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江苏省扬州中学2015届高三上学期质量检测(12月) 数学(理)


江苏省扬州中学 2014-2015 学年第一学期质量检测


一、





学 [理]

2014.12

填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分

1.已知集合 A ? {x | x ? ?1}, B

? {x | x ? 2}, 那么 A ? B ? _________. 2.函数 f ( x) ? 2 cos( ?2 x ? 3.复数 z ? 1 ? i ,且

?
4

) 的最小正周期为_________.

1 ? ai (a ? R) 是纯虚数,则实数 a 的值为_________. z

4.已知双曲线

1 x2 y2 ? ? 1(m ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? x, 则 m 的值为_______. 2 m 3

5.在 ?ABC 中, A ? 450 , C ? 1050 , BC ?

2, 则 AC =________.

6.“ M ? N ”是“ log2 M ? log2 N ”成立的________条件.(填“充分不必要” “必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”). 7.若 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S9 ? ?36, S13 ? ?104 , 则 a5 与 a7 的等比中项为_______. 8.若正四棱锥的底面边长为 2 2cm, 体积为 8cm3 , 则它的侧面积为_______.

?y ? 3 ? 0 ? 9. 在平面直角坐标系 xoy 中,记不等式组 ?2 x ? y ? 7 ? 0 表示的平面区域为 D. 若对数函数 ?x ? 2 y ? 6 ? 0 ?

y ? loga x(a ? 1) 的图像与 D 有公共点,则 a 的取值范围是__________.
10.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ? 3) ? f ( x), 当 x ? (?2,0) 时, f ( x) ? 2 x ,

) ? f (2014 ) ? f (2013 ) ? _________. 则 f (2015
11.在边长为 1 的正 ?ABC 中,向量 BD ? x BA, CE ? yCA, x ? 0, y ? 0 ,且 x ? y ? 1, 则 CD ? BE 的最大值为________.
2 2 12.若在给定直线 y ? x ? t 上任取一点 P, 从点 P 向圆 x ? ( y ? 2) ? 8 引一条切线,切点为

Q. 若存在定点 M , 恒有 PM ? PQ, 则 t 的范围是_______.

a1 ? a, {bn } 是公比为 13.已知数列 {an } , {bn } 中,
*

a ?2 2 的等比数列.记 bn ? n (n ? N * ), 若不 3 an ? 1

等式 a n ? a n ?1 对一切 n ? N 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.
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14.已知 a, b ? R, b ? 0 ,曲线 y ? x 3 ? ax2 ? bx 和直线 y ? ax ? b 有交点 Q ?m, n? ?m, n ? Z ? ,则 a , b 满足的等量关系式为______________. (不能含其它参量)

二. 解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分 15.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? m ? n, 其中向量 m ? (sin?x ? cos?x, 3 cos?x),

n ? (cos?x ? sin ?x,2 sin ?x), ? ? 0, 若 f ( x) 的图像上相邻两个对称中心的距离大于等于

?.
(1)求 ? 的取值范围;

B C 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,a ? 3, 当 ? 最大时,f ( A) ? 1, 求 ?ABC (2) 在 ?A
的面积最大值.

16.(本小题满分 14 分) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E , F 在圆 O 上,且 AB // EF, 矩形

C D B O M E F

ABCD 所 在 的 平 面 与 圆 O 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 , 且

AB ? 2, AD ? EF ? 1.
(1)设 FC 的中点为 M , 求证: OM // 面 DAF;

(2)求证: AF ? 面 CBF . 17.(本小题满分 14 分) 如图①,有一个长方形状的敞口玻璃容器,底面是边长为 20 cm 的正方形,高为 30 cm ,内有 20 cm 深的溶液,现将此容器倾斜一定角度 ? (图②) ,且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上 (图①,②均为容器的纵截面). (1)当 ? ? 30 时, 通过计算说明此溶液是否会溢出;
0

A

(2)现需要倒出不少于 3000 cm 的溶液,当 ? 等于
3

600 时,能实现要求吗?通过计算说明理由.

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18.(本小题满分 16 分) 如图所示,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、 a 2 b2

右焦点分别为 F 1 ? ?1,0 ? , F 2 ?1,0 ? , P 为椭圆上一点,

Q 为上顶点, F1 M ? 2MP , PO ? F2 M ? 0 .
(1) 当椭圆离心率 e ? 点,求 ?AQB ; (2)求椭圆离心率 e 的取值范围.

3 1 时,若直线过点(0, ? )且与椭圆交于 A, B (不同于 Q )两 7 2

19. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ?

1? a 2 x ? ax ? ln x(a ? R). 2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的极值; (2)当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性. (3)若对任意 a ? (3, 4) 及任意 x1 , x2 ?[1, 2] ,恒有 求实数 m 的取值范围.

(a 2 ? 1) m ? ln 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 2

20. (本小题满分 16 分) 已知数集 A ? ?a1 , a2 ,

an ??1 ? a1 ? a2 ?

an , n ? 2? 具有性质 P ;对任意的

第 - 3 - 页 共 12 页

i, j ?1 ? i ? j ? n? , ai a j 与

aj ai

两数中至少有一个属于 A .

(1)分别判断数集 ?1,3, 4? 与 ?1, 2,3,6? 是否具有性质 P ,并说明理由; (2)证明: a1 ? 1 ,且

a1 ? a2 ? ? an ? an ; ?1 ?1 a1?1 ? a2 ? ? an
.k.s.5.

(3)证明:当 n ? 5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列.

命题、校对、审核:王朝和、徐小美 封?????线?????内?????不?????要?????答?????题??????


1.已知矩阵 M ? ?

学Ⅱ (附加题)

?2 1 ? ? 的一个特征值是 3,求直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 在 M 作用下的直线方程. ?1 a ?

姓名_____________ 学号

2.在平面直角坐标系 xoy 中, 曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? cos? (?是 参 数 ).若以 O 为极点, ? y ? sin ? ? 1

x 轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系中相同的单位长度,建立极坐标系,求曲线 C 的极
坐标方程 .

高三___________

第 - 4 - 页 共 12 页

3. 如图,在正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AB ? 2 ,点 M , N 分别在线段 PA 和 BD 上,

BN ?

1 BD . 3 1 PA ,求证: MN ? AD ; 3


P

(1)若 PM ?

(2)若二面角 M ? BD ? A 的大小为 度.

? ,求线段 MN 的长 4
A

D

C N · B (第 3 题图)

4.已知 (1 ?

1 n x) 展开式的各项依次记为 a1 ( x), a2 ( x),...,an ( x), an?1 ( x). 设函数 2

F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x) ? ... ? nan ( x) ? (n ? 1)an?1 ( x).
(1) 若 a1 ( x), a2 ( x),...,a3 ( x) 的系数依次成等差数列,求正整数 n 的值; (2) 求证: ?x1 , x2 ? [0,2], 恒有 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 2
n?1

(n ? 2) ? 1.

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命题、校对、审核:王朝和、徐小美

高三(理)数学质量检测参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分 1. R 2. ? 3. 1 4. 12 7. ? 4 2 8. 4 22 9. a ? (1, 3 2 ] 5. 1 10. 0

(2014.12)

6.必要不充分 11. 88

12. 圆, 【解析】设 M (m, n), P( x, x ? t ), 若恒有 PM ? PQ, 则有

( x ? m) 2 ? ( x ? t ? n) 2 ? x 2 ? ( x ? t ? 2) 2 ? 8, 即有 (2m ? 2n ? 4) x ? (m 2 ? n 2 ? 2nt ? 4t ? 4) ? 0, ?x ? R 恒成立,
∴?

?2m ? 2n ? 4 ? 0
2 2

, 消去 m, 得 n 2 ? (t ? 2)n ? (2t ? 4) ? 0. ?m ? n ? 2nt ? 4t ? 4 ? 0
2

∴ ? ? (t ? 2) ? 4(2t ? 4) ? 0 ,∴ t ? (??,?2] ? [6,??) . 13.【解析】∵ bn ?

an ? 2 b ?2 b ? 2 bn ? 2 (n ? N * ), ∴ a n ? n . ∴ an?1 ? an ? n?1 ? an ? 1 bn ? 1 bn?1 ? 1 bn ? 1

bn?1 ? bn 1 1 ? ? ? ? bn ? 1 bn?1 ? 1 (1 ? bn?1 )(1 ? bn )
bn ?

1 ? bn 3 3 ? 0, 解得 bn ? 或 0 ? bn ? 1. 若 2 2 (1 ? bn )(1 ? bn ) 3

3 2 n ?1 3 ? 对一切正整数 n 成立,显然不可能; ,则 b1 ( ) 2 3 2 2 n ?1 ? 1 对一切正整数 n 成立,只要 0 ? b1 ? 1 即可,即 若 0 ? bn ? 1, 则 0 ? b1 ( ) 3

0?

a1 ? 2 ? 1, ,解得 a1 ? a ? 2. a1 ? 1

14. 2a ? b ? 8 ? 0 导数 三. 解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分 15.【解析】 (1)由题意知 f ( x) ? m ? n ? cos2 ?x ? sin 2 ?x ? 3 sin 2?x
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= cos 2?x ? 3 sin 2?x ? 2 sin( 2?x ?

?
6

).

T 1 2? ? ? ? ? ? ? , ? ? 0, 2 2 2? 2?

1 解得 0 ? ? ? . 2

1 ? ? 1 , f ( A) ? 2 sin( A ? ) ? 1, 即 sin( A ? ) ? . 2 6 6 2 ? ? 7? ? 5? 2? ,∴ A? ? ,得A ? . 又∵ 0 ? A ? ? , ∴ ? A ? ? 6 6 6 6 6 3 1 2 2 2 由余弦定理得 a ? 3 ? b ? c ? 2bc ? ? bc , 即 bc ? 1. 2
(2)由(1)知 ? max ? ∴ S ?ABC ?

1 1 3 3 bc sin A ? ? 1 ? ? . 2 2 2 4
1 1 CD , MN = CD , 又∵ AO ∥ 2 2

16.【证明】 (1)设 DF 的中点为 N , 连接 MN , 则 MN ∥

1 1 CD , AO = CD , ∴ MN ∥ AO , MN = AO ,∴ MNAO 为平行四边形,∴ OM ∥ AN . 2 2
又∵ AN ? 面 DAF, OM ? 面 DAF, ∴ OM ∥面 DAF . (2)∵面 ABCD ? 面 ABEF , CB ? AB, CB ? 面 ABCD ,面 ABCD ? 面 ABEF ? AB, ∴ CB ? 面 ABEF .∵ AF ? 面 ABEF ,∴ AF ? CB. 又∵ AB 为圆 O 的直径, ∴ AF ? BF . 又∵ CB ? BF ? B, CB, BF ? 面 CBF . ∴ AF ? 面 CBF . 17.【解析】

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18.解: (1) c ? 1, e ?

c 1 ? , 得 a ? 2,? b2 ? a2 ? c2 ? 3 , a 2

所以椭圆的方程为

x2 y 2 3 ? ? 1 . 依题意可设 AB 所在的直线方程为 y ? kx ? ,代入椭圆 4 3 7
2 2





,



?3+4k ? x
2

?

8 3 576 kx ? ?0 7 49

.



A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?





x1 ? x2 ?

7 ? 3 ? 4k

8 3k

?

, x1 x2 ?

49 ? 3 ? 4k 2 ?

?576

.

因为 Q 0, 3 ,? QA ? QB ? x1 , y1 ? 3 ? x2 , y2 ? 3 ? ? x1 , kx1 ?

?

?

?

??

?

? ? ?

8 3? ? 8 3? ?? x2 , kx2 ? ? ? ? ? 7 ? ? 7 ? ?

? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ?
?

8 3 192 ?576 8 3 8 3k 192 k ? x1 ? x2 ? ? ? ?1 ? k 2 ? ? k ? 7 49 7 49 ? 3 ? 4k 2 ? 7 ? 3 ? 4k 2 ? 49
2

?576 ? 576k 2 ? 192k 2 ? 576 ? 768k 2 49 ? 3 ? 4k

?

? 0 ,所以 ?AQB ?

?
2

.

(2)因为 PO ?

1 1 PF1 ? PF2 , F2 M ? PM ? PF2 ? PF1 ? PF2 , 2 3

?

?

因为 PO ? F2 M ? 0 ,所以
2 2

1 PF1 ? PF2 2

?

1 ? ??? ? PF ? PF ? ? 0 ,化简得 ?3 ?
1 2

PF1 ? 2 PF1 · PF2 - 3PF2 ? 0 ,即 PF1 ? 2 PF1 PF2 cos ?F1 PF2 ? 3 PF2
在 ?F1 PF2 中,由余弦定理,有 PF1 所以 4 PF2 即e ?
2 2 2

2

2

? 0,

? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos ?F1 PF2 ? 4c 2 ,

? 4c2 , PF2 ? c , 又因为 a ? c ? PF2 ? a ? c,? a ? 2c ,

c 1 ?1 ? ? , 0 ? e ? 1? e ? ? ,1? . a 2 ?2 ?
1 x ?1 ? ,当 x x

' 19.解析: (1)函数的定义域为 (0, ??) .当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x, f ( x) ? 1 ?

0 ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 0; f ( x) 单调递减;当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0. f ( x) 单调递增 ? f ( x)极小值 =f (1) ? 1 无极大值.


(1 ? a) x ? ax ? 1 1 ? ? x x (1 ? x)2 1 ? 1 ,即 a ? 2 时, f ' ( x) ? ? ? 0, f ( x) 在定义域上是减函数; 当 a ?1 x
' (2) f ( x) ? (1 ? a ) x ? a ?

2

(1 ? a)( x ?

1 )( x ? 1) a ?1 x

第 - 8 - 页 共 12 页

当 0?

1 1 ? 1 , 即 a ? 2 时 , 令 f ' ( x) ? 0, 得 0 ? x ? 或 x ? 1; 令 f ' ( x) ? 0, 得 a ?1 a ?1

1 ? x ? 1. a ?1 1 1 ? 1 , 即 1 ? a ? 2 时 , 令 f ' ( x )? 0 得 ; 令 f ' ( x) ? 0, 得 当 , 0 ? x ?1 或 x ? a ?1 a ?1 1 1? x ? . a ?1 1 ) 和 (1, ??) 单 综上,当 a ? 2 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上是减函数;当 a ? 2 时, f ( x ) 在 (0, a ?1 1 1 ,1) 上单调递增;当 1 ? a ? 2 时, f ( x) 在 (0,1) 和 ( , ??) 单调递减,在 调递减,在 ( a ?1 a ?1 1 (1, ) 上单调递增; a ?1 (3)由(Ⅱ)知,当 a ? (3, 4) 时, f ( x ) 在 [1, 2] 上单减, f (1) 是最大值, f (2) 是最小值.

(a 2 ? 1 ) a 3 a 3 ? ? ln 2 ? m ? l n 2? ? ? l n 2, 而 a ? 0 2 2 2 2 2 a ?3 a ?3 1 1 ? ,所以 m ? . 经整理得 m ? 2 ,由 3 ? a ? 4 得 0 ? 2 a ?1 a ? 1 15 15
? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (2) ?
20.【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式的综合题,属于较难层次题. (1)由于 3 ? 4 与

4 均不属于数集 ?1,3, 4? ,∴该数集不具有性质 P. 3 6 6 1 2 3 6 由于 1? 2,1? 3,1? 6, 2 ? 3, , , , , , 都属于数集 ?1, 2,3,6? , 2 3 1 2 3 6

∴该数集具有性质 P. (2)∵ A ? ?a1 , a2 ,

an ? 具有性质 P,∴ an an 与

an 中至少有一个属于 A, an

由于 1 ? a1 ? a2 ? ∵ 1 ? a1 ? a2 ?

? an ,∴ an an ? an ,故 an an ? A .从而 1 ? ? an , ∴ ak an ? an ,故 ak an ? A? k ? 2,3,
an ? A ? k ? 1, 2,3, ak an a ? an?1 , n ? an , a2 a1 an an ? ? a1 ? a2 ? a2 a1 ? an?1 ? an ,∴ , n ? .又∵

an ? A ,∴ a1 ? 1 . an

, n? .
? an an ? , a2 a1

由 A 具有性质 P 可知

an a ? n ? an an ?1



an a ? 1, n ? a2 , an an?1 an a ? n ? an an?1 ?

从而

a1 ? a2 ? ? an ? an . ?1 ?1 a1?1 ? a2 ? ? an

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(3)由(Ⅱ)知,当 n ? 5 时,有 ∵ 1 ? a1 ? a2 ?

a5 a 2 , ? a2 , 5 ? a3 ,即 a5 ? a2a4 ? a3 a4 a3

? a5 ,∴ a3a4 ? a2a4 ? a5 ,∴ a3a4 ? A ,
a a a4 a 2 ? A .由 a2a4 ? a3 ,得 3 ? 4 ? A ,且 1 ? 3 ? a2 , a3 a2 a3 a2

由 A 具有性质 P 可知



a a a4 a3 a a ? ? a2 ,∴ 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? a2 , a3 a2 a4 a3 a2 a1

即 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是首项为 1,公比为 a2 成等比数列.


1.【解析】∵矩阵 M ? ?

学Ⅱ

(附加题 )

? ? 2 ?1 ?2 1 ? 的一个特征值是 3 ,设 f ( ? ) ? ? ?1 ? ? a ?1 a ?

?2 1 ? ? (? ? 2)(? ? a) ? 1 ? 0, 则 (3 ? 2)(3 ? a) ? 1 ? 0, 解得 a ? 2, ∴ M ? ? ?. ?1 2 ?
设直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上任一点 ( x, y ) 在 M 作用下对应的点为 ( x' , y' ), 则有

2 1 ? x ? x'? y ' ? 2 1 x x ' 2 x ? y ? x ' ? ?? ? ? ? ? ? 3 3 ,代入 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,整理得 ?1 2? ? y ? ? ? y'?, 整理得 ? x ? 2 y ? y ' ,则 ? ? ?? ? ? ? ? ? y ? 2 y '? 1 x' ? 3 3 ?
4 x'?5 y'?9 ? 0 .∴所求直线方程为 4 x ? 5 y ? 9 ? 0 .

2.【解析】由 ?

? x ? cos? 消去 ? , 得 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1. 曲线 C 是以点 (0,1) 为圆心, 1 为半 y ? sin ? ? 1 ?

径的圆,∴在极坐标系中,曲线 C 是以点 (1, 标方程是 ? ? 2 sin? .

?
2

) 为圆心, 1 为半径的圆,∴曲线 C 的极坐

3.【解析】连接 AC , BD 交于点 O ,以 OA 为 x 轴正方向,以 OB 为 y 轴正方向, OP 为 z 轴 建立空间直角坐标系. 因为 PA ? AB ? 2 , 则 A(1, 0, 0) ,B(0,1, 0) ,D(0, ?1, 0) ,P(0, 0,1) . ( 1 ) 由 BN ?

1 1 1 1 2 BD , 得 N (0, , 0) , 由 PM ? PA , 得 M ( , 0, ) , 所 以 3 3 3 3 3
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1 1 2 MN ? (? , , ? ) , AD ? (?1, ?1,0) .因为 MN ? AD ? 0 .所以 MN ? AD . 3 3 3
( 2 )因为 M 在 PA 上,可设 PM ? ? PA ,得 M (? ,0,1 ? ? ) .所以 BM ? (? , ?1,1? ? ) ,

BD ? (0, ?2,0) .设平面 MBD 的法向量 n ? ( x, y, z) ,
由?

? ?n ? BD ? 0 ? ?n ? BM ? 0

得?

??2 y ? 0 其中一组解为 x ? ? ? 1 , y ? 0 , z ? ? ,所以可取 ? x ? y ? (1 ? ? ) z ? 0 ?

n ? (? ?1, 0,? ) .因为平面 ABD 的法向量为 OP ? (0,0,1) ,
所以 cos ?

?

n? OP n OP

4

,即

1 2 ? ? ,解得 ? ? , 2 2 (? ? 1) 2 ? ? 2

从 而 M ( , 0, ) ,

1 2

1 2

1 22 N (0, , 0) ,所以 MN ? . 3 6
4.【解析】 (1)由题意知 a k ( x) ? C n ( x)
k ?1

1 2

k ?1

, k ? 1,2,3...,n ? 1.
1

0 ∵ a1 ( x), a2 ( x), a3 ( x) 的系数依次为 C n ? 1, C n ?

∴ 2?

n n(n ? 1) ? 1? , 解得 n ? 8. 2 8

1 n 2 1 2 n(n ? 1) ? , Cn ? ( ) ? , 2 2 2 8

( 2) F ( x) ? a1 ( x) ? 2a2 ( x) ? 3a3 ( x) ? ... ? nan ( x) ? (n ? 1)an?1 ( x) = C n ? 2C n ( x) ? 3C n ( x) ? .... ? nC n ( x)
0 1 2 2

1 2

1 2

n ?1

1 2

n ?1

n 1 ? (n ? 1)C n ( x) n . 2

0 1 2 n?1 n 令 x ? 2, F ( 2) ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ....? nCn ? (n ? 1)Cn .

令 x ? 0, F (0) ? 1
0 1 2 n?1 n 设 S n ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ....? nCn ? (n ? 1)Cn . n n?1 2 1 0 k n ?k 则 S n ? (n ? 1)Cn ? nCn ? ....? 3Cn ? 2Cn ? Cn . 考 虑 到 Cn ? Cn , 将以上两式相加得 0 1 2 n?1 n 2S n ? (n ? 2)(Cn ? Cn ? Cn ....? Cn ? Cn ). ∴ S n ? (n ? 2)2n?1.

又当 x ? [0,2] 时, F ' ( x) ? 0 恒成立,从而 F ( x ) 是 [0,2] 上的单调增函数, ∴ ?x1 , x2 ? [0,2], | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? F (2) ? F (0) ? 2
n?1

(n ? 2) ? 1.

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