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拿高分,选好题第二波高中数学二轮复习精选必考问题4 导数的几何意义、函数的单调性和极值》课件 新人教版


必考问题4 导数的几何意 义、函数的单调性和极值

1.(2011· 山 东 ) 曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交 点的纵坐标是 ( ).

A.-9
C.9

B.-3
D.15

答案:C [由已知得切线的斜率k=y′|x=1=3, ∴切线方程为y-12

=3(x-1),即3x-y+9=0.

令x=0,得y=9,∴切线与y轴交点的纵坐标为9.]

1 2 2.(2012· 辽宁)函数y=2x -ln x的单调递减区间为 ( A.(-1,1] C.[1,+∞) B.(0,1] D.(0,+∞) ).

答案:B [由题意知,函数的定义域为(0,+∞),又由 y′=x- 1 x≤0,解得 0<x≤1,所以函数的单调递减区间为(0,1].]

2 3.(2012· 陕西)设函数f(x)= x +ln x,则 ( 1 A.x=2为f(x)的极大值点 1 B.x=2为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点 ).

2 2 1 答案:D [∵f(x)=x +ln x(x>0),∴f′(x)=-x2+x. 由 f′(x)=0 解得 x=2. 当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数. ∴x=2 为 f(x)的极小值点.]

4.(2012·大纲全国)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有 两个公共点,则c=

(
A.-2或2 B.-9或3 C.-1或1 D.-3或1

).

答案:A [∵y′=3x2-3,∴当y′=0时,x=±1. 则x,y′,y的变化情况如下表: x y′ y (-∞,-1) + ? c+2 -1 (-1,1) - 1 (1,+∞) + c-2

?

?

因此,当函数图象与x轴恰有两个公共点时,必有c+2=0或

c-2=0,∴c=-2或c=2.]

1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程;考查定积 分的性质及几何意义.

2.考查利用导数的有关知识研究函数的单调性、极值
和最值,进而解(证)不等式. 3.用导数解决日常生活中的一些实际问题,以及与其 他知识相结合,考查常见的数学思想方法.

首先要理解导数的工具性作用;其次要弄清函数单调 性与导数符号之间的关系,掌握求函数极值、最值的方法

步骤.对于已知函数单调性或单调区间,求参数的取值范
围问题,一般先利用导数将其转化为不等式在某个区间上 的恒成立问题,再利用分离参数法求解.

必 备 知 识 方 法

必备知识 导数的几何意义

(1)

函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点

(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k=f′(x0). (2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)= f′(x0)(x-x0). (3)导数的物理意义:s′(t)=v(t),v′(t)=a(t).

基本初等函数的导数公式和运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 原函数 f ( x ) =c f(x)=xn(n∈R) f(x)=sin x f(x)=cos x 导函数 f′(x)=0 f′(x)=nxn-1 f′(x)=cos x f′(x)=-sin x

f(x)=ax(a>0且a≠1)
f(x)=ex

f′(x)=axln a
f′(x)=ex

f(x)=logax (a>0且 a≠1) f(x)=ln x (2)导数的四则运算法则 ①[u(x)± v(x)]′=u′(x)± v′(x);

1 f′(x)= x ln a 1 f′(x)= x

②[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x);
?u?x?? u′?x?v?x?-u?x?v′?x? ? ? ③? (v(x)≠0). 2 ?′= v ? x ? [v?x?] ? ?

函数的单调性与导数

(1)

设函数f(x)在(a,b)内可导,若f′(x)>0,则f(x)在区间

(a,b)上是单调递增函数;若f′(x)<0,则f(x)在区间(a,b) 上是单调递减函数. (2)若在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常函数. 函数的极值与导数

设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有点x,都
f(x0)>f(x),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值;如果对x0附 近的所有点x,都有f(x0)<f(x),就说f(x0)是函数的一个极小 值.

函数的最大值与最小值 在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),在[a,b]上必有最大值 与最小值,但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最 值.

必备方法 1.可导函数的单调性 (1)求函数f(x)的单调区间 ①确定函数的定义域;②求f′(x);③若求减区间,则解

f′(x)<0;若求增区间,则解f′(x)>0.
(2)证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性 ①求 f′(x) ;②确认 f′(x) 在 (a , b) 内的符号;③推出结 论.f′(x)>0为增函数,f′(x)<0为减函数. (3)已知函数的单调性,求参数的取值范围,转化为一般 不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题.

2.函数的极值与最值
根据最值定理,求在闭区间 [a ,b]上连续,开区间 (a, b)内可导的函数的最值时,可将过程简化,即不用判断 导数为零的点是极大值点还是极小值点,直接将极值点 与端点的函数值进行比较,就可判定最大 ( 小 ) 的函数

值,就是最大 ( 小 ) 值.对于开区间 (a , b) 内可导的函数
(定义域为开区间或半开半闭区间 )求最值时,除求出函 数的极大值、极小值外,还应考虑函数在区间端点处的 极限值或画出函数的大致图象,再判定函数的最大(小) 值,否则会出现错误.但定义在开区间(a,b)上的可导 函数,如果只有一个极值点,该极值点必为最值点.

3.利用导数解决优化问题的步骤 (1) 审题设未知数; (2) 结合题意列出函数关系式; (3) 确 定函数的定义域;(4)在定义域内求极值、最值;(5)下结 论.

热 点 命 题 角 度

导数的几何意义及其应用
常考查:①根据曲线方程,求其在某点处的切线方

程;②根据曲线的切线方程求曲线方程中的某一参数.

aln x b 【例 1】 ? (2011· 新课标全国)已知函数 f(x)= + , 曲线 y=f(x) x+1 x 在点(1,f(1))处的切线方程为 x+2y-3=0,求 a,b 的值. f?1?=1, ? ? [审题视点] 求 f′(x),由? 1 可求. f′?1?=- ? 2 ? [听课记录]

解 f′(x)=

?x+1 a? ? x -ln ?

?x+1?2

? ? x? ?

b -x2,

1 由于直线 x+2y-3=0 的斜率为- ,且过点(1,1), 2 f?1?=1, b=1, ? ? ? ? 故? 即?a 1 1 f′?1?=-2, -b=-2. ? ? ? ?2 解得 a=1,b=1.

解决函数切线的相关问题,需抓住两个关键 点:其一,切点是交点.其二,在切点处的导数是切线的

斜率.因此,解决此类问题,一般要设出切点,建立关系—
—方程(组).其三,求曲线的切线要注意“过点P的切线”与 “在点P处的切线”的差异.过点P的切线中,点P不一定是 切点,点P也不一定在已知曲线上;在点P处的切线,点P是 切点.

【突破训练 1】 直线 y=2x+b 是曲线 y=ln x(x>0)的一条切线, 则实数 b=________. ?1 1? 1 1 1 解析 y′=x ,令x =2 得,x=2,故切点为?2,ln 2?,代入 ? ? 1 1 直线方程,得 ln =2× +b,所以 b=-ln 2-1. 2 2 答案 -ln 2-1

利用导数研究函数的单调性
常考查:①利用导数研究函数的单调性问题;②由函 数的单调性求参数的范围.

【例2】? (1)已知导函数f′(x)的下列信息: 当1<x<4时,f′(x)>0;

当x>4,或x<1时,f′(x)<0;
当x=4,或x=1时,f′(x)=0. 试画出函数y=f(x)图象的大致形状. (2)确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数, 哪个区间内是减函数.

2 3 (3)已知函数 f(x)=4x+ax - x (x∈R)在区间[-1,1]上是增函数, 3
2

求实数 a 的取值范围. [ 审题视点] 题 (1) 已知函数的导数的符号,可先判断函数的单调 性,进而画出草图;题(2)要求函数的单调区间,可先求函数的导 函数,再令导函数大于 0(或小于 0)解得函数的单调区间;题(3)是 已知单调区间反求字母 a 的范围,可先求导函数,再令导函数在 已知的单调区间上恒非负(或非正). [听课记录]



(1)当1<x<4时,f′(x)>0,可知y=f(x)在此区间内单

调递增; 当x>4,或x<1时,f′(x)<0; 可知y=f(x)在此区间内单调递减; 当x=4,或x=1时,f′(x)=0,可知这两点处的切线是水平 的. 综上,函数y=f(x)图象的大致形状如图所示.

(2)f′(x)=6x2-12x. 令 6x2-12x>0,解得 x<0 或 x>2. 因此,当 x∈(-∞,0)时,函数 f(x)是增函数, 当 x∈(2,+∞)时,f(x)也是增函数. 令 6x2-12x<0,解得 0<x<2. 因此,当 x∈(0,2)时,f(x)是减函数. (3)f′(x)=4+2ax-2x2,且 f′(x)在[-1,1]的任意子区间内均不恒 为 0, 又因 f(x)在区间[-1,1]上是增函数, 所以 f′(x)≥0 对 x∈[-1,1]恒成立,

即 x2-ax-2≤0 对 x∈[-1,1]恒成立, 解之得:-1≤a≤1, 所以实数 a 的取值范围为[-1,1].

题 (2) 利用了函数单调的充分条件:“若 f′(x) > 0 ,则 f(x) 单调递增;若 f′(x) < 0 ,则 f(x) 单调递减”.题 (3) 利用了函数单调的必要条件:“若函数单调递增,则 f′(x)≥0;若函数单调递减,则f′(x)≤0”.注意必要条件 中的等号不能省略,否则漏解.

【突破训练2】 (2012·新课标全国)设函数f(x)=ex-ax-2. (1)求f(x)的单调区间;

(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1
>0,求k的最大值. 解 (1)f(x) 的定义域为 ( -∞,+∞ ) , f′(x) = ex - a. 若

a≤0 ,则 f′(x) > 0 ,所以 f(x) 在 ( -∞,+∞ ) 上单调递 增;若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0;

当x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0,所以,f(x)在(-∞,
ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.

(2)由于 a=1, 所以(x-k)f′(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.故当 x >0 时,(x-k)f′(x)+x+1>0 等价于 x+1 k< x +x(x>0).(*) e -1 x+1 -xex-1 ex?ex-x-2? 令 g(x)= x +x,则 g′(x)= x +1= . e -1 ?e -1?2 ?ex-1?2 由(1)知,函数 h(x)=ex-x-2 在(0,+∞)上单调递增. 而 h(1)<0,h(2)>0,所以 h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点. 故 g′(x)在(0, +∞)上存在唯一的零点. 设此零点为 α, 则 α∈(1,2). 当 x∈(0,α)时,g′(x)<0;当 x∈(α,+∞)时,g′(x)>0.

所以 g(x)在(0,+∞)上的最小值为 g(α).又由 g′(α)=0,可得 eα =α+2,所以 g(α)=α+1∈(2,3). 由于(*)式等价于 k<g(α),故整数 k 的最大值为 2.

利用导数研究函数的极值或最值
常考查:①直接求极值或最值;②利用极(最)值求参数 的值或范围.常与函数的单调性、方程、不等式及实际应 用问题综合,形成知识的交汇问题.

【例 3】? 已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1, -6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称. (1)求m,n的值及函数y=f(x)的单调区间; (2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极

值.
[审题视点] (1)根据f(x)、g(x)的函数图象的性质,列出 关于m、n的方程,求出m、n的值.(2)分类讨论. [听课记录]

解 (1)由函数 f(x)的图象过点(-1,-6), 得 m-n=-3.① 由 f(x)=x3+mx2+nx-2, 得 f′(x)=3x2+2mx+n, 则 g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n. 2m+6 而 g(x)的图象关于 y 轴对称,所以- =0, 2×3 所以 m=-3.代入①得 n=0. 于是 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 令 f′(x)>0 得 x>2 或 x<0,

故 f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞); 令 f′(x)<0,得 0<x<2, 故 f(x)的单调递减区间是(0,2). (2)由(1)得 f′(x)=3x(x-2), 令 f′(x)=0 得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:

x
f′(x) f ( x)

(-∞,0)
+ ?

0
0 极大值

(0,2)
- ?

2
0 极小 值

(2,+∞)
+ ?

由此可得: 当 0<a<1 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值 f(0)=-2,无极小 值; 当 a=1 时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值; 当 1<a<3 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值 f(2)=-6,无极大 值; 当 a≥3 时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值. 综上得,当 0<a<1 时,f(x)有极大值-2,无极小值; 当 1<a<3 时,f(x)有极小值-6,无极大值; 当 a=1 或 a≥3 时,f(x)无极值.

(1) 求 单 调 递 增 区 间 , 转 化 为 求 不 等 式 f′(x)≥0( 不 恒 为 0) 的 解 集 即 可 . 已 知 f(x) 在 M 上 递 增 ?f′(x)≥0在M上恒成立,注意区别.

(2)研究函数的单调性后可画出示意图.
讨论区间与0,2的位置关系,画图→截取→观察即可.

【突 破 训 练 3】 (2012· 北 京 )已知函数f(x)=ax2+1(a>0), g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具 有公共切线,求a,b的值;

(2)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上
的最大值为28,求k的取值范围.

解 (1)∵f(x)=ax2+1,∴f′(x)=2ax,∴f′(1)=2a. 又 f(1)=c=a+1,∴f(x)在点(1,c)处的切线方程为 y-c=2a(x- 1),即 y-2ax+a-1=0. ∵g(x)=x3+bx,∴g′(x)=3x2+b,∴g′(1)=3+b. 又 g(1)=1+b=c,∴g(x)在点(1,c)处的切线方程为 y-(1+b)=(3+b)(x-1),即 y-(3+b)x+2=0. 依题意知 3+b=2a,且 a-1=2,即 a=3,b=3. (2)记 h(x)=f(x)+g(x).当 a=3,b=-9 时, h(x)=x3+3x2-9x+1, h′(x)=3x2+6x-9.

令 h′(x)=0,得 x1=-3,x2=1. h(x)与 h′(x)在(-∞,2]上的变化情况如下:

x h′(x)

(-∞,-3)


- 3 0

(-3,1)


1 0 -4

(1,2) +

2

h(x)

?

28

?

?

3

由此可知:
当k≤-3,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(-3)=28; 当-3<k<2时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28. 因此,k的取值范围是(-∞,-3].

阅 卷 老 师 叮 咛

错把“充分不必要条件”当作“充要条件” 给定区间(a,b),若f′(x)>0,则f(x)在(a,b)上为增函

数;若f′(x)<0,则f(x)在(a,b)上为减函数.反之不然.这
也就是说f′(x)>0(f′(x)<0)是f(x)在(a,b)上为增函数(减函 数)的充分不必要条件,而不是充要条件.

【示例】?

(2012· 济南实验中学模拟)已知函数f(x)=ax3+3x2-x

+1在R上是减函数,求a的取值范围. [满分解答] ∵f′(x)=3ax2+6x-1, (4分) ∴f′(x)=3ax2+6x-1≤0在x∈R上恒成立.
? ?3a<0, ∴? ? ?Δ=3b+12a≤0,

(8分) 解得a≤-3.故a的取值范围为(-∞,-3]. (12分)

老师叮咛:当f′?x?<0时,f?x?是减函数.但反之并不尽然, 如f?x?=-x3是减函数,f′?x?=3x2并不恒小于0,?x=0时,

f′?x?=0?.因此本题应该有f′?x?在R上恒小于或等于0.

【试一试】 (2012· 广东中山调研)设函数 f(x)=px-2ln x.若函数 p g(x)=f(x)- x在其定义域内为单调函数,求 p 的取值范围.

2 p p 2 px -2x+p 解 (1)因为 g(x)=px- x-2ln x,g′(x)=p+x2-x= . x2

p 由函数 g(x)=f(x)- x在其定义域内为单调函数得: g′(x)≥0 对 x∈(0, +∞)恒成立或 g′(x)≤0 对 x∈(0, +∞)恒成 立. 2 ①当 p=0 时,g′(x)=-x<0 对 x∈(0,+∞)恒成立. 此时 f(x)在定义域内为减函数,满足要求. ②当 p>0 时,g′(x)≤0 对 x∈(0,+∞)恒成立不可能. 由 g′(x)≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立得 px2-2x+p≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立,

2x 即 p≥ 2 对 x∈(0,+∞)恒成立. x +1 2x 2 因为当 x∈(0,+∞)时, 2 = 1≤1,所以 p≥1. x +1 x+x ③当 p<0 时,g′(x)≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立不可能. 由 g′(x)≤0 对 x∈(0,+∞)恒成立得 px2-2x+p≤0 对 x∈(0,+∞)恒成立, 2x 即 p≤ 2 对 x∈(0,+∞)恒成立. x +1 2x 因为当 x∈(0,+∞)时, 2 >0,所以 p≤0. x +1 又因为 p<0,所以此时 p<0. 综上所述,p 的取值范围为(-∞,0]∪[1,+∞).


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