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2代数式的恒等变形 讲义

时间:2013-11-30


有关恒等式的证明 一、知识要点 恒等式的证明分为一般恒等式的证明和条件恒等式证明, 对于一般恒等式的证明, 常常 通过恒等变形从一边证到另一边,或证两边都等于同一个数或式。在恒等变形过程中,除了 要掌握一些基本方法外,还应注意应用一些变形技巧,如:整体处理、 “1”的代换等;对于 条件恒等式的证明,如何处理好条件等式是关键,要认真分析条件等式的结构特征,以及它 和要证明的恒等式之间的关系。 二、例题精讲 例 1 求证:a1+(1-a1)a2+(1-a1)(1-a2)a3+?+(1-a1)(1-a2)?(1-a n-1)a n =1-(1-a1)(1-a2)?(1-a n-1)(1-a n)

例 2 证明恒等式

an a3 a1 a2 a2 a1 ? ??? ? ? ??? a 2 ?a1 ? a 2 ? a3 ?a 2 ? a3 ? a1 ?a n ? a1 ? a1 ?a1 ? a 2 ? a 2 ?a 2 ? a3 ? a n ?a n ? a1 ?
(第二十届全俄数学奥林匹克九年级试题)

a b c ? ? ?1 例 3 若 abc=1,求证 ab ? a ? 1 bc ? b ? 1 ca ? c ? 1

例 4 已知 bc=ad,求证:ab(c2-d2)=(a2-b2)cd

a b c ? ? ?1 例 5 已知 x=by+cz,y=cz+ax,z=ax+by,且 x+y+z≠0.证明: 1 ? a 1 ? b 1 ? c

x y z ? ? ?1 例 6 数 x、y、z 满足关系式 y ? z z ? x x ? y

x2 y2 z2 ? ? ?0 证明: y ? z z ? x x ? y

(第十六届全俄数学奥林匹克十年级试题)

例 7 已知 a+b+c=a2+b2+c2=2,求证:a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2

1 1 1 1 ? ? ? 例 8 设 a b c a ? b ? c ,证明
(1) a、b、c 三数中必有两个数之和为零;

1 1 1 1 ? n ? n ? n n b c a ? bn ? cn (2) 对任何奇数 n,有 a

例 9 已知 ad-bc=1,求证:a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1

1 1 1 n ?1 ? ??? ? 1? 2 ? 3 ??? n n ?1 例 10 证明: 1 ? 2 1 ? 2 ? 3


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