数学试卷

B. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 D. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0
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6.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 ? 的半圆面,则该圆锥的体积为
?
2
3? 3 2? 2 10 5 5 15 3

A.

B.
x
2

C.

D. 4 ?

7.已知椭圆

?

y

2

? 1 的离心率 e ?

,则 m 的值为
25 3

5

m

A. 3

B.

或 15

C. 5

D.

或3

8.如图,在正方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中, 直线 C 1 B 与 D 1 C 所成角为 A. 3 0
0

B. 4 5

0

C. 6 0

0

D. 9 0
2 3

0

D1 A1 D A
8 题图

C1 B1
正(主)视图 正视图

侧视图 侧(左)视图

C B
俯视图

9 题图

9.一个体积为 1 2 3 的正三棱柱的三视图如图所示, 则这个三棱柱的左视图的面积为 A. 6 3
x
2

B. 8
y b
2 2

C. 8 3
2

D. 1 2

10.已知双曲线

?

? 1 的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到

4

其渐近线的距离等于 A. 4 2 B.
5

C. 3

D.

5

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 11.若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直,则 a = 12. z 轴上一点 M 到点 A (1, 0 , 2 ) 与 B (1, ? 3,1) 的距离相等,则 M 的坐标为 13.设 M 是圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点,则 M 到直线 3 x ? 4 y ? 2 2 ? 0 的最长距
2 2

离是

,最短距离是
( 0 , ? 1)

14.已知点 P ? ? 2 ,1 ? , Q ? 3, 2 ? ,直线 l 过点 M 值范围是__________;

且与线段 P Q 相交,则直线 l 的斜率 k 的取 ..

高二年级文科数学试卷

第 2 页(共 4 页)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 12 分)如图,一几何体的正侧视图均为等腰三角形,俯视图为正方形。 (1)说出此几何体的名称,并画出其直观图(尺寸不作严格要求) ; (2)若此几何体的体积为
4 3 3

,求此几何体的表面积

2
正视图

2
侧视图

俯视图

16. (本小题满分 12 分)直线 l 经过两条直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 7 ? 0 的交点,且 满足下列条件,求直线 l 的方程。 (1)平行于直线 x ? y ? 5 ? 0 (2)垂直于直线 3 x ? y ? 2 ? 0

17. (本小题满分 14 分)已知命题 p : | m ? 1 |? 2 成立.命题 q : 方 程 x ? 2 m x ? 1 ? 0 有实
2

数根.若 ? p 为假命题, p ? q 为假命题,求实数 m 的取值范围.

高二年级文科数学试卷

第 3 页(共 4 页)

18. (本题满分 14 分) 如图,在正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)ABC—A1B1C1 中, F 是 A1C1 的中点。 求证: 1//平面 AFB1; (2) (1) BC 求证: 平面 AFB1⊥平面 ACC1A1。

C1 F A1 B1 C A B

2 2 2 2 19. (本题满分 14 分) 已知圆 C 1 : x ? y ? 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 , C 2 : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 4 ? 0 . 圆

(1)试判断两圆的位置关系; (2)直线 l 过点 ( 6 , 3 ) 与圆 C 1 相交于 A , B 两点,且 | A B | ? 2 6 ,求直线 l 的方程。

20. (本题满分 14 分)已知平面直角坐标系 xo y 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点 为 F ( ? 3 , 0 ) ,右顶点为 D ( 2 , 0 ) ,设点 A (1, )
2 1

(1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 P A 的中点 M 的轨迹方程; (3) 过原点 O 的直线交椭圆于 B , C 两点, ? A B C 面积的最大值, 求 并求此时直线 B C 的方程。

高二年级文科数学试卷

第 4 页(共 4 页)

2012 学年度第一学期高二年级期末教学质量检测

文科数学试卷参考答案
一、选择题(10× 5=50) 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 B 7 D 8 C 9 A 10 B

二、填空题(4× 5=20) 11. ?
2 3

12. ( 0 , 0 , ? 3 )

13.

4 (3 分),

2(2 分)

14.

? ? ? , ? 1 ? ? ?1, ? ? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)如图,一几何体的正侧视图均为等腰三角形,俯视图为正方形. (1)说出此几何体的名称,并画出其直观图(尺寸不作严格要求) ; (2)若此几何体的体积为 解: (1)此几何体为正四棱锥 它的直观图如下:
4 3 3

,求此几何体的表面积 …………2 分
正视图

2

P D A O B C

侧视图

2

俯视图

………………………………6 分

(2)设此几何体的高为 h ,则:
1 3 ?2 ?h ?
2

4 3

3 ? h ?

3

………………………………8 分 ………………………………10 分

侧面斜高:h ? ?

h ?1 ? 2
2 2
2

所以几何体的表面积: s ? 2 ? 4 ?

1 2

? 2 ? 2 ? 12

…………12 分

高二年级文科数学试卷

第 5 页(共 4 页)

16. (本小题满分 12 分)直线 l 经过两条直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 7 ? 0 的交点,且 满足下列条件,求直线 l 的方程。 (1)平行于直线 x ? y ? 5 ? 0 解:由 ?
?x ? 2y ?1 ? 0 ?x ? 3 ? ? ?2 x ? y ? 7 ? 0 ? y ? ?1

(2)垂直于直线 3 x ? y ? 2 ? 0 …………………………3 分 …………………………4 分 …………………………6 分 …………………………7 分

(1)依题意 l 的斜率 k ? ? 1 , 所以 l 的方程为: y ? 1 ? ? ( x ? 3) 即: x ? y ? 2 ? 0 (2)依题意 l 的斜率: k ? 所以 l 的方程为: y ? 1 ? ? 即: x ? 3 y ? 0
?1 3 1 3 ? ? 1 3



…………………………9 分 …………………………11 分 …………………………12 分

( x ? 3)

17、 (本小题满分 14 分)已知命题 p : | m ? 1 |? 2 成立.命题 q : 方 程 x ? 2 m x ? 1 ? 0 有实
2

数根.若 ? p 为假命题, p ? q 为假命题,求实数 m 的取值范围. 解: | m ? 1 |? 2 ? ? 2 ? m ? 1 ? 2 ? ? 3 ? x ? 1 即命题 p : ? 3 ? x ? 1
方 程 x ? 2 m x ? 1 ? 0 有实数根 ? ? ? ( ? 2 m ) ? 4 ? 0
2
2

…………………………4 分 …………………………6 分 …………………………8 分

? m ? 1或 m ? ? 1 ,即 q : m ? 1或 m ? ? 1

因为 ? p 为假命题, p ? q 为假命题 则 p 为真命题,所以 q 为假命题,
? q 为真命题, ? q : ? 1 ? m ? 1
??3 ? x ? 1 ??1 ? m ? 1

…………………………10 分 …………………………12 分

由?

? ?1 ? m ? 1

即 m 的取值范围是: ? 1 ? m ? 1
高二年级文科数学试卷

…………………………14 分
第 6 页(共 4 页)

18. (本题满分 14 分) 如图,在正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)ABC—A1B1C1 中, F 是 A1C1 的中点。 (1)求证:BC1//平面 AFB1;

C1 F A1 B1 O C

(2)求证:平面 AFB1⊥平面 ACC1A1。 证明: (1)连结 A1 B 交 A B 1 于点 O ,连结 O F
?

………1 分 ………2 分

正三棱柱 ABC—A1B1C1 中, A1 B 1 B A 是矩形

A
………3 分 ………4 分 ………6 分 ………7 分

B

? A1 O ? O B ,

又? A1 F ? F C 1 ,? F O / / C 1 B
? F O ? 平 面 F A B1 , B C 1 ? 平 面 F A B1 ? B C 1 / / 平 面 F A B1

(2)? A1 A ? 平 面 A1 B 1 C 1 ,? 平 面 A1 A C C 1 ? 平 面 A1 B 1 C 1
? A1 B 1 ? B 1 C 1 , A1 F ? F C 1 ? B 1 F ? A1 C 1 又 ? 平 面 A1 A C C 1 ? 平 面 A 1 B 1 C 1 ? A 1 C 1 ? B 1 F ? 平 面 A1 A C C 1

………………8 分 ………………9 分 ………………10 分 ………………11 分 ………………12 分 ………………13 分 ………………14 分

又? B 1 F ? 平 面 A B 1 F
? 平 面 A F B 1 ? 平 面 A1 A C C 1

( 说 明 : 证 明 B 1 F ? 平 面 A1 A C C1 时 , 也 可以 通 过 证 明 B 1 F 垂 直 于 两 相交 直 线
A1 A 与 A1 C 1 来完成)

高二年级文科数学试卷

第 7 页(共 4 页)

2 2 2 2 19 (本题满分 14 分) 已知圆 C 1 : x ? y ? 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 , C 2 : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 4 ? 0 . 圆

(1)试判断两圆的位置关系; (2)直线 l 过点 ( 6 , 3 ) 与圆 C 1 相交于 A , B 两点,且 | A B | ? 2 6 ,求直线 l 的方程。
2 2 2 2 解: (1)两圆可化为: C 1 : ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 1 0 , C 2 : ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 6

故两圆的圆心和半径分别为: C 1 ( 2 ,1), r1 ? 圆心距 | C 1 C 2 | ?
( 2 ? 1) ? (1 ? 1)
2 2

1 0 ; C 2 ( ? 1,1), r2 ? 4

………………2 分 ……………………3 分 ……………………4 分 …………………5 分 …………………6 分

? 3

? r1 ? r2 ? | C 1 C 2 |? r1 ? r2 ,

所以两圆相交 (2)设直线 l 的斜率为 k ,则 l 的方程为: y ? 3 ? k ( x ? 6 ) 即: k x ? y ? 6 k ? 3 ? 0
| 2k ? 1 ? 6k ? 3 | k
2

圆心 C 1 到 l 的距离:d ?

?

| ?4k ? 2 | k
2

……………………8 分

?1

?1

? d

2

?(

| AB | 2

) ? r1 ,所以: (
2 2

| ?4k ? 2 | k
2

) ? (
2

6 ) ? ( 10 )
2

2

……………………9 分

?1

解得:k ? 0 或 k ?

4 3

…………………………10 分 …………………………11 分
3 3 ( x ? 6 ) ,即: 4 x ? 3 y ? 1 5 ? 0 ……………13 分

当 k ? 0 时,直线 l 的方程为: y ? 3 ? 0 当k ?
4 3

时,直线 l 的方程为: y ? 3 ?

故直线 l 的方程为: y ? 2 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 1 5 ? 0

………………………14 分

20. (本小题满分 14 分)已知平面直角坐标系 xo y 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦 点为 F ( ? 3 , 0 ) ,右顶点为 D ( 2 , 0 ) ,设点 A (1, )
2
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1

(1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 P A 的中点 M 的轨迹方程; (3) 过原点 O 的直线交椭圆于 B , C 两点, ? A B C 面积的最大值, 求 并求此时直线 B C 的方程。 解: (1)设椭圆的方程为 由题意可知: c ? 故b ?
a ?c
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

3,a ? 2 ,

……………1 分 ……………2 分

?

4?3 ?1
x
2

所以椭圆的方程为:

? y

2

?1

……………3 分 ……………4 分

4

(2)设 P ( x 0 , y 0 ) , M ( x , y ) ,则有:
x0 ? 1 ? x ? ? ? x0 ? 2 x ? 1 2 ? ? ? 1 1 ? ? y0 ? ? ? y0 ? 2 y ? 2 ? 2 ?y ? ? 2



……………5 分

又因为:

x0 4

2

? y0 ? 1
2


( 2 x ? 1) 4
2

……………6 分
1 2

将②代入①得到点 M 的轨迹方程:

? (2 y ?

) ?1
2

……………7 分

(3)当直线 B C 的斜率不存在时,
S ?ABC ? 1 2 | B C |?x A ? 1 2 ? 2 ?1 ? 1

y
……………8 分

B F O C

当 B C 斜率存在时,设其方程为:设 y ? k x
?x 2 ? y ?1 ? 由? 4 ? x ? ? ? y ? kx ?
2

A D x

2 1 ? 4k
2

……………9 分

不妨设 B ( x 1 , y 1 ) , C ( x 2 , y 2 ) ,则

高二年级文科数学试卷

第 9 页(共 4 页)

| B C |?

( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 )
2

2

?

1? k

2

| x 2 ? x1 |? 4

1? k

2 2

1 ? 4k

……………10 分

|k ?

1 2

| ?

(k ? k
2

1 2

)

2

设点 A 到直线 B C 的距离为 d ,则: d ?
k
2

?1

?1

S ?ABC ?

1 2

| B C | ?d ?

1 2

?4

1? k

2 2

(k ? ?

1 2

)
2

2

k ? 2

2

? k ?
2

1 4

1 ? 4k

1? k

1 ? 4k

=2

1 4

?

?k 1 ? 4k
2

…11 分

当 k ? 0 时,S ? A B C ? 2

1 4

?1

……………12 分

当 k ? 0 时, S ? A B C ? 2

1 4

?

1 1 ?k ? 4(? k )

? 2

1 4

? 2

1 4

?

2

上式当且仅当

1 ?k

? 4 ( ? k ), 即 k ? ?

1 2

时,等号成立

……………13 分

综上可知, ? A B C 面积的最大值为 2 ,此时直线 B C 的方程为: y ? ?

1 2

x

…14 分

高二年级文科数学试卷

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