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圆的标准方程教学设计

时间:2010-09-06


《圆的标准方程》教学设计 圆的标准方程》
(教师用) 成都市洛带中学 柳青

教材分析 本节内容位于曲线的方程和方程之后,是求具体曲线的方程。同时,本节课的研 究方法为以后学习椭圆、双曲线、抛物线提供了一个基本模式,因此,可以把圆看作 是圆锥曲线的前奏曲。 学情分析 圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后,又掌握了求曲线方程的一 般方法的基础

上进行研究的. 但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅, 且对坐标法的运用还不够熟练,在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的 能力,合作交流的意识等方面有待加强. 教法分析 为了充分调动学生学习的积极性,本节课采用“问题-探究”教学法,用环环相 扣的问题将探究活动层层深入,使教师总是站在学生思维的最近发展区上. 学法分析 通过推导圆的标准方程,加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方 程,理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程,熟悉用 待定系数法求解的过程. 根据上述分析,考虑到学生已有的认知结构和心理特征,我制定如下教学目标: 教学目标

基础目标: (1)理解圆的标准方程的推导;
(2)掌握圆的标准方程。会根据圆的方程,求圆心和半径;反之,会根据 圆心和半径写圆的标准方程; (3)根据不同条件建立圆的标准方程,以及运用圆的标准方程解决一些简单 的实际问题; (4)进一步熟悉求曲线方程的方法。

提高目标:培养学生数形结合,由特殊到一般的数学思想;加深对待定系数法的理解;
促进学生自主的、创造性的学习。

体验目标:通过利用已学知识学会分析、解决问题,品尝成功的喜悦,增强学生学习
数学的兴趣,并激发学生学习数学的自信心。 教学重点与难点 (1)重点: 圆的标准方程的求法及其应用. (2)难点:会根据不同的已知条件求圆的标准方程

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教学过程 一、复习引入 1、课前复习填写学案(学案见附录) 教师设问: 教师设问:①求曲线方程的一般步骤 ②圆的定义 ③两点间的距离公式 学生回答问题,为圆的标准方程的推导作好准备。 2、创设情景引入新课 教师准备一圆拱模型和卡车模型,作卡车穿过拱桥的实验。 教师设问: 教师设问:装有货物的卡车能否穿过拱桥?与那些因素有关? 学生通过观察,找到与圆拱有关,引入新课:研究圆的方程 二、探究学习 (一)圆的标准方程 1、教师预设:让学生画圆 教师预设: 教师预设 学生活动:学生各画一个圆并比较,让学生亲身感知决定圆的要素,说明圆 心和半径确定一个圆; 2、教师预设:学生画出以(2,3)为圆心,2 为半径的圆;圆确定了,圆的方 教师预设: 教师预设 程也就确定了。 学生推导该圆的方程 教师在学生基础上梳理思路,强调建立方程的依据。 由特殊到一般, 3、由特殊到一般,得出以(a, 由特殊到一般 (x-a)2+(y-b)2=r2 教师引导学生观察方程,分析、归纳出方程的特征。 方程特征: (1)二元二次方程,x,y 的系数均为 1; (2)含有 a,b,r 三个参数; (3)已知方程可以找出圆心和半径。 4、随堂练习 教师预设: 教师预设:练习 1 找出下列圆的圆心和半径 (1)x2+(y+1)2=16 (2)(2x-2)2+(2y+4)2=4 (3)(x+1)2+(y+2)2=m2 学生练习,根据圆的方程找圆心和半径,完成后,学生作答。 教师据学生情况点评。 教师预设: 教师预设:练习 2 写出下列各圆的方程 (1) 、圆心在原点,半径为 r
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b)为圆心,半径为 r 的圆的标准方程

(2) 、经过在点(5,1) ,圆心在点(8,-3) 学生完成练习并自评,初步体验求圆的标准方程,关键是找到圆心和半径。 (二)例题分析 教师预设: 教师预设:在练习 2 基础上巩固提高,根据不同条件求圆的标准方程 例1 写出圆心在点(1,3) ,且与 x 轴相切的圆的方程。 学生先独立思考,教师在作提示,强调数形结合的思想。 教师口头作简单变式,将 X 轴改为 Y 轴。学生说出答案,再由特殊到一般。 变式:求以 C(1,3)为圆心,和 3x-4y-7=0 相切的圆。 学生独立完成变式,师作简要点评。 教师预设: 教师预设:已知切线可求圆的方程,反之,已知圆的方程,如何来求切线的方 程呢? 例2 已知圆的方程是 x2+y2=25,求经过圆上一点 M(3,4)的切线方程。 学生活动:学生先独立思考,再和其他同学讨论,看能找出几种解法。 教师活动:教师巡视,了解学生情况,参与到学生的讨论中。 教师请学生展示各自解法,并对学生的解法作出评价,从中提炼出渗透的数学 思想和方法,如:数形结合,待定系数等。 教师预设: 教师预设:一题多变,改变点的位置,若点在坐标轴上。 变式 1: 已知圆的方程是 x2+y2=25,求经过圆上一点 M(5,0)的切线方程。 学生活动:作图直接写出切线的方程 教师预设: 教师预设:由特殊到一般,根据以上两问启发学生分类讨论。 变式 2 :已知圆的方程是 x2+y2= r2,求经过圆上一点 M(x0,y0)的切线方程。 学生活动:写出切线方程。 教师归纳分类讨论的依据。 教师预设: 教师预设:若圆上的点改在圆外,切线有几条?怎样求? 变式 3 :已知圆的方程是 x2+y2=25,求经过圆外一点 M(1,7)的切线方程。 变式 4 :已知圆的方程是 x2+y2=25,求经过圆外一点 M(5,3)的切线方程。 学生活动:思考问题 师强调,待定系数时注意斜率存在。 课后思考题: 课后思考题:解决本节引入提出的问题 三、小结:1、掌握圆的标准方程 2、运用圆的标准方程解决一些简单问题 四、课堂练习 1、圆(2x-2)2+(2y-4)2=(-3)2 的圆心为——————————,半径为———————————————. 2、圆心在 x 轴上且与 y 轴相切,半径为 2 的圆的标准方程为———————————— 3、圆心为(1,2)且与直线 5x-12y-7=0 相切的圆的方程为——————————————
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4、由动点 P 向圆 x2+y2=1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60°, 则动点 P 的轨迹方程是————————————————— 五、布置作业,学生整理消化 习题 7、6 1、2、3、4

六、板书设计 圆的标准方程
一、复习 二、圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 C(a,b)圆心,r 半径 例1 例2

附录: 附录: 《圆的标准方程》学案(学生用) 圆的标准方程》学案(学生用)
一、复习旧知识 1、求曲线方程的一般步骤—————————————————— 2、圆的定义—————————————————— 3、两点间的距离公式—————————————————— 二、圆的标准方程是————————————,其中———————————— 练习 1 找出下列圆的圆心和半径 (1)x2+(y+1)2=16 (2)(2x-2)2+(2y+4)2=4 (3)(x+1)2+(y+2)2=m2 练习 2 写出下列各圆的方程 (1) 、圆心在原点,半径为 r (2) 、经过在点(5,1) ,圆心在点(8,-3) 例题分析 例 1、写出圆心在点(1,3) ,且与 x 轴相切的圆的方程 变式:求以 C(1,3)为圆心,和 3x-4y-7=0 相切的圆。 例 2、已知圆的方程是 x2+y2=25,求经过圆上一点 M(3,4)的切线方程
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变式 1 :已知圆的方程是 x2+y2=25,求经过圆上一点 M(5,0)的切线方程。 变式 2 :已知圆的方程是 x2+y2= r2,求经过圆上一点 M(x0,y0)的切线方程。 变式 3 :已知圆的方程是 x2+y2=25,求经过圆外一点 M(1,7)的切线方程。 变式 4 :已知圆的方程是 x2+y2=25,求经过圆外一点 M(x0,y0)的切线方程。 课后思考题:解决本节引入提出的问题 课后思考题:解决本节引入提出的问题 三、课堂检测 5、圆(2x-2)2+(2y-4)2=(-3)2 的圆心为——————————,半径为———————————————. 6、圆心在 x 轴上且与 y 轴相切,半径为 2 的圆的标准方程为———————————— 7、圆心为(1,2)且与直线 5x-12y-7=0 相切的圆的方程为—————————————— 8、由动点 P 向圆 x2+y2=1 引两条切线 PA、 PB, 切点分别为 A、 ∠APB=60°, B, 则动点 P 的轨迹方程是—————————————————

课后研究
研究材料一: 圆的标准方程》 研究材料一: 《圆的标准方程》课堂实录
(一)复习旧知 师:前面我们学习了方程的曲线和曲线的方程,同学们还记得求曲线方程的方法吗? 生: (沉默片刻,齐答)记得 师:哪几步? 生:建系、设点 师:设哪个点? 生:曲线上的任意一点 师:好!第三步(示意学生继续回答) 生:找等量关系 师:第四步(话音刚落) 生:列式、化简 师:所得方程就是该曲线的方程。 (强调)坐标系是求曲线方程的基本工具。 师: (紧接着问)初中我们就学过了圆,圆是如何定义的? 生回忆中 师用手比划画圆的动作提示
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生: (答)到定点的距离等于定长的点的轨迹 师: (补充)或点的集合 师 :第三个问题:两点间的距离公式又是怎样的? 生:|P1P2|=(x1-x2) +(y1-y2)
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师在学生回答的同时写出公式。 师:这些都是我们前面学过的知识,下面请同学们看一下我手里的这个模型。 (二)引入新课 师拿出一个类似圆拱型的桥洞模型和一个代替卡车的盒子,做卡车穿过圆拱的示范。 师:卡车上装有较高的货物,那么,卡车能穿过吗?与那些因素有关? 生:卡车的高和圆拱的高 师:卡车的货物可以临时调整,但拱桥是事先修建好的,所以最重要的是了解圆拱的 高。圆拱的高既是圆的——(等待学生的回答) 生:圆的直径。 师:那么本节课我们就来研究圆的方程(板书课题) (这里创设的情境与本节课的直接 系不是很大!未能体现出为什么要学习园的方程的必要性) (三)探求圆的标准方程 1、让学生直观感知决定圆的要素 师 :请同学们拿出草稿本,画上直角坐标系,取 1 厘米为单位长度。然后,在你的坐 标系中随心所欲的画上一个圆。 (师巡视学生画圆的情况) 师:同学们相互看一下,你们画的圆一样吗? 生:不一样 师: (疑惑地)为什么会不一样呢? 生: (个别学生)因为人不一样 师: (微笑地)对呀,人不同画的圆就有不同,有的在左边,有的在右边,有的在上面, 有的在下面,还有的在中间,在坐标轴上,有的大,有的小,等等(语速较快) 。 导致这些情况的根本原因是什么呢? 生:圆心和半径 师: (高兴地)非常好!圆心定位置,半径定大小 请同学们再画一个以(2,3)为圆心,2 为半径的圆。 师待学生画好后 师:看一下,这次你们画出的圆一样吗? 生:一样 师:因为 生:圆心和半径都确定了
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2、推导圆的标准方程 师:由曲线的方程和方程的曲线的概念我们应该知道,既然这个圆已经确定了,那么, 它的方程也是确定的,这个方程是什么呢?请大家马上求该园的方程。 学生独自找探究求该圆的方程,师巡视了解学生情况。待学生完成,请学生作答 学生甲: (x-2)2+(y-3)2=4 师(追问) :怎么得到的? 生口答推导过程,师将其板书在黑板上,并强调 P(x,y)是圆上的任意一动点,用到了 求曲线方程的基本步骤。 师:上面是特殊情况,若我将圆心(2,3)改为(a,b) ,半径 2 改为 r,此时的方程 又是什么呢? 生: (x-a)2+(y-b)2=r2 师:该方程就称为圆的标准方程。大家看一下这个方程有什么特征,能帮助我们理解 和记忆? 生思考 生 1:左边是平方和,右边是 r 的平方。有点像勾股定理。 生 2:a,b 是圆心的纵横坐标,r 是圆的半径。 生 3:x ,y 是变量,a、b、r 是常数。 师:大家观察的仔细,圆的方程确实有点相勾股定理的形式,但它并不是勾股定理。 它的实质是两点间的距离公式。大家要明确方程中各个字母的含义。可根据圆的 定义和推导的方法来记忆,现在大家闭上眼睛默记一下它的形式与特征。 3、即学即练,熟悉圆的标准方程。 师:已知圆的标准方程,我们就能够找出圆心和半径。请同学们马上完成练习 1。 学生练习,师巡视,待学生完成,抽学生作答。针对学生回答情况,师作强调和补充。 师:已知圆的标准方程,能够找出圆心和半径;反之,我们能否写出圆的标准方程呢? 学生练习 2 学生自评练习 2,师强调,求圆方程的关键是找圆心和半径。 4、层层深入,例题分析 师:接下来我们再看一下如何根据已知条件求圆的标准方程。给出例 1。 ,且与 例 1:写出圆心在点(1,3) 且与 x 轴相切的圆的方程 。 :写出圆心在点( , ) , 请同学们先思考,并在草稿本上演算。 片刻后,发现有的学生无从下手 师提示:关键是找什么? 生:半径 师:大家在做题时别忘了作个图,利用图形帮助你分析 生马上作出图形找到了半径,问题解决。
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师:这里我们利用图形帮我们很快找出了解题的思路,这就是我们经常要用到的一种 重要的数学思想方法——数形结合 数形结合的思想。 数形结合 师:看图,若该圆与 y 轴相切,半径是多少? 生:1 师:OK!你看,圆要么与 x 轴相切,要么与 y 轴相切,都很特殊,如果是与任意的一条 直线相切呢?出示变式题: 变式: 相切的圆的方程。 变式:求以 C(1,3)为圆心,和 3x-4y-7=0 相切的圆的方程。 ( , )为圆心, 学生完成例 1 的变式题 生:点到直线的距离即为圆的半径,所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=(16/5)2 师:很好,那么根据圆心和切线,我们可以求出圆的标准方程,反过来,已知圆的方 程,我能否求出切线的方程呢?比如下面的例 2。 例 2、已知圆的方程是 x2+y2=25,求经过圆上一点 M(3,4)的切线方程 、 , ( ) 请大家先独立思考,找出思路,再和其他同学讨论一下,看谁找出的方法最多。 学生思考讨论中,师巡视。 师:很多同学都已经完成了,好,我们一起来分享大家的解法。 (学生举手) 生甲:可求直线 OM 的斜率,进而找到切线的斜率,再借助点斜式写出切线的方程。 (师根据学生回答在黑板上板书过程) 师:好的,不错。还有没有其它的解法? 学生乙:设切线的斜率为 K,写出切线方程,在用点到直线的距离等于半径列等量关 系,求出 K 的值。 师:这种方法称为—— 生:待定系数法 师:这也是我们经常用到的一种数学方法,还有没有其它方法? 学生丙:还可以用向量 师:向量怎么解? 学生丙:切线上任取一点 P(x,y) ,就有 OMMP=0 师:哦,所得方程就是切线方程,这种解法再次体现了我们求曲线方程的几个基本步 骤。还有没有其它解法? 生迟疑 师在黑板上比划直角三角形。 生:还可以用勾股定理建立等量关系 师:前两法我们是待定系数求 K,后两法主要依据求曲线方程的方法。对于前两法我 们求 K,是因为 K 存在,如果 K 不存在呢?你还求得出 K 吗?比如:将点 M(3, 4)变为点 M(5,0) ,此时切线方程又是多少?
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学生作出图形,马上口答 生:切线方程是 x=5 师:如 M 为(0,-5)呢? 生:y=-5 师:此时还需要求斜率 K 吗? 生:不需要 师:说明点 M 的位置很重要。好,我们现在将以上特殊情况推广到一般情况,即变式 练习 2,请同学们完成。 变式练习: 变式练习: 变式 1 :已知圆的方程是 x2+y2=25,求经过圆上一点 M(5,0)的切线方程。 变式 2 :已知圆的方程是 x2+y2= r2,求经过圆上一点 M(x0,y0)的切线方程。 变式 3 :已知圆的方程是 x2+y2=25,求经过圆外一点 M(1,7)的切线方程。 变式 4 :已知圆的方程是 x2+y2=25,求经过圆外一点 M(x0,y0)的切线方程 学生思考变式练习 2,师了解学生情况,给个别学生答疑。 (大部分学生完成) 师:找到切线方程没有? 生:找到了 师:是多少 生丁:要分类,看斜率是否存在,斜率存在时就和例 1 一样,斜率不存在时就直接写 出切线方程 师:非常好!这里我们用到了分类讨论的思想,而分类的依据是因为点 M 的位置不确 定,所以要看点 M 是否在坐标轴上。 现在大家回顾整理一下本题的解题思路(给学生留片刻时间整理本题思路) 师:我们刚才的点都是在圆上的,如果点 M 在圆外呢?这时,切线的方程又该怎样来 找呢?请同学们下来思考例 2 的变式 3 和变式 4,下节课我们再来解决这个问题。 师:好,请同学们抬起头来,闭上眼睛,回忆一下本节课所学的内容。 学生准备好 :师: (轻声地,慢慢地)一是圆的标准方程,它的推导思路和它的特征;二是根据已知 条件求圆的标准方程;三是运用圆的标准方程解决一些简单的问题。 停顿片刻 师:本节课的内容你都掌握了吗?请同学们马上完成课堂练习,自我检测。 下课了,学生还没有做完,请同学们下来继续完成。

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研究材料二: 研究材料二:教学反思
圆的标准方程,这节内容我安排了两节课的时间,这节课主要是圆的标准方程的 推导和一些简单的运用。在平面解析几何中,我认为这节内容很重要,因为它的研究 方法为以后学习圆锥曲线提供了一个基础模式,如果学生掌握得好,后面的学习会轻 松许多。 由于我所面对的学生初中数学基础还不错,所以在简要复习旧知识后,我引入了 生活中的一个常见问题引发学生的疑问,产生认知冲突形成愤悱的氛围,进而提高学 生学习本节内容的兴趣。 圆的标准方程是求曲线方程的一个具体表现,但学生对圆的标准方程还是很陌生, 难以将圆与圆的标准方程紧密联系起来。基于此,我想通过学生的切身体验;来发现 圆的决定要素,让学生明确一个圆对应一个方程,在此基础上借助求曲线方程的基本 步骤,由学生自主探究推导出以(2,3)为圆心,2 为半径的圆的标准方程,再由特殊到 一般,利用化归的思想归纳出以(a,b)为圆心,r 为半径的圆心的标准方程。并引导学 生找出方程的特征,以帮助学生理解和记忆,及时掌握。 例题教学的设计,还是紧密围绕圆的标准方程这一目标展开,主要加深对圆的标 准方程的理解及一些简单的应用。例题安排不多,但变式较多,变式的设计由特殊到 一般,由简到繁,由浅入深,层层入深,让学生的思维得以提高,比较符合学生的认知 规律,这样学生接受起来比较容易。 课堂练习,是对本节课目标落实情况的检测,让学生明确本节课应该到达什么样 的目标,题不多,很基础,主要是激发学生的兴趣和增强学习的自信。 整个教学设计,我的希望是以学生自主学习为主,所以很多问题都由学生独立思 考或讨论完成,教师仅仅是一个引路人,让学生的主体地位得到充分体现,注重学生 思维的形成过程,并将数学思想方法渗透到教学中。 总的来说,这节课几乎是按自己的教学设计在进行,而且顺利地完成了。应该说 在学生动手,双基落实方面还不错,学生的活动也比较充分,教师仅是及时的引导和

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点评,让学生的主体性得到了较为充分的体现。另外,在教学中不断的渗透数学思想 和方法,让学生思维得到提升。 当然,这节课还有很多不足的地方。比如:在变式练习时,未写出切线的方程, 缺乏解题和板书的完整性;另外,后面的课堂练习也没有得到及时的反馈,这是较 遗憾的。 从这堂课的教学设计和教学的过程中,我得到了锻炼和提高,这对我在今后的 教学有很大的帮助。

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