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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系


§ 8.2

空间点、直线、平面之间的位置关系

1.四个公理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 2.直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类
?平行 ?共面直线? ? ?相交 ? ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点

(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′ 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a,b 所成的角(或夹角). π? ②范围:? ?0,2?. 3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面 α, β 有一条公共直线 a, 就说平面 α, β 相交, 并记作 α∩β=a.( √ ) (2)两个平面 α,β 有一个公共点 A,就说 α,β 相交于过 A 点的任意一条直线.( × ) (3)两个平面 α,β 有一个公共点 A,就说 α,β 相交于 A 点,并记作 α∩β=A.( × (4)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.( × ) (5)经过两条相交直线,有且只有一个平面.( √ ) )

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1.下列命题正确的个数为( ①梯形可以确定一个平面;

)

②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析 ②中两直线可以平行、相交或异面,④中若三个点在同一条直线上,则两个平面相交, ①③正确. 2.(2014· 广东)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下 列结论一定正确的是( A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定 答案 D 解析 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,记 l1=DD1,l2=DC,l3= DA,若 l4=AA1,满足 l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此时 l1∥l4,可以排除选项 A 和 C.若 l4=DC1,也满足条件,此时 l1 与 l4 相交,可以排除选项 B.故选 D. 3.(教材改编)如图所示,已知在长方体 ABCD-EFGH 中,AB=2 3, AD=2 3,AE=2,则 BC 和 EG 所成角的大小是______,AE 和 BG 所 成角的大小是________. 答案 45° 60° 解析 ∵BC 与 EG 所成的角等于 AC 与 BC 所成的角即∠ACB,tan∠ACB= ∴∠ACB=45° , GF 2 3 ∵AE 与 BG 所成的角等于 BF 与 BG 所成的角即∠GBF, tan∠GBF= = = 3, ∴∠GBF BF 2 =60° . 1 4.已知空间四边形 ABCD 中,M、N 分别为 AB、CD 的中点,则下列判断:①MN≥ (AC+ 2 1 1 1 BD);②MN> (AC+BD);③MN= (AC+BD);④MN< (AC+BD). 2 2 2 其中正确的是________. AB 2 3 = =1, BC 2 3 )

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答案 ④ 解析 如图,取 BC 的中点 O, 连接 MO、NO, 1 1 则 OM= AC,ON= BD, 2 2 在△MON 中,MN<OM+ON 1 = (AC+BD), 2 ∴④正确.

题型一 平面基本性质的应用 例 1 如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点. 思维点拨 第(2)问先证 CE 与 D1F 交于一点,再证该点在直线 DA 上. 证明 (1)连接 EF,CD1,A1B. ∵E、F 分别是 AB、AA1 的中点, ∴EF∥BA1. 又 A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E、C、D1、F 四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE 与 D1F 必相交, 设交点为 P, 则由 P∈CE,CE?平面 ABCD,得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, ∴P∈直线 DA.∴CE、D1F、DA 三线共点. 思维升华 公理 1 是判断一条直线是否在某个平面的依据;公理 2 及其推论是判断或证明点、 线共面的依据;公理 3 是证明三线共点或三点共线的依据.

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如图,平面 ABEF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 与四边形 1 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90° ,BC∥AD 且 BC= AD, 2 1 BE∥AF 且 BE= AF,G、H 分别为 FA、FD 的中点. 2 (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? (1)证明 由已知 FG=GA,FH=HD, 1 可得 GH 綊 AD. 2 1 又 BC 綊 AD,∴GH 綊 BC. 2 ∴四边形 BCHG 为平行四边形. 1 (2)解 ∵BE 綊 AF,G 是 FA 的中点,∴BE 綊 FG, 2 ∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴EF∥BG. 由(1)知 BG 綊 CH,∴EF∥CH,∴EF 与 CH 共面. 又 D∈FH,∴C、D、F、E 四点共面. 题型二 判断空间两直线的位置关系 例 2 (1)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BC1,CD1 的 中点,则下列判断错误的是( A.MN 与 CC1 垂直 B.MN 与 AC 垂直 C.MN 与 BD 平行 D.MN 与 A1B1 平行 (2)在图中,G、N、M、H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中 点,则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号) )

思维点拨 (1)连接 B1C, B1D1, 则点 M 点是 B1C 的中点, 证明 MN∥B1D1; (2)先判断直线 GH、 MN 是否共面,若不共面,再利用异面直线的判定定理判定. 答案 (1)D (2)②④ 解析 (1)连接 B1C,B1D1,则点 M 是 B1C 的中点,MN 是△B1CD1 的中位线,∴MN∥B1D1, ∵CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1,
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∴MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD. 又∵A1B1 与 B1D1 相交, ∴MN 与 A1B1 不平行,故选 D. (2)图①中,直线 GH∥MN; 图②中,G、H、N 三点共面,但 M?面 GHN, 因此直线 GH 与 MN 异面; 图③中,连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面; 图④中,G、M、N 共面,但 H?面 GMN, 因此 GH 与 MN 异面. 所以图②④中 GH 与 MN 异面. 思维升华 空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线, 可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面平 行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决. 如图, 已知不共面的三条直线 a、 b、 c 相交于点 P, A∈a, B∈a, C∈b,D∈c,求证:AD 与 BC 是异面直线. 证明 方法一 (反证法)假设 AD 和 BC 共面,所确定的平面为 α,那么 点 P、A、B、C、D 都在平面 α 内, ∴直线 a、b、c 都在平面 α 内,与已知条件 a、b、c 不共面矛盾,假设 不成立, ∴AD 和 BC 是异面直线. 方法二 (直接证法)∵a∩c=P,∴它们确定一个平面, 设为 α,由已知 C?平面 α,B∈平面 α,BC?平面 α,AD?平面 α,B?AD, ∴AD 和 BC 是异面直线. 题型三 求两条异面直线所成的角 例 3 空间四边形 ABCD 中,AB=CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30° ,E、F 分别为 BC、AD 的中点,求 EF 与 AB 所成角的大小. 思维点拨 取 AC 中点,利用三角形中位线的性质作出所求角. 解 取 AC 的中点 G,连接 EG、FG, 1 1 则 EG 綊 AB,FG 綊 CD, 2 2 由 AB=CD 知 EG=FG, ∴∠GEF(或它的补角)为 EF 与 AB 所成的角,∠EGF(或它的补角)为 AB 与 CD 所成的角. ∵AB 与 CD 所成的角为 30° ,

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∴∠EGF=30° 或 150° . 由 EG=FG 知△EFG 为等腰三角形, 当∠EGF=30° 时,∠GEF=75° ; 当∠EGF=150° 时,∠GEF=15° . 故 EF 与 AB 所成的角为 15° 或 75° . 思维升华 (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移的方法一般有三种类型:利用图

中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移. (2)求异面直线所成的角的三步曲:即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意,但要灵活, 经常选择“端点、中点、等分点”,通过作三角形的中位线,平行四边形等进行平移,作出 异面直线所成的角,转化为解三角形问题,进而求解. (1)(2014· 大纲全国)已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( 1 3 1 3 A. B. C. D. 6 6 3 3 (2)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90° ,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的 角等于( ) )

A.30° B.45° C.60° D.90° 答案 (1)B (2)C 解析 (1)画出正四面体 ABCD 的直观图,如图所示. 设其棱长为 2,取 AD 的中点 F,连接 EF, 设 EF 的中点为 O,连接 CO, 则 EF∥BD, 则∠FEC 就是异面直线 CE 与 BD 所成的角. △ABC 为等边三角形,则 CE⊥AB, 易得 CE= 3, 同理可得 CF= 3, 故 CE=CF. 因为 OE=OF,所以 CO⊥EF. 1 1 1 又 EO= EF= BD= , 2 4 2 1 EO 2 3 所以 cos∠FEC= = = . CE 3 6 (2)如图,可补成一个正方体, ∴AC1∥BD1.

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∴BA1 与 AC1 所成角的大小为∠A1BD1. 又易知△A1BD1 为正三角形, ∴∠A1BD1=60° . 即 BA1 与 AC1 成 60° 的角.

构造模型判断空间线面位置关系 典例:已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 为两个不同的平面,有下列四个命题: ①若 m⊥α,n⊥β,m⊥n,则 α⊥β; ②若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α∥β; ③若 m⊥α,n∥β,m⊥n,则 α∥β; ④若 m⊥α,n∥β,α∥β,则 m⊥n. 其中所有正确的命题是( )

A.①④ B.②④ C.① D.④ 思维点拨 关系. 解析 借助于长方体模型来解决本题,对于①,可以得到平面 α,β 互相垂直,如图(1)所示, 故①正确;对于②,平面 α、β 可能垂直,如图(2)所示;对于③,平面 α、β 可能垂直,如图 (3)所示;对于④,由 m⊥α,α∥β 可得 m⊥β,因为 n∥β,所以过 n 作平面 γ,且 γ∩β=g,如 图(4)所示,所以 n 与交线 g 平行,因为 m⊥g,所以 m⊥n. 构造一个长方体模型,找出适合条件的直线与平面,在长方体内判断它们的位置

答案 A 温馨提醒 (1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型,然后将问题利用模型直观地

作出判断,这样减少了抽象性,避免了因考虑不全面而导致解题错误;(2)对于线面、面面平 行、垂直的位置关系的判定,可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.

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方法与技巧 1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余直线或点也 在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共点, 根据公理 3 可知这些点在交线上,因此共线. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问 题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,往往可 以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解. 失误与防范 1. 正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义, 不要理解成“不在同一个平面内”. 2.不共线的三点确定一个平面,一定不能丢掉“不共线”条件. 3.两条异面直线所成角的范围是(0° ,90° ].

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.(2013· 安徽)在下列命题中,不是公理的是( A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 答案 A 解析 选项 A 是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的. 2.(2014· 辽宁)已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面.下列说法正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n?α,则 m⊥n ) )

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C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α 答案 B 解析 方法一 若 m∥α,n∥α,则 m,n 可能平行、相交或异面,A 错; 若 m⊥α,n?α,则 m⊥n,因为直线与平面垂直时,它垂直于平面内任一直线,B 正确; 若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 或 n?α,C 错; 若 m∥α,m⊥n,则 n 与 α 可能相交,可能平行,也可能 n?α,D 错. 方法二 如图,在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,用平面 ABCD 表示 α. A 项中,若 m 为 A′B′,n 为 B′C′,满足 m∥α,n∥α,但 m 与 n 是相 交直线,故 A 错. B 项中,m⊥α,n?α, 满足 m⊥n,这是线面垂直的性质,故 B 正确. C 项中,若 m 为 AA′,n 为 AB, 满足 m⊥α,m⊥n,但 n?α,故 C 错. D 项中,若 m 为 A′B′,n 为 B′C′, 满足 m∥α,m⊥n,但 n∥α,故 D 错. 3.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2和 a,且长为 a 的棱与长为 2的棱异面,则 a 的 取值范围是( )

A.(0, 2) B.(0, 3) C.(1, 2) D.(1, 3) 答案 A 解析 此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体, 长为 a 的棱长一定大于 0 且小于 2. 故选 A. 4.四棱锥 P-ABCD 的所有侧棱长都为 5,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,则 CD 与 PA 所成角的余弦值为( 2 5 A. 5 答案 B 解析 因为四边形 ABCD 为正方形,故 CD∥AB,则 CD 与 PA 所成的角即为 AB 与 PA 所成的 角,即为∠PAB. PA2+AB2-PB2 5+4-5 在△PAB 内, PB=PA= 5, AB=2, 利用余弦定理可知 cos∠PAB= = 2×PA×AB 2× 5×2 = 5 ,故选 B. 5 B. )

5 4 3 C. D. 5 5 5

5.设 P 表示一个点,a、b 表示两条直线,α、β 表示两个平面,给出下列四个命题,其中正 确的命题是( )
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①P∈a,P∈α?a?α; ②a∩b=P,b?β?a?β; ③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α; ④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b. A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 答案 D 解析 当 a∩α=P 时,P∈a,P∈α,但 a?α,∴①错; a∩β=P 时,②错; 如图,∵a∥b,P∈b,∴P?a, ∴由直线 a 与点 P 确定唯一平面 α, 又 a∥b,由 a 与 b 确定唯一平面 β,但 β 经过直线 a 与点 P,∴β 与 α 重合,∴b?α,故③正 确; 两个平面的公共点必在其交线上,故④正确. 6.如图所示,平面 α,β,γ 两两相交,a,b,c 为三条交线,且 a∥b,则 a 与 c,b 与 c 的位 置关系是________.

答案 a∥b∥c 解析 ∵a∥b,a?α,b?α,∴b∥α. 又∵b?β,α∩β=c,∴b∥c. ∴a∥b∥c. 7.(2013· 江西)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上,且 AB∥CD,则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.

答案 4 解析 EF 与正方体左、右两侧面均平行.所以与 EF 相交的侧面有 4 个. 8.若两条异面直线所成的角为 60° ,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方 体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有________对. 答案 24 解析 正方体如图, 若要出现所成角为 60° 的异面直线, 则直线为面对角线,

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以 AC 为例,与之构成黄金异面直线对的直线有 4 条,分别是 A′B,BC′,A′D,C′D, 12×4 正方体的面对角线有 12 条,所以所求的黄金异面直线对共有 =24(对). 2 9.如图,空间四边形 ABCD 中,E、F、G 分别在 AB、BC、CD 上,且满足 AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过 E、F、G 的平面交 AD 于点 H. (1)求 AH∶HD; (2)求证:EH、FG、BD 三线共点. AE CF (1)解 ∵ = =2,∴EF∥AC, EB FB ∴EF∥平面 ACD,而 EF?平面 EFGH, 平面 EFGH∩平面 ACD=GH, ∴EF∥GH,∴AC∥GH. ∴ AH CG = =3. HD GD

∴AH∶HD=3∶1. EF 1 GH 1 (2)证明 ∵EF∥GH,且 = , = , AC 3 AC 4 ∴EF≠GH,∴EFGH 为梯形. 令 EH∩FG=P,则 P∈EH,而 EH?平面 ABD, 又 P∈FG,FG?平面 BCD, 平面 ABD∩平面 BCD=BD, ∴P∈BD. ∴EH、FG、BD 三线共点. 10. 如图, 在四棱锥 O-ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, OA⊥ 底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点. (1)求四棱锥 O-ABCD 的体积; (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值的大小. 解 (1)由已知可求得,正方形 ABCD 的面积 S=4, 1 8 所以,四棱锥 O-ABCD 的体积 V= ×4×2= . 3 3

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(2)连接 AC,设线段 AC 的中点为 E,连接 ME,DE, 则∠EMD 为异面直线 OC 与 MD 所成的角(或其补角), 由已知,可得 DE= 2,EM= 3,MD= 5, ∵( 2)2+( 3)2=( 5)2, ∴△DEM 为直角三角形, DE 2 6 ∴tan∠EMD= = = . EM 3 3 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 11.以下四个命题中, ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则点 A、B、C、D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是( )

A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析 ①中显然是正确的;②中若 A、B、C 三点共线,则 A、B、C、D、 E 五点不一定共面;③构造长方体或正方体,如图显然 b、c 异面,故不 正确;④中空间四边形中四条线段不共面,故只有①正确. 12.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图,G、H、M、N 分 别为 DE、BE、EF、EC 的中点,在这个正四面体中, ①GH 与 EF 平行; ②BD 与 MN 为异面直线; ③GH 与 MN 成 60° 角; ④DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 答案 ②③④ 解析 还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线, BD 与 MN 为异面直线, GH 与 MN 成 60° 角, DE⊥MN. 13.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BB1、CC1 的中点,那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为________. 答案 3 5

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解析 如图,连接 DF, 则 AE∥DF, ∴∠D1FD 即为异面直线 AE 与 D1F 所成的角. 设正方体棱长为 a,则 D1D=a,DF= 5 5 ? a?2+? a?2-a2 2 2 3 ∴cos∠D1FD= = . 5 5 5 2· a· a 2 2 14.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为正方形 ABCD 的中心,H 为直线 B1D 与平面 ACD1 的交点.求证:D1、H、O 三点共线. 证明 连接 BD,B1D1, 则 BD∩AC=O, ∵BB1 綊 DD1, ∴四边形 BB1D1D 为平行四边形, 又 H∈B1D, B1D?平面 BB1D1D, 则 H∈平面 BB1D1D, ∵平面 ACD1∩平面 BB1D1D=OD1,∴H∈OD1. 即 D1、H、O 三点共线. 15. 如图所示, 等腰直角三角形 ABC 中, ∠A=90° , BC= 2, DA⊥AC, DA⊥AB, 若 DA=1,且 E 为 DA 的中点.求异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值. 解 取 AC 的中点 F,连接 EF,BF, 在△ACD 中,E、F 分别是 AD、AC 的中点, ∴EF∥CD. ∴∠BEF 或其补角即为异面直线 BE 与 CD 所成的角. 1 1 在 Rt△EAB 中,AB=AC=1,AE= AD= , 2 2 ∴BE= 5 . 2 5 5 a,D1F= a, 2 2

1 1 1 在 Rt△EAF 中,AF= AC= ,AE= , 2 2 2 ∴EF= 2 . 2

1 5 在 Rt△BAF 中,AB=1,AF= ,∴BF= . 2 2

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1 2 EF 2 4 10 在等腰三角形 EBF 中,cos∠FEB= = = . BE 5 10 2 ∴异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 10 . 10

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