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西湖高中高三文科数学周考卷20141124


西湖高中高三文科数学周考卷 20141124
班级 姓名 学号 分数 ) 。

一、选择题:1. 已知集合 M ? ?x x ? 1?, N ? ?x x2 ? x?,则 M ? N ? ( ▲

1? A. ?

B.

?? 1,0,1?

C. ?0,1?

>
D.

?? 1,1?

2. “ a ? 0 ”是 “ ab ? 0 ”的( ▲ )条件 A.充分不必要 B. 必要不充分 C.充要

D. 既不充分也不必要

3.下列函数中,既是偶函数又在区间 ( ??, 0) 上单调递增的是( ▲ ) A. f ( x ) ? 2 ? x B. f ( x) ? x2 ? 1 C. f ( x) ? 1 2
x

D. f ( x) ? x3

4.一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为 10 3 ,则 h 的 值为( ▲ ) A.
3 2

B. 3

C. 3 3

D. 5 3

5.在空间中, a 、 b 、 c 是两两不重合的三条直线, ? 、 ? 、 ? 是两两不重 合的三个平面,下列命题正确的是 ( ▲ ) B.若 a 与 ? 内的直线 b 平行,则 a // ? D.若 ? 内直线 a 垂直 ? , 则 ? ? ? )

A.若 a 、 b 分别与 ? 平行,则 a // b

C.若 a 与 ? 内直线 b 、 c 都垂直,则 a ? ?
y?0 6. 若实数 x、 y 满足约束条件 ? ? ?x ? y ? 1 ?x ? 2 y ? 4 ?

,目标函数 z ? x ? y 的最大值等于 ( ▲

A.4

B.3

C. 2

D.1 )

| x| 7. 函数 y ? a 与 y ? sin ax ( a ? 0 且 a ? 1 )在同一直角坐标系下的图象可能是( ▲

8.若直线 x ? y ? 2 被圆 ( x ? a)2 ? y 2 ? 4 所截得的弦长为 2 2 ,则实数 a 的值为( ▲ ) A. ?1 或 3 B. 0 或 4 C.–2 或 6 D. 1 或 3

9. 我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知 F1 , F2 是 一对相关曲线的焦点, P 是它们在第一象限的交点,当 ?F1PF2 ? 60? 时,这一对相关曲线中双 曲线的离心率是 ( ▲ ) A. 2 3
3

B. 2

C. 3

D. 2

10.如图所示,等边 ?ABC 的边长为 2, D 为 AC 中点,且 ?ADE 也是等边三角形,在 ?ADE 以点 A 为中心向下转动到稳定位置的过程中, BD CE 的取值范围是( ▲ )
1 3 A. [ , ] 2 2 1 1 B. [ , ] 3 2 1 4 C. ( , ) 2 3 1 5 D. ( , ) 4 3

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 二、填空题: 11.若直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则实数 a 的值为 12.已知焦点在 y 轴上的椭圆 x ? y ? 1 的长轴长为 8,则 m 等于
10 m
2 2

1 ? x, 13.已知函数 f ? x ? ? ? ? x ?a ,

x ? 0, x ? 0.

若f ?1? ? f ? ?1? ,则实数 a 的值等于

14.已知 ? 是钝角, cos ? ? ? 3 ,则 sin ? ? ? ? ? ? ? ?
5
?4 ?

15.已知点 A(m, n) 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,则 2 ? 4 的最小值为
m n

16. 设正数数列 ?an ? 的前 n 项和是 S n ,若 ?an ? 和{ S n }都是等差数列,且公差相等,则

a1 ? d ?
17.设 a ? R ,若 x ? 0 时均有 [(a ?1) x ?1]( x2 ? ax ?1) ? 0 ,则 a 的值为 三、解答题:
a? 3 , c o A? s

、 c 18. 在 ?ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a、 b ,已知
6 ? B ?, A ? 3 2

( .1)求 b 的值;

(2)求 ?ABC 的面积 .

19.设等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,已知 a5 ? ?3, S10 ? ?40 (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)若数列 abn 为等比数列,且 b1 ? 5, b2 ? 8 ,求数列 ?bn ? 的前n项和Tn .

? ?

20.已知正方形 ABCD 的边长为 2 , AC

BD ? O .将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,

使 AC ? a ,得到三棱锥 A ? BCD ,如图所示. (1) 当 a ?

2 时,求证: AO ? 平面BCD ;

(2) 当二面角 A ? BD ? C 的大小为 150 时,求 AB 与平面 BCD 所成角的正弦值.

21.已知函数 f ( x) ? 3x2 ? a , g ( x) ? 2ax ? 1 ( a ? R ) 无零点,研究函数 y ? g ( x) 在 (0, 2) 上的单调性;

(1)若函数 f ( x) 在 (0, 2) 上

(2)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若对任

意的 x ??0,1? ,恒有 F ( x) ? 1 成立,求实数 a 的取值范围.

22.已知圆 N : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 8 和抛物线 C : y 2 ? 2 x ,圆的切线 l 与抛物线 C 交于不同的两 点 A , B , (1)当直线 l 的斜率为 1 时,求线段 AB 的长; (2)设点 M 和点 N 关于直线

y ? x 对称,问是否存在直线 l 使得 MA ? MB ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说
明理由. [来源:Zxxk.Com]

参考答案

19(1) a5 ? a1 ? 4d ? ?3, S10 ? 10a1 ? 45d ? ?40 ?a1 ? 5, d ? ?2.?an ? ?2n ? 7
(2) ……6 分

ab1 ? a5 ? ?3, ab2 ? a8 ? ?9 ?q ? 3, abn ? ?3? 3n?1 ? ?3n ?2bn ? 7 ? ?3n , bn ? 1 (3n ? 7)
2
n 3 7 1 7 (3 ? 32 ? 33 ? ?3n ) ? n ? 1 ? 3 ? (1 ? 3 ) ? 7n = (3n ? 1) ? n ……14 分 4 2 2 2 2 1? 3 2

Tn ?

20. (I)证明:根据题意,在 ?AOC 中, AC ? a ? 2 , AO ? CO ? 1 ,
2 2 2 所以 AC ? AO ? CO ,所以 AO ? CO ,因为 AC、BD 是正方形 ABCD 的对角线,

所以 AO ? BD . 因为 BD

CO ? O , 所以 AO ? 平面BCD

(2):折叠后在△ ABD 中, BD ? AO ,在△ BCD 中, BD ? CO . 所以 ?AOC 是二面角 A ? BD ? C 的平面角, 即 ?AOC ? 150 . 在 △ AOC 中,

AO ? CO? 1 , 过 点 A 作 CO 的 垂 线 交 CO 延 长 线 于 点 H , 因 为 B D ? C O , BD ? AO , 且

CO

AO ? O , 所以 BD ? 平面 AOC . 因为 AH ? 平面 AOC ,所以 BD ? AH . 又 CO ? AH ,且 CO BD ? O ,所以 AH ? 平面 BCD .连接 BH , 1 ?ABH 是 AB 与平面 BCD 所成角,因为 AH ? 1? sin 30? ? , 2
1 所以 sin ?ABH ? 2 ? 2 . 4 2

21.(1)

f ( x) 在 (0, 2) 上无零 点? a ? 0 或 a ? ?12

当 a ? 0 时, y ? g ( x) ? 2ax ?1 在 (0, 2) 上递增; 当 a ? ?12 , y ? g ( x) ? 2ax ? 1 在 ? 0, ?

? ?

1 ? ? 1 ? ? 上递减,在 ? ? , 2 ? 上递增.………6 分 2a ? ? 2a ?

(2) F ( x) ? 3x2 ? 2ax ? a ?1, x ??0,1? F (0) ? a ? 1, F (1) ? 2 ? a

a 1 2 a ? a ?1 ? 1 ? ?1 ? a ? 2 ? x ? ? ( , ) ? F ( x) min ? F ( ), F ( x) max ? max ? F (0), F (1)? ? 3 3 3 3 ? ? 2? a ?1
? a ? F ( 3 ) ? ?1 ?0 ? a ? 3 ? ? F (0) ? 1 ? ? a ? 2 ?1 ? a ? 2 ………………15 分 ? ? ? F (1) ? 1 ? a ? 1 ? ? ?

22. 解:因为圆 N: ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 8 ,所以圆心 N 为(-2,0),半径 r ? 2 2 , 设 A( x 1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,
[来源:学§科§网 Z§ X§ X§ K]

(1)当直线 l 的斜率为 1 时,设 l 的方程为 y ? x ? m 即 x ? y ? m ? 0 因为直线 l 是圆 N 的切线,所以 此时直线 l 的方程为 y ? x ? 2 ,
?2?m 2 ? 2 2 ,解得 m ? ? 2 或 m ? 6 (舍)

? y ? x ? 2, 由? 2 消 去 x 得 y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 , 所 以 ? ? 0 , y 1 ? y 2 ? 2 , y1 y 2 ? 4 , y ? 2 x , ?
( y1 ? y 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 20

所以弦长 AB ? 1 ?

1 k2

? y1 ? y 2 ? 2 10

………………6 分


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