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10.2 用样本估计总体


10.2 用样本估计总体

一、选择题 1.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均值为 1,则样本方差为 ( ) 6 6 A. B. 5 5 C. 2 D.2 a+0+1+2+3 解析:由题可知样本的平均值为 1,所以 =1,解得 a=-1,所以样本 5 1 的方差为 [(-1-1)2+(0-1)2+ (1-1)2+(2-1)2+(

3-1)2]=2,故选 D. 5 答案:D 2.从一堆苹果中任取 10 只,称得它们的质量如下(单位:克): 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在[114.4,124.5)内的频率为( ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 4 解析:依题意得,样本数据落在[114.4,124.5)内的频率为 =0.4,选 C. 10 答案:C 3.如图所示是一样本的频率分布直方图,则由图形中的数据,可以估计众数与中位数 分别是( )

A.12.5 12.5 B.12.5 13 C.13 12.5 D.13 13 解析:根据频率分布直方图特点可知,众数是最高矩形的中点,由图可知为 12.5,中 0.5-0.2 位数是 10+ =13. 0.1 答案:B 4.若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和 平均数分别是( )

A.91.5 和 91.5 B.91.5 和 92 C.91 和 91.5 D.92 和 92 1 1 解析: 中位数为 (91 + 92) = 91.5 ;平均数为 (87 + 89 + 90 + 91 + 92 + 93 + 94 + 96) = 2 8 91.5. 答案:A 5.甲、乙两位同学在高三的 5 次月考中数学成绩统计如茎叶图所示,若甲、乙两人的 平均成绩分别是 x 甲,x 乙,则下列叙述正确的是( )

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A.x 甲>x 乙;乙比甲成绩稳定 B.x 甲>x 乙;甲比乙成绩稳定 C.x 甲<x 乙;乙比甲成绩稳定 D.x 甲<x 乙;甲比乙成绩稳定 1 1 解析:由题意可知,x 甲= ×(72+77+78+86+92)=81,x 乙= ×(78+88+88+91+ 5 5 1 2 90) = 87. 又由方差公式可得 s甲 = ×[(81 - 72)2 + (81 - 77)2 + (81 - 78)2 + (81 - 86)2 + (81 - 5 92)2]=50.4, 1 2 2 2 2 2 2 2 s2 乙= ×[(87-78) +(87-88) +(87-88) +(87-91) +(87-90) ]=21.6,因为 s乙<s甲, 5 故乙的成绩波动较小,乙的成绩比甲稳定.故选 C. 答案:C 6.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度(棉花 纤维的长度是棉花质量的重要指标 ),所得数据都在区间 [5,40]中,其频率分布直方图如图 所示,则在抽测的 100 根中,纤维的长度小于 20mm 的棉花根数为( )

A.20 B.30 C.40 D.50 解析: 由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于 20mm 的根数为 (0.01 + 0.01 + 0.04)×5×100=30(根). 答案:B 二、填空题 7.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为 10,6,8,5,6,则该组数据的方差 s2= __________. 10+6+8+5+6 1 解析:5 个数据的平均数 x = =7,所以 s2= ×[(10-7)2+(6-7)2+(8 5 5 2 2 2 -7) +(5-7) +(6-7) ]=3.2. 答案:3.2

8.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛,他们每场比赛得分的情况用 右图所示的茎叶图表示,若甲运动员的中位数为 a ,乙运动员的众数为 b ,则 a - b = __________. 解析:由茎叶图可知,a=19,b=11,∴a-b=8. 答案:8 9.某地区为了解中学生的日平均睡眠时间(单位:h),随机选择了 n 位中学生进行调 查,根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示,且从左到右的第 1 个、第 4 个、
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第 2 个、第 3 个小长方形的面积依次构成公差为 0.1 的等差数列,又第一小组的频数是 10, 则 n=________.

4×3 解析:设第 1 个小长方形的面积为 S,则 4 个小长方形的面积之和为 4S+ ×0.1, 2 4×3 由题意知,4S+ ×0.1=1,∴S=0.1. 2 10 又 =0.1,∴n=100. n 答案:100 三、解答题 10.在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 xn 表示编号为 n(n=1,2,?, 6)的同学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 1 2 3 4 5 编号 n 70 76 72 70 72 成绩 xn (1)求第 6 位同学的成绩 x6,及这 6 位同学成绩的标准差 s; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率. 解析:(1)∵这 6 位同学的平均成绩为 75 分, 1 ∴ (70+76+72+70+72+x6)=75, 6 解得 x6=90. 这 6 位同学成绩的方差 1 s2= ×[(70-75)2+(76-75)2+(72-75)2+(70-75)2+(72-75)2+(90-75)2]=49, 6 ∴标准差 s=7. (2) 从前 5 位同学中,随机地选出 2 位同学的成绩有: (70,76) , (70,72) , (70,70) , (70,72),(76,72),(76,70),(76,72),(72,70),(72,72),(70,72)共 10 种, 恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的有:(70,76),(76,72),(76,70),(76,72),共 4 种, 4 所求的概率为 =0.4, 10 即恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率为 0.4. 11.某电视台为宣传安徽,随机对安徽 15~65 岁的人群抽取了 n 人,回答问题“皖江 城市带有哪几个城市?”统计结果如图表所示:

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(1)分别求出 a,b,x,y 的值; (2)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,求第 2,3,4 组每组各抽取 多少人? (3)在(2)抽取的 6 人中随机抽取 2 人,求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率. 9 解析:(1)由频率表中第 4 组数据可知,第 4 组总人数为 =25,再结合频率分布直 0.36 25 方图可知 n= =100, 0.025×10 ∴a=100×0.01×10×0.5=5, b=100×0.03×10×0.9=27, 18 3 x= =0.9,y= =0.2. 20 15 (2)第 2,3,4 组回答正确的共有 54 人. 18 ∴利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,每组分别抽取的人数为:第 2 组: ×6=2 人, 54 27 第 3 组: ×6=3 人, 54 9 第 4 组: ×6=1 人. 54 (3)设所抽取的人中第 2 组的 2 人为 A1,A2;第 3 组的 3 人为 B1,B2,B3;第 4 组的 1 人为 C1. 则从 6 人中抽 2 人所有可能的结果有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1, C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B2,B3), (B2,C1),(B3,C1),共 15 个基本事件,其中恰好没有第 3 组人共 3 个基本事件,∴所抽 3 1 取的人中恰好没有第 3 组人的概率为 = . 15 5 12.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药,B 药)的疗效, 随机地选取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者在服用一段时间后,记 录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0 . 6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4

服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3 . 2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1. 6 0.5 1.8 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好? 得

0.6

2.1

1.1

解析:(1)设 A 药观测数据的平均数为 x ,B 药观测数据的平均数为 y .由观测结果可 1 (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+ 20 2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3. 1 y = (0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+ 20 2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6. x=
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由以上计算结果可得 x > y ,因此可看出 A 药的疗效更好. (2)由观测结果可绘制如下茎叶图:

7 从以上茎叶图可看出,A 药疗效的试验结果有 的叶集中在茎 2.,3.上,而 B 药疗效的 10 7 试验结果有 的叶集中在茎 0.,1.上,由此可看出 A 药的疗效更好. 10

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