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高中数学必修二课件--第4章 4.2 4.2.3 直线与圆的方程的应用


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4.2.3 直线与圆的方程的应用

1.已知圆 C 与圆(x-1)2+y2=1 关于直线 y=-x 对称,则 圆 C 的方程为( C ) A.(x+1)2+y2=1 B.x2+y2=1

C.x2+(y+1)2=1
D.x2+(y-1)2=1

解析:半径相等,找

圆心的对称点即可.

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2.一个以原点为圆心的圆与圆 x2+y2+8x-4y=0 关于直 2x-y+5=0 线 l 对称,则直线 l 的方程为____________. 解析:直线 l 是原点和(-4,2)连线的垂直平分线. 3.已知 A 点是圆 x2+y2-2ax+4y-6=0 上任一点,A 点

关于直线 x+2y+1=0 的对称点也在圆上,那么实数 a 等于__. 3
解析:直线 x+2y+1=0 过圆心. 4.若直线 3x+4y+m=0 与圆 x2+y2-2x+4y+4=0 没有

(-∞,0)∪(10,+∞) 公共点,则实数 m 的取值范围是_____________________.

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重点

圆的切线与弦长

1.切线:

(1)过圆 x2+y2=R2 上一点 P(x0,y0)的切线方程是:xx0+ yy0
=R2,过圆(x-a)2+(y-b)2=R2 上一点 P(x0,y0)的切线方程是: (x-a)(x0-a)+(y-a)(y0-a)=R2,一般地,求圆的切线方程应抓 住圆心到直线的距离等于半径; (2)从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,

再根据相切的条件,运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于
半径)来求;

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(3)过两切点的直线(即“切点弦”)方程的求法:当过两切点

的切线有交点时,先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的
圆,该圆与已知圆的公共弦所在直线方程就是过两切点的直线

方程.当过两切点的切线平行时,切点弦就是已知圆的直径.
2.弦长问题:

1 圆的弦长的计算:常用弦心距 d,弦长的一半2a 及圆的半 1 2 径 r 所构成的直角三角形来解:r =d +(2a) .
2 2

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弦长问题 例 1:根据下列条件求圆的方程:与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 7 . 思维突破:研究圆的问题,既要理解代数方法,熟练运用解

方程思想,又要重视几何性质及定义的运用.

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解:∵圆与 y 轴相切,且圆心在直线 x-3y=0 上, 故设圆的方程为(x-3b)2+(y-b)2=9b2.

又∵直线 y=x 截圆得弦长为 2
?|3b-b|? ?2+( 则由垂径定理有? 2 ? ?

7,

7)2=9b2,

解得 b=±1. 故所求圆方程为 (x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9. 关于圆的弦长问题,可用几何法从半径、 弦心距、半弦所组成的直角三角形求解,也可用代数法弦长公 式求解.

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1-1.一直线经过点

? 3? ?-3,- ?被圆 x2+y2=25 P 2? ?

截得的弦

长为 8, 求此弦所在直线方程.

3 ? ? 解:当斜率 k 存在时,设所求方程为 y+2=k?x+3?,即 kx ? ? 3 -y+3k-2=0. 由已知,弦心距?OM?= 52-42=3, ? ?

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? 3? ?k· 0-0+3k-2? ? ?

k2+1

3 =3,解得 k=-4.

3 3? ? ∴此直线方程为 y+2=-4?x+3?, ? ?
即 3x+4y+15=0. 当斜率 k 不存在时,过点 P 的直线方程为 x=-3,

代入 x2+y2=25,得 y1=4,y2=-4.
弦长为|y1-y2|=8,符合题意. ∴所求直线方程为 x+3=0 或 3x+4y+15=0.

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切线问题 例 2:如图 1,自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线 m 所在直线与圆 C:x2+y2-4x-4y+7=0 相切,求光线 l 与 m 所在直线的方程.

图1

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解:圆 C:x2+y2-4x-4y+7=0 的标准方程为(x-2)2+(y -2)2=1,圆 C 关于 x 轴的对称圆 C′的方程为(x-2)2+(y+2)2 =1. 设光线 l 所在直线的方程为 y-3=k(x+3).

依题意,它是圆 C′的切线,从而点 C′到直线 l 的距离为

|5k+5| 3 4 1,即 =1,解得 k=-4或 k=-3. 1+k2
3 4 ∴光线 l 所在直线的方程为 y-3=-4 (x+3)或 y-3=-3
(x+3),即 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0.

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同理可求得过点 A′(-3,-3)的圆 C 的切线方程 3x-4y

-3=0 或 4x-3y+3=0,
即为所求光线 m 所在直线的方程. 解题时需注意的问题是:直线的点斜式适用

于斜率存在的情况,由图知此题中,入射光线所在直线应有两
条,若 k 只有一解,应考虑 k 不存在的情况.

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2-1.坐标平面上点(7,5)处有一光源,将圆 x2+(y-1)2=1 16 3 投射到 x 轴所得的影长为______. 解析:设过点(7,5)且与圆相切的直线方程为 y-5=k(x-7), 即 kx-y+5-7k=0,
? -1+5-7k? ? 由圆心到切线的距离得 =1, 2 k +1 ? ? ?

3 5 得 k=4或 k=12, 3 21 5 35 ∴两条切线方程分别为4x-y+5- 4 =0, x-y+5-12= 12 1 16 ? ? ?x1-x2?= 0.令 y=0,解得 x1=3,x2=-5,投影长为? ? 3.

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最值问题 例 3:已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.求:

y (1)x的最大值和最小值;
(2)y-x 的最小值; (3)x2+y2 的最大值和最小值. 思维突破:方程 x2+y2-4x+1=0 表示以点(2,0)为圆心,

y 以 3为半径的圆.x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,y
-x 可看作直线 y=x+b 在 y 轴上的截距,x2+y2 是圆上一点与
原点距离的平方,可借助平面几何的知识,利用数形结合求解.

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解:(1)如图 2.
方程 x2+y2-4x+1=0 表示以点(2,0)为圆心,以 的圆. 为半径 3

图2

y 设x=k,即 y=kx,

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圆心(2,0)到直线 y=kx 的距离为半径时直线与圆相切,这时
斜率取得最大、最小值.



|2k-0|

= 3,解得 k2=3. k2+1

∴kmax= 3,kmin=- 3.
(也可利用平面几何知识:OC=2,OP= 3,∠POC=60° ,
直线 OP 的倾斜角为 60°,直线 OP′的倾斜角为 120°)

(2)设 y-x=b,则 y=x+b,当且仅当直线 y=x+b 与圆切
于第四象限时,纵轴截距 b 取最小值.

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由点到直线的距离公式,得 |2-0+b| = 3,即 b=-2± 6, 2 故(y-x)min=-2- 6. (3)x2+y 2 是圆上点与原点距离的平方,为此,连接 OC,与 圆交于 B 点,并延长 OC 交圆于 C′. 则(x2+y 2) max= ?OC′?2= ?2+ 3?2=7+4 ? ? ? ? (x2+y 2)min= ?OB?2= ?2- 3 ?2=7-4 ? ? ? ?
? ? ? ?

3,

3.

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涉及与圆有关的最值问题,可借助图形性

质,利用数形结合求解,一般地:

y-b (1)形如 u= 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的 x-a
最值问题.
(2)形如 t=ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截距 的最值问题. (3)形如(x-a)2+(y-b)2 形式的最值问题,可转化圆心已定 的动圆半径的最值问题.

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y-2 3-1.已知实数 x、 满足 x +y +4x+3=0, y 求 的值域. x-1
2 2

解:方程 x2+y2+4x+3=0 可化为(x+2)2+y2=1,其表示

以 C(-2,0)为圆心,1 为半径的圆.
y-2 设 =k,其几何意义为:圆 C 上的点 P(x,y)与点 Q(1,2) x-1 连线的斜率. 将

y-2 =k 变形为 PQ:kx-y-k+2=0, x-1

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|-2k-k+2| 则圆心到直线 PQ 的距离 d= ≤1, 2 k +1 3- 3 3+ 3 解得 4 ≤k≤ 4 .
?3- 3 3+ 3? y-2 ?. ∴ 的值域为? 4 , 4 ? x-1 ?

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例 4:已知直线 l:y=x+b 与曲线 C:y= 1-x2有两个公
共点,求 b 的取值范围.

错因剖析:忽略了曲线 C:y= 1-x2表示一个半圆,而没
有考虑变量的取值范围.

正解:如图 3,曲线 C:y= 1-x2表示一个半圆,直线与
半圆有两个交点,b 为直线在 y 轴上的截距,

显然 1≤b< 2.

图 3

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4-1.(2010 年江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+
y2=4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则 (-13,13) 实数 c 的取值范围是_________. 解析:圆半径为 2,圆心(0,0)到直线 12x-5y+c=0 的距离 |c| 小于 1, <1,c 的取值范围是(-13,13). 13


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