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圆锥曲线的综合问题(基础+复习+习题+练习)


课题:直线和圆锥曲线的综合问题
考纲要求: 1. 理解数形结合的思想. 2. 了解圆锥曲线的简单应用. 教材复习 1. 对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求” ,常结合韦达定理 . 2. 解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时,经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否 有解或解的个数问题.对于消元后的一元二次方程,必须讨论二次项的系数和判别式 △ ,注

>意直线与圆锥曲线相切必有一个公共点,对圆与椭圆来说反之亦对,但对双曲线和抛物线来 说直线与其有一公共点,可能是相交的位置关系.有时借助图形的几何性质更为方便. 3. 涉及弦的中点问题,除利用韦达定理外,也可以运用“点差法” ,但必须以直线与圆锥 曲线相交为前提,否则不宜用此法.

4. 直线与圆锥曲线相交的弦长计算: ?1? 连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦;

? 2 ? 易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长;? 3? 一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方
程组成的方程组 ,得到关于 x ( 或 y ) 的一元二次方程 ,利用方程组的解与端点坐标的关 系,结合韦达定理得到弦长公式:

d ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 = (1 ?

1 )( y1 ? y 2 ) 2 . k2

5. 涉及垂直关系问题,一般是利用斜率公式及韦达定理求解,设 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? ,

P ? x0 , y0 ? 是直线与圆锥曲线的两个交点, O 为坐标原点,则 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,
AP ? BP ? ? x0 ? x1 ? ? ? x0 ? x2 ? ? ? y0 ? y1 ? ? ? y0 ? y2 ? ? 0

6. 解析几何解题的基本方法:数形结合法,以形助数,用数定形.常用此法简化运算.

基本知识方法 1. 在几何问题中,有些几何量与参数无关,这就构成了定值问题,解决这类问题一种思路
是进行一般计算推理求出其结果;另一种是通过考查极端位置,探索出“定值”是多少, 然后再进行一般性证明或计算,即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式,证明 该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现,特殊方法往往比较奏效.

2. 对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题,设
该直线(曲线)上两点的坐标,利用坐标在直线(或曲线)上,建立点的坐标满足的方程 (组) ,求出相应的直线(或曲线) ,然后再利用直线(或曲线)过定点的知识加以解决. 可从特殊情况入手,先探求定点,再证明一般情况.

3. 解析几何的最值和范围问题,一般先根据条件列出所求目标的函数关系式,然后根据函
数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角 函数最值法等求出它的最大值和最小值. 不会学会,会的做对. 想象力比知识 451 更为重要.(美国科学家爱因斯坦 )

典例分析:
考点一 弦长问题

问题

2 1. 设直线 l 过双曲线 x ?

y2 ? 1的一个焦点,交双曲线于 A 、 B 两点, O 为坐标 3

原点,若 OA ? OB ? 0 ,求 AB 的值.

考点二 焦点弦问题
2 问题 2. 过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的焦点作一条直线交抛物线于 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? ,

两点,设直线的倾斜角为 ? .求证: ?1? y1 ? y2 ? ? p 2 ; ? 2 ? AB ?

2p sin 2 ?

不会学会,会的做对.

想象力比知识 452 更为重要.(美国科学家爱因斯坦 )

考点三 范围与最值问题 问题 3. ( 2010 湖北)已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F ?1,0 ? 的距离减 去它到 y 轴距离的差都是 1 .( Ⅰ ) 求曲线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在正数 m ,对于过点 M ? m,0? 且与曲线 C 有两个交点 A, B 的任一直线,都有 FA FB ? 0 ?若存在,求出 m 的
取值范围;若不存在,请说明理由.

不会学会,会的做对.

想象力比知识 453 更为重要.(美国科学家爱因斯坦 )

问题 4.( 2012 浙江)

如图,椭圆 C :

1 x2 y 2 + ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 , a 2 b2 2

其左焦点到点 P ? 2,1? 的距离为 10 .不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A , B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 △ ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.

考点四 定点定值问题
不会学会,会的做对. 想象力比知识 454 更为重要.(美国科学家爱因斯坦 )

问题 5.( 2013 陕西)已知动圆过定点 A? 4,0? ,
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; 若 x 轴是 ?PBQ 的角平分线, 证明直线 l 过定点.

且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8 .

(Ⅱ) 已知点 B ? ?1,0? , 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P , Q ,

不会学会,会的做对.

想象力比知识 455 更为重要.(美国科学家爱因斯坦 )

x2 y 2 问题 6. ( 2011 山东) 已知直线 l 与椭圆 C : ? ? 1 交于 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? 3 2

两不同点,且 △ OPQ 的面积 S ?

6 ,其中 Q 为坐标原点. 2

2 2 2 (Ⅰ)证明 x1 和 y12 ? y2 均为定值; ? x2

(Ⅱ)设线段 PQ 的中点为 M ,求 OM ? PQ 的最大值; (Ⅲ)略.

不会学会,会的做对.

想象力比知识 456 更为重要.(美国科学家爱因斯坦 )

考点五

探索性问题 问题 7. ( 04 湖北)直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C : 2 x2 ? y 2 ? 1的右支交于不同的两 点 A 、 B .(Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的 圆经过双曲线 C 的右焦点 F ?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由.

不会学会,会的做对.

想象力比知识 457 更为重要.(美国科学家爱因斯坦 )

课后作业:
1. ( 07 南通九校联考)过双曲线 x 2 ?

y2 ? 1的右焦点作直线 l 交双曲线于 A 、 B 两点, 2 A. 2 条 B. 3 条 C. 4 条 D. 无数条 若 AB ? 4 ,则满足条件的直线 l 有

2. 已知双曲线 C : x 2 ?

y2 ? 1 ,过点 P (1,1) 作直线 l ,使 l 与 C 有且只有一个公共点, 4 A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 则满足上述条件的直线 l 共有

3. ( 07 北京海淀区)若不论 k 为何值,直线 y ? k ? x ? 2? ? b 与直线 x2 ? y 2 ? 1总有公共
点,则 b 的取值范围是 A. ? 3, 3

?

?

B. ? ? 3, 3 ? ? ?

C. ? ?2, 2?

D. ? ?2, 2?

4. 直线 kx ? y ? k ? 1 ? 0 与椭圆

A. 0

B. 1

x2 y 2 ? ? 1 公共点的个数是 25 16 C. 2 D. 随 k 变化而改变

不会学会,会的做对.

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5. 椭圆 m x2 ? ny2 ? 1与直线 x ? y ? 1交于 M , N 两点,MN 的中点为 P ,且 OP 的斜率


m 2 ,则 的值为 n 2

A.

2 2

B.

2 2 3

C.

9 2 2

D.

2 3 27

6. 已知椭圆 x2 ? 2 y 2 ? 4 ,则以 (1,1) 为中点的弦的长度是 A. 3 2 B. 2 3 C.

30 3

D.

3 6 2

7. 若直线 y ? kx ? 1 和椭圆

x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点,则实数 m 的取值范围为 25 m

8. 过椭圆 2 x2 ? y 2 ? 2 的一个焦点的直线交椭圆于 P 、 Q 两点,求 △POQ 面积的最大值

不会学会,会的做对.

想象力比知识 459 更为重要.(美国科学家爱因斯坦 )

1 ,过 F 作直线 l 交 3 椭圆于 A, B 两点,已知线段 AB 的中点到椭圆左准线的距离是 6 ,则 AB ?
9. 中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的左焦点为 F ,离心率为 e ?

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的右焦点为 F ,过 F 作直线与椭圆相交于 A 、B a 2 b2 两点,若有 BF ? 2 AF ,求椭圆离心率的取值范围.
10. 已知椭圆

不会学会,会的做对.

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11. 抛物线 y 2 ? 2 px 的顶点任意作两条互相垂直的弦 OA 、 OB , 求证: AB 交抛物线的对称轴上一定点.

y
A

O
B

x

走向高考:
12. ( 06 福建)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的右焦点为 F ,若过点 F 且 a2 b2
C. ?2, ??? D. ? 2, ???

倾斜角为 60 ? 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是

A. ?1, 2?

B. ?1, 2 ?

x2 y 2 2 ? ? 1 的右支上一点, M , N 分别是圆 ? x ? 5 ? ? y 2 ? 4 9 16 2 2 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 和 ? x ? 5 ? ? y ? 1 上的点,则 PM ? PN 的最大值为
13.( 06 江西) P 是双曲线

14. ( 2013 安徽) 已知直线 y ? a 交抛物线 y ? x2 于 A, B 两点.若该抛物线上存在
不会学会,会的做对. 想象力比知识 461 更为重要.(美国科学家爱因斯坦 )

点 C ,使得 ?ABC 为直角,则 a 的取值范围为

15. ( 07 全国Ⅰ)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 .过 F1 的直线交椭圆 3 2

于 B, D 两点,过 F2 的直线交椭圆于 A, C 两点,且 AC ? BD ,垂足为 P . (Ⅰ)设 P 点的坐标为 ( x0,y0 ) ,证明: (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积的最小值.
2 x0 y2 ? 0 ?1; 3 2

不会学会,会的做对.

想象力比知识 462 更为重要.(美国科学家爱因斯坦 )


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