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三角公式总结,正弦定理

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北京学维思教育湘潭分校

三角公式总结
nπR ⒈L 弧长= ? R= 180

S

1 1 2 LR= R ? 扇= 2 2

n? ? R 2 = 360

⒉正弦定理:

b c a = = = 2R(R sin A sin B sin C

r />
为三角形外接圆半径) b 2 =a 2 +c 2 -2ac cos B
cos A ? b2 ? c 2 ? a 2 2bc

⒊ 余 弦 定 理 : a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos A c 2 =a 2 +b 2 -2ab cos C
2 2 2 2

⒋S⊿= 1 a ? ha = 1 ab sin C = 1 bc sin A = 1 ac sin B = abc =2R 2 sin A sin B sin C
4R
=

a 2 sin B sin C b 2 sin A sin C c 2 sin Asin B = = =pr= p( p ? a)( p ? b)( p ? c) 2 sin A 2 sin B 2 sin C
2

(其中 p ? 1 (a ? b ? c) , r 为三角形内切圆半径) ⒌同角关系: ⑴ 商 的 关 系 :
ctg? ? x cos? ? ? cos? ? csc ? y sin ?
③ sin ? ? ⑤ cos ? ? ①

tan ?

=

y x

=

sin ? cos ?

=

sin? ? sec ?



y ? cos ? ? tan ? r x ? sin ? ? ctg ? r

④ sec ? ? ⑥ csc ? ?

r 1 ? ? tan ? ? csc ? x cos ?

r 1 ? ? ctg? ? sec ? y sin ?

⑵倒数关系: sin ? ? csc? ? cos? ? sec? ? tan? ? ctg? ? 1 ⑶平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? sec2 ? ? tan2 ? ? csc2 ? ? ctg 2? ? 1 ⑷ a sin ? ? b cos? ?
a 2 ? b2 sin(? ? ? )
a

(其中辅助角 ? 与点(a,b)

在同一象限,且 tg? ? b )
1

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⒍函数 y= A sin(? ? x ? ? ) ? k 的图象及性质: ( ? ? 0, A ? 0 ) 振幅 A,周期 T= 2? , 频率 f= 1 , 相位 ? ? x ? ? ,初相 ? ⒎五点作图法:令 ?x ? ? 依次为 0 ? , ? , 3? ,2? 求出 x 与 y ,
2 2

?

T

依点 ?x, y ? 作图 ⒏诱导公式 sin -?
? -?
? +?

cos

tan

ctg - ctg ? - ctg ? + ctg ? - ctg ? + ctg ?

三角函数值等于 ? 的同 前面加上 名三角函数值, 一个把 ? 看作锐角时, 原 三角函数值的符号;即: 函数名不变, 符号看象限

- sin ?

+ cos? - tg? - tg? + tg?

+ sin ? - cos? - sin ? - sin ? - cos?

2? -? 2k ? + ?

+ cos? - tg?

+ sin ? + cos? + tg?

sin
?
2 ??

con

tan

ctg

三角函数值等于 ? 的异 前面加上 名三角函数值, 一个把 ? 看作锐角时, 原 三角函数值的符号;即: 函数名改变, 符号看象限

+ cos? + sin ? + ctg ? + tg? + cos? - sin ? - cos? - cos? - sin ? - ctg ? - tg?

?

?? 2 3? ?? 2 3? ?? 2

+ ctg ? + tg? - tg?
2

+ sin ? - ctg ?

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⒐和差角公式
① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ③
tan( ? ? ?) ? tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

② cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ④

tan? ? tan ? ? tan( ? ? ? )(1 ? tan? ? tan ? )

? ? ? ??) ? ⑤ tan(

tan? ? tan ? ? tan? ? tan? ? tan ? ? tan? 1 ? tan? ? tan ? ? tan? ? tan? ? tan ? ? tan?

其 中 当

A+B+C=π 时,有:
tan A ? tan B ? tan C ? tan A ? tan B ? tan C A B A C B C tan tan ? tan tan ? tan tan ? 1 2 2 2 2 2 2

⒑二倍角公式:(含万能公式) ① sin 2? ? 2 sin ? cos ? ?
2 tan ? 1 ? tan 2 ?

② cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ? ③
2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ? 1 ? cos 2? 2

1 ? tan2 ? 1 ? tan2 ?



tan2 ? 1 ? cos 2? sin ? ? ? 2 2 1 ? tan ?
2



cos 2 ? ?

⒒三倍角公式: ① sin 3? ? 3sin ? ? 4 sin 3 ? ? 4 sin ? sin(60? ? ? ) sin(60? ? ? )
3

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② cos3? ? ?3 cos? ? 4 cos3 ? ? 4 cos? cos(60? ? ? ) cos(60? ? ? ) ③ tan3? ?
3 tan? ? tan3 ? ? tan? ? tan(60 ? ? ) ? tan(60 ? ? ) 1 ? 3 tan2 ?

⒓半角公式: (符号的选择由 所在的象限确定) ① sin ? ?
2

? 2

?

1 ? cos? 2
1 ? cos ? 2

② sin 2

?
2

?

1 ? cos ? 2

③ cos ? ?
2

?

1 ? cos? 2

④ cos 2

?
2

?

⑤ 1 ? cos ? ? 2 sin 2
? ? ?

?
2

⑥ 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?
2

⑦ 1 ? sin ? ? (cos ? sin ) 2 ? cos ? sin
2 2 2

?
2

⑧ tan ? ?
2

?

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?

⒔积化和差公式:
sin ? cos ? ? 1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? cos ? sin ? ? 1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 2 1 1 cos ? cos ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )? sin ? sin ? ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos ?? ? ? ?? 2 2

⒕和差化积公式: ① sin ? ? sin ? ? 2 sin
???
2 2 ??? ??? cos ③ cos ? ? cos ? ? 2 cos 2 2 cos

???

② sin ? ? sin ? ? 2 cos

???
2

sin

???
???
2 2

④ cos ? ? cos ? ? ?2 sin

???
2

sin

⒖反三角函数:

4

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名称

函数式

定义域

值域
? ? ?? ? , ? ? 2 2? ?

性质
arcsin(-x)? -arcsinx 奇

反正弦函数 y ? arcsin x 反余弦函数 反正切函数 反余切函数
y ? arccos x

?? 1,1? 增
?? 1,1? 减
R R 增 减

?0, ? ?
? ? ?? ?? , ? ? 2 2?

arccos(? x) ? ? ? arccosx

y ? arctan x

arctan(-x) ? - arctanx 奇

y ? arcctgx

?0, ? ?

arcctg(? x) ? ? ? arcctgx

⒗最简单的三角方程 方程
sin x ? a

方程的解集
a ?1
a ?1

?x | x ? 2k? ? arcsin a, k ? Z ?

?x | x ? k? ? ?? 1? arcsin a, k ? Z ?
k

cosx ? a

a ?1 a ?1

?x | x ? 2k? ? arccosa, k ? Z ? ?x | x ? 2k? ? arccosa, k ? Z ?

tan x ? a

?x | x ? k? ? arctana, k ? Z ?
?x | x ? k? ? arcc tana, k ? Z ?
5

c tan x ? a


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