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南充高中2011年面向省内外自主招生考试数学试题及答案2


南充高中 2011 年面向省内外自主招生考试数学试卷

南充高中 2011 年面向省内外自主招生考试 数 学 试 卷
(考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分)

第Ⅰ卷(选择.填空题)
一、选择题(每小题 5 分,共计 20 分.下列各题只有一个正确的选项,请将正确选项的番号填入答题 卷的相应位置) 1、把多项式

x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 因式分解之后,正确的是(
2 2



A、 ( x ? y ? 3)( x ? y ? 1) C、 ( x ? y ? 3)( x ? y ? 1)

B、 ( x ? y ? 1)( x ? y ? 3) D、 ( x ? y ? 1)( x ? y ? 3) )

2、圆内接四边形四条边长顺次为 5、10、11、14,则这个四边形的面积为( A . 78

1 2

B . 97

1 2


C .90

D. 102

3、在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E,F 分别是 BC 的三等分点,AE,AF 分别交 BD 于 M,N 两点,则

BM : MN : ND 等于(
A、3:2:1

B、4:2:1

C、5:2:1

D、5:3:2 ;②如果 ? ? 45 ,那么 sin ? ? cos ? ;③若
0

4、已知 ? 为锐角,下列结论:① sin ? ? cos ? ? 1

cos ? ?

1 2 0 , 则 ? ? 60 ; ④ (sin ? ? 1) ? 1 ? sin ? 2
B、 ②③④ C、①③④

其中正确的序号为( D、①②③



A、①②③④

二、填空题(每小题 5 分,共计 60 分,请将你的答案填到答题卷的相应位置处) 5、在△ABC 中, BD 和 CE 分别是 AC 和 AB 上的中线,且 BD 与 CE 互相垂直,BD=8,CE=12,则△ABC 的面积是 6、如图,MN 是⊙O 的直径,若∠E=25° ,∠PMQ=35° ,则∠MQP= Q E
x?

P .O M

7、方程组

1 ? x ? y ?3 ? 3 y 的解为



2x ? y ?

1 ?6 y

A .O C

8、有三位同学,每位同学都以相同的可能性分配到 4 个房间中的一个,则这三 个同学都被分配到同一个房间的概率为 B 9、如图,在△ABC 中M为垂心,O 为外心, ?BAC ? 60 且△ABC 外接圆直
0

M

径为 10,则 AM=

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南充高中 2011 年面向省内外自主招生考试数学试卷 10、 一元二次方程 x ? px ? 19 ? 0 的两根恰好比方程 x 2 ? Ax ? B ? 0 的两个根分别大 1, 其中 A,B,p
2

都为整数,则 A+B= 11、在菱形 ABCD 中, AE ? BC 于点 E,EC=1,
2

AE 5 ? ,则四边形 AECD 的周长为 AB 13
k2 ,若它们的图像对任意的实数 k 都只 4

12、已知二次函数 y ? ax ? bx ? c ,一次函数 y ? k ( x ? 1) ? 有一个公共点,则二次函数的解析式为

13、某学生连续观察了 n 天的天气情况,观察结果是:①共有 5 个下午是晴天;②共有 7 个上午是晴 天;③共有 8 个半天是雨天;④下午下雨的那天上午是晴天,则该学生观察的天数 n= 14、如图,是两块完全一样的含 30° 角的三角板,分别记作△ABC 与△A′B′C′,现 将两块三角板重叠在一起,设较长直角边的中点为 M,绕中点 M 转动上面的三角板 ABC,使其直角顶点 C 恰好落在三角板 A′B′C′的斜边 A′B′上,当∠A=30° ,AC=10 时, 则此时两直角顶点 C、C′间的距离是 15、在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在由直线 y ? ? x ? 3 ,直 y ? 4 和直线 x ? 1 所 围成的 区域内或其边界上,点 Q 在 x 轴上,若点 R 的坐标为 R(2,2) ,则 QP ? QR 的最小值为 16、甲乙两人同时从同一地点出发,相背而行,1 小时后他们分别到达各自的终点 A 和 B,若仍从原 地出发,互换彼此的目的地,则甲在乙到达 A 之后 35 分钟到达 B,甲的速度与乙的速度之比为 第Ⅱ卷(答题卷) 一、选择题:(每小题 5 分,共计 20 分) 题号 答案 二、填空题:(每小题 5 分,共计 60 分) 5.____________ 9.____________ 13.____________ 6.____________ 10.____________ 14.____________ 7.____________ 11.____________ 15.____________ 8.____________ 12.____________ 16.____________ 1 2 3 4

三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤) 17.(本小题 10 分) (1)“不在同一直线上的三点确定一个圆”.请你判断平面直角坐标系内的三个点

A(2,7) , B(?3,?9) , C (5,11) 是否可以确定一个圆.请写出你的推理过程。

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南充高中 2011 年面向省内外自主招生考试数学试卷 (2)设 0 ? x ? 1 ,化简 ?

? ?? 1 1? x 1? x 1? ? ? 1 ? ? ? ? 2 ? 1? x ? 1? x ? x? 1 ? x2 ? x ?1 ? ? ?? x ?

18. (本小题 12 分) 已知二次函数 y ? x ? x ? 2 及实数 a ? ?2 ,求
2

(1)函数在 ?2 ? x ? a 的最小值 (2)函数在 a ? x ? a ? 2 内的最小值

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南充高中 2011 年面向省内外自主招生考试数学试卷 19. (本小题 12 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,点 M,N 分别在 BC,CD 上,使得 ?CMN 的周长为 2. 求: (1) ?MAN 的大小; (2) ?AMN 的面积的最小值 M D N C





20. (本小题 12 分) 如图,⊙ O 为△ABC 的外接圆, ?BAC ? 60 ,H 为边 AC、AB 上的高 BD、CE
0

的交点,在 BD 上取点 M,使 BM=CH (1) (2) (3) 求证: ?BOC ? ?BHC ; 求证: ?BOM ? ?COH ; A E O M B 1 D B A C D M N 2

MH 求 的值 OH

C

x?2

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南充高中 2011 年面向省内外自主招生考试数学试卷 21. (本小题 12 分)如图⊙A 和⊙B 是外离两圆,⊙A 的半径长为2,⊙B 的半径长为1,AB=4, P为连结两圆心的线段AB上的一点,PC切⊙A 于点C,PD切⊙B 于点D. (1)若PC=PD,求PB的长; (2)试问线段AB上是否存在一点P,使 PC ? PD ? 4 ,如果存在,问这样的 P 点有几个?并
2 2

求出PB的值;如果不存在,说明理由; (3)已知当点P在线段AB上运动到某处,使 PC ? PD 时,就有 ?APC ~ ?PBD 。 请问:除上述情况外,当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少,或PC、PD具有何 种关系)时,这两个三角形仍相似,并判断此时直线 CP 与⊙B 的位置关系,证明你的结论。

C A P

D B

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南充高中 2011 年面向省内外自主招生考试数学试卷 22. (本小题 12 分) 如图,在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,四边形 AOCB 是梯形,AB∥OC,点 A

(OA ? 8) ? 10 ? OC ? 0 ,OB=OC. 在 y 轴上,点 C 在 x 轴上,且
2

(1)求点 B 的坐标; (2)点 P 从 C 点出发,沿线段 CO 以 5 个单位/秒的速度向终点 O 匀速运动,过点 P 作 PH⊥OB,垂 足为 H,设△HBP 的面积为 S(S≠0) ,点 P 的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 之间的函数关系式(直接写出自 变量 t 的取值范围) ; (3)在(2)的条件下,过点 P 作 PM∥CB 交线段 AB 于点 M,过点 M 作 MR⊥OC,垂足为 R,线 段 MR 分别交直线 PH、OB 于点 E、G,点 F 为线段 PM 的中点,联结 EF. ①判断 EF 与 PM 的位置关系; ②当 t 为何值时, EG ? 2 ?

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南充高中 2011 年面向省内外自主招生考试数学试卷

南充高中 2011 年面向省内外自主招生考试 数 学 试 卷(参考答案)
(考试时间:120 分钟 一、选择题:(每小题 5 分,共计 20 分) 题号 答案 二、填空题:(每小题 5 分,共计 60 分) 5.______64______ 6._______40° _____ 9._____5_______ 12.__ y ? x ? 2 x ? 1 _
2

试卷总分:150 分)

1 D

2 C

3 D

4 B

x?2
7.

x?4


1 8. 16
11._____32___

y ?1

y ? ?1

10.______18_____

13.______10______

14.______5______

15.____ 17 ________

16.______

3 ______ 4

三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤) 17.( 本小题 10 分 ) ( 1 ) “ 不在同一直线上的三点确定一个圆 ” 。请你判断平面直角坐标系内的三个点

A(2,7) , B(?3,?9) , C (5,11) 是否可以确定一个圆。请写出你的推理过程。
解:设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+b(k≠0)则 2k+b=7 -3k+b=-9

16 3 ∴k= 5 , b= 5
16 3 x? 5 ………………………………………………………………………3 分 ∴y= 5
当 x=5 时

3 y=16+ 5 =16.8≠11
∴点 C(5、11)不在直线 AB 上 ∴点 A(2、7)B(-3、-9)C(5、11)确定一个圆……………………………5 分

(2)设 0 ? x ? 1 ,化简 ?

? ?? 1 1? x 1? x 1? ? ? 1 ? ? ? ? 2 ? 1? x ? 1? x ? x? 1 ? x2 ? x ?1 ? ? ?? x ?

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南充高中 2011 年面向省内外自主招生考试数学试卷 解:原式= ?

? ?? 1 1? x 1? x 1? ? ? 1 ? ? ? ? 2 ? 1? x ? 1? x ? x? 1 ? x2 ? x ?1 ? ? ?? x ?

=?

? 1 ? x ? 1 ? x ? ? 1 ? x2 ?1 ? ? ? 1? x ? 1? x ? ?? ? ? x ? ?? ?
( 1 ? x ? 1 ? x )2 1 ? x2 ?1 ? (1 ? x) ? (1 ? x) x

=

=

2 ? 2 1 ? x2 1 ? x2 ? 1 1 ? x2 ? 1 ? ? ? ?1 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 2x x x2
2

18. (本小题 12 分) 已知二次函数 y ? x ? x ? 2 及实数 a ? ?2 ,求 (1)函数在 ?2 ? x ? a 的最小值 (2)函数在 a ? x ? a ? 2 内的最小值 解:结合二次函数 y ? x ? x ? 2 的图像及实数 a ? ?2
2

1 2 时, x ? a 时, y 的最小值为 a ? a ? 2 ; 2 1 9 当 a ? 时, y 的最小值为 ? …………………………………..5 分 2 4 1 3 (2) 当 ?2 ? a 且 a ? 2 ? 时,即 ?2 ? a ? ? , x ? a ? 2 时, y 最小值 2 2
(1) 当 ?2 ? a ? 为 ? a ? 2 ? ? ( a ? 2) ? 2 ? a ? 3a ;
2 2

19. (本小题 12 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,点 M,N 分别在 BC,CD 上,使得 ?CMN 的周长为 2. 求(1) ?MAN 的大小; (2) ?AMN 的面积的最小值 N D C 解: (1)延长 CB 至 L,使 BL=DN,则 Rt ?ABL ? Rt ?ADN 得 AL=AN, ?1 ? ?2 , M 又 MN ? 2 ? CN ? CM ? DN ? BM ? BC ? BM ? ML 1 且 AM ? AM , ?NAL ? ?DAB ? 90
0

1 3 1 1 9 ? a ? 2 ,即 ? ? a ? 时, x ? 时, y 的最小值为 ? ; 2 2 2 2 4 1 2 当 a ? 时,则 x ? a 时, y 的最小值为 a ? a ? 2 …………………….12 分 2
当a ?

900 ? 450 …………….6 分 ??AMN ? ?AML ,故 ?MAN ? ?MAL ? 2
x? y?z ?2
(2)设 CM ? x, CN ? y, MN ? z ,则



2



x ? 2? y ? z
x2 ? y 2 ? z 2

x?2

x2 ? y 2 ? z 2

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南充高中 2011 年面向省内外自主招生考试数学试卷 ,于是 (2 ? y ? z ) ? y ? z ,整理得 2 y ? (2 z ? 4) y ? (4 ? 4 z ) ? 0
2 2 2 2

因 y>0,故 ? ? 4( z ? 2) ? 32(1 ? z ) ? 0 ,即 ( z ? 2 ? 2 2)( z ? 2 ? 2 2) ? 0
2

又因为 z ? 0 ,故 z ? 2 2 ? 2 ,当且仅当 x ? y ? 2 ? 2 时等号成立 由于 S?AMN ? S?AML ?

1 z ML ? AB ? ,此时 ?AMN 的面积的最小值为 2 ? 1 …………12 分 2 2
0

20. (本小题 12 分) 如图,⊙ O 为△ABC 的外接圆, ?BAC ? 60 ,H 为边 AC、AB 上的高 BD、CE 的交 点,在 BD 上取点 M,使 BM=CH (1) 求证: ?BOC ? ?BHC ; (2) 求证: ?BOM ? ?COH ; (3) 求 A E O
0

MH 的值 OH
M B

H D C

解: (1)? BD ? AC , CE ? AB,??A ? ?DHE ? 180

? ?A ? 600 ,??BHC ? ?DHE ? 1200
0

又 ?BOC ? 2?A ? 120 ,??BOC ? ?BHC ………………………..4 分 (2)由(1)知 B、C、H、O 四点共圆,??OBM ? ?OCH 又 BM ? CH , OB ? OC,??BOM ? ?COH ……………………………8 分 (3)由(2)知 OM ? OH , ?BOM ? ?COH ,??MOH ? 120
0

?

MH ? 3 ………………………………………………12 分 OH

21. (本小题 12 分)如图⊙A 和⊙B 是外离两圆,⊙A 的半径长为2,⊙B 的半径长为1, AB=4,P为连结两圆心的线段AB上的一点,PC切⊙A 于点C,PD切⊙B 于点D. (1)若PC=PD,求PB的长; (2)试问线段AB上是否存在一点P,使 PC ? PD ? 4 ,如果存在,问这样的 P 点有几个?并求出
2 2

PB的值;如果不存在,说明理由; (3)已知当点P在线段AB上运动到某处,使 PC ? PD 时,就有 ?APC ~ ?PBD 。 请问:除上述情况外,当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少,或PC、PD具有何种关 系)时,这两个三角形仍相似,并判断此时直线 CP 与⊙B 的位置关系,证明你的结论 C 解: (1) PC ? PA ? AC , PD ? PB ? BD
2 2 2 2 2 2 2 2

D P B

A 设 PB ? x, PA ? 4 ? x, 则 x ? 1 ? (4 ? x) ? 2 ,
2 2

解得 x ?

13 13 13 ,1 ? ? 2 ,即PB的长为 …………………………..4 分 8 8 8
2 2
2 2 2 2 2

(2)假定存在一点P,使得 PC ? PD ? 4 ,设 PB ? x, 则 PD ? x ? 1, PC ? (4 ? x) ? 2 ,
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南充高中 2011 年面向省内外自主招生考试数学试卷

? (4 ? x)2 ? 22 ? x 2 ? 1 ? 4, 解得 x ? 2 ?

2 2

? P 在两圆间的圆外部分,?1 ? PB ? 2 即 1 ? x ? 2 ,故满足条件的P点只有一个,这时
PB ? 2 ? 2 ………………………………………………………………..8 分 2

(3)当 PC : PD ? 2 :1 或 PB ? 这时

4 时,△PCA~△PDB, 3

AC 2 PC AP ? ? (或 ), ?C ? ?D ? 900 BD 1 PD BP △PCA~△PDB, ?BPD ? ?APC ? ?BPE , (E在CP的延长线上) ? B 点在的角平分线上,B到PD与PE的距离相等。
由⊙B 与PD相切得⊙B 也与CP的延长线PE相切………………………………….12 分 22. (本小题 12 分) 如图,在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,四边形 AOCB 是梯形,AB∥OC,点 A

(OA ? 8) ? 10 ? OC ? 0 ,OB=OC. 在 y 轴上,点 C 在 x 轴上,且
2

(1)求点 B 的坐标; (2)点 P 从 C 点出发,沿线段 CO 以 5 个单位/秒的速度向终点 O 匀速运动,过点 P 作 PH⊥OB,垂 足为 H,设△HBP 的面积为 S(S≠0) ,点 P 的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 之间的函数关系式(直接写出自 变量 t 的取值范围) ; (3)在(2)的条件下,过点 P 作 PM∥CB 交线段 AB 于点 M,过点 M 作 MR⊥OC,垂足为 R,线段 MR 分别交直线 PH、OB 于点 E、G,点 F 为线段 PM 的中点,联结 EF. ①判断 EF 与 PM 的位置关系; ②当 t 为何值时, EG ? 2 ? 解: (1)如图 1,过点 B 作 BN⊥OC,垂足为 N

(OA ? 8) ? 10 ? OC ? 0 ,OB=OC ∵
2

∴OA=8,OC=10

-------------------------------1 分

∴OB=OC=10, BN=OA=8 ∴ ON ? ∴B(6,8)

OB 2 - BN 2 ? 6.
----------------------------------------------2 分

(2)如图 1,∵∠BON=∠POH, ∠ONB=∠OHP=90° . ∴△BON∽△POH ∵PC=5t. ∴

BO ON BN ? ? PO OH PH
∴OH=6-3t. PH=8-4t.

∴OP=10-5t.

∴BH=OB-OH=10-(6-3t)=3t+4 ∴S ?

1 (3t ? 4)(8 ? 4t ) ? ?6t 2 ? 4t ? 16 2
----------------7 分

∴t 的取值范围是:0≤t<2 (3)①EF⊥PM 下面证明 ∵MR⊥OC,PH⊥OB

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南充高中 2011 年面向省内外自主招生考试数学试卷 ∴∠RPM+∠RMP=90° ,∠HPD+∠HDP=90° ∵OC=OB ∵BC∥PM ∴∠RPM=∠HDP,∴∠RMP=∠HPD,即:∠ EMP=∠HPM ∴EM=EP ∵点 F 为 PM 的中点 ∴EF⊥PM ----------6 分 ∴∠OCB=∠OBC.

②如图 2 过点 B 作 BN′⊥OC,垂足为 N′,BN′=8,CN′=4 ∵BC∥PM,MR⊥OC∴△MRP≌△B N′C ∴PR=C N′=4 设 EM=x,则 EP=x 在△PER 中,∠ERP=90° ,RE=MR-ME=8-x 有 x ? (8 ? x) ? 4 ,∴x=5∴ME=5
2 2 2

∵△MGB∽△N′BO ∴

MG MB ? N ?B N ?O

∵ PM∥CB,AB∥OC ∴四边形 BMPC 是平行四边形. ∴ BM=PC=5t. 第一种情况:当点 G 在点 E 上方时(如图 2) ∵EG=2,∴MG=EM-EG=5-2=3∴

3 5t ? 8 6

∴t=

9 20

第二种情况:当点 G 在点 E 下方时(如图 3) MG=ME+EG=5+2=7, ∴

7 5t 21 ,∴t= ? 8 6 20 9 21 或 时, EG = 2 . …………………………………………….12 分 20 20

∴当 t=

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