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高中三角函数最值问题的一些求法

时间:2013-10-10


高中三角函数最值问题的一些求法
关 于 f (? x ? ? ) 型 三 角 函 数 式 的 最 值 , 可 以 由 三 角 函 数 的 性 质 直 接 求 出 , 如
y ? sin(? x ? ? ), y最大 ? 1,y最小 ? ?1; y ? cos(? x ? ? ), y最大 ? 1,y最小 ? ?1;

y ? tan x 与

y ? cot x 在定义域内无最值。
一、直接应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题 例 1:求函数 y =
sin x | cos x | tan x | cot x | 的最值 ? ? ? | sin x | cos x | tan x | cot x

分析:解决本题时要注意三角函数值的符号规律,分四个象限讨论。 sin x cos x tan x cot x 解: (1)当 x 在第一象限时,有 y ? ? ? ? ?4 sin x cos x tan x cot x sin x cos x tan x cot x (2)当 x 在第二象限时,有 y ? ? ? ? ? ?2 sin x ? cos x ? tan x ? cot x sin x cos x tan x cot x (3)当 x 在第三象限时,有 y ? ? ? ? ?0 ? sin x ? cos x tan x cot x sin x cos x tan x cot x (4)当 x 在第四象限时, y ? ? ? ? ? ?2 ? sin x cos x ? tan x ? cot x 综上可得此函数的最大值为 4,最小值为-2. 二、直接应用三角函数的有界性( sin x ? 1, cos x ? 1 )解题
1 例 1: (2003 北京春季高考试题)设 M 和 m 分别表示函数 y= cos x ? 1 的最大值和最小值,则 M ? m 3 等于( ) 2 4 2 (A) (B) ? (C) ? (D)-2 3 3 3 1 解析:由于 y ? cos x 的最大值与最小值分别为 1,-1,所以,函数 y= cos x ? 1 的最大值与最小值分别 3 2 4 2 4 为 ? , ? ,即 M ? m = ? +( ? )=-2,选 D. 3 3 3 3 3sin x ? 1 例 2:求 y ? 的最值(值域) sin x ? 2

分析:此式是关于 sin x 的函数式,通过对式子变形使出现 sin x ? 求解。 解: y ?

1? 2 y 的形式,再根据 sin x ? 1 来 y ?3

3sin x ? 1 ,即有 y sin x ? 2 y ? 3sin x ? 1 ? y sin x ? 3sin x ? 1 ? 2 y sin x ? 2
1? 2 y 。因为 sin x ? 1 , y ?3

( y ? 3)sin x ? 1 ? 2 y ? sin x ?

1

? 1? 2 y ? ?1 ? 2 y ? ? 1 1? 2 y 所以 ?1? ? ? ?1? 2 y ?3 ? y ? 3? ? y ?3 ?
2 2

即 ?1 ? 2 y ? ? ? y ? 3? ? 3 y 2 ? 2 y ? 8 ? 0 ? ? y ? 2 ?? 3 y ? 4 ? ? 0
2 2

即 ?2 ? y ?

4 4 ,所以原函数的最大值是 ,最小值是 ?2 。 3 3 三、利用数形结合 cos x ? 2 例:求 y ? 的最大值与最小值 sin x ? 2
y
P(2,2)

M1

O M2

x

解析: 此题除了利用三角函数的有界性求解外, 还可根据函数式的特点, 联想到斜率公式 k ?

y2 ? y1 x2 ? x1

将原式中的 y 看作是定点 P( x, y ) 与动点 M (sin x,cos x) 连线的斜率,而动点 M (sin x,cos x) 满足单位圆
sin 2 x ? cos2 x ? 1 ,如上图所示。所以问题可转化为求定点 P(2, 2) 到单位圆相切时取得的最值,由点到直

线的距离得:
ymin ? 4? 3 4? 3 , ymax ? 3 3

四、利用三角函数的单调性法 例 1:(1996 全国高考试题)当 ? (A)最大值是 1,最小值是-1 (C)最大值是 2,最小值是-2

?
2

?x?

?
2

,函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的最值

1 2 (D)最大值是 2,最小值是-1

(B)最大值是 1,最小值是 ?

? ? ? ? ? 5? ? 因为 ? ? x ? , 所以 ? ? x ? ? , x ? ? 时, 当 函数 f ( x) f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) , 2 2 6 3 6 6 3 有最小值 -1,最大值2,选择D (1+ sin x)(3+ sin x) 例 2:求 y = 的最值及对应 x 的集合 2+ sin x 1 分析:观察式子可知它并不能直接求出,须通过变形为 y ? sin x ? 2) ? ,但也不符合用平均 ( sin x ? 2 不等式求,考虑用单调性。 (1+ sin x)(3+ sinx) 1 1 解答: y= 令 sin x ? 2 ? t ,则 y ? f (t ) ? t ? ,且 1 ? t ? 3, 设 ? sin x ? 2)? ( t 2+ sin x sinx ? 2
1 1 1 ? t1 <t2 ? 3, f (t1 ) ? f (t2 ) ? (t1 ? ) ? (t2 ? ) = t1 t2
2

1 ? t1t2 (t1 ? t2 )( )<0 ? f (t )(t ? ?1,3?) 上单调递增,所以 t1t2

? ? ? 当 t ? 1时, f (t ) min ? 0 ,此时 sin x ? ?1 , x ? ? x, x ? 2k? ? , k ? z ? . 2 ? ?
? 8 ? ? 当 t ? 3 时, f (t ) max ? ,此时 sin x ? 1, x ? ? x, x ? 2k? ? , k ? z ? 2 3 ? ?
五、可化为一次函数 y ? kx ? b , c ? x ? d 的条件极值的三角函数式极值求法 例 1:求函数 y ? a ? b sin x (b ? 0) 的极值 分析:由 sin x ? 1,上述问题实质上是求下述一次函数的条件极值问题,即求 y ? a ? bsin x,
?1 ? x ? 1 ,其中 x= sin x ,这里约束条件是由正弦函数的值域暗中给出的。

解: 1)当 b ? 0 时, y最大 ? a ? b, y最小 ? a ? b ; 2)当 b ? 0 时, y最大 ? a ? b, y最小 ? a ? b ; 说例 2:求函数 y ? a sin 2 x ? b sin x cos x ? c cos2 x 的最值,其中 b ? 0, c ? 0 。 分析:在这里不能将它变形为关于 sin x 或 cos x 为未知数的二次式,所于只有考虑将它降为一次, 1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 x 1 此时根据正弦、余弦的二倍角公式即 sin 2 x ? ,cos 2 x ? ,sin x cos x ? sin 2 x ,然后代 2 2 2 入化简得到 y ? sin(? x ? ? ), y最大 ? 1,y最小 ? ?1即可求出。
1 ? cos 2 x b 1 ? cos 2 x a ? c 1 ? ? sin 2 x ? c ? ? ? ?b sin 2 x ? (c ? a) cos 2 x ? 2 2 2 2 2 a?c 1 2 c?a ,且 sin(2 x ? ? ) ? 1 , ? ? b ? (c ? a)2 ? sin(2 x ? ? ), 其中 ? ? arctan b 2 2

解:因为 y ? a ?

? y最大

a?c a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ac a?c a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ac ? ? , y最小 ? ? 2 2 2 2

降次、整理 ? 在这里 y ? a sin 2 x ? b sin x cos x ? c cos2 x ???? y ? A sin 2 x ? B cos 2 x

六、可化为二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0)且c ? x ? d 的条件极值的三角函数式的最值求法。 例 1:求函数 y ? 2sin x 2 ? 8sin x ? 5 最值 分析:因为 y ? 2sin x 2 ? 8sin x ? 5 ? 2(sin x ? 2)2 ? 13, sin x ? 1, 故求 y 的最值,实质上是求以 sin x 为自 变量的二次函数。可以用配方或数形结合求解。 即当设 sin x = X 时,变为 y ? 2( X ? 2)2 ? 13 在约束条件 ?1 ? X ? 1的条件极值。 解:因为 y ? 2(sin x ? 2)2 ? 13, sin x ? 1,

3

当 sin x=1时,y最大 ? 2 ? 32 ? 13 ? 5, 当 sin x=-1时,y最小 ? 2 ?12 ? 13 ? ?11.

( 。七、换元法 sin x ? cos x, sin x cos x同时出现换元型)
例 1:函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x 的最大值是______.(1990 年全国高考题) 解析: 如果在同一个代数式中同时出现同角的正余弦函数的和与正余弦函数的积,常用换元法来

解决问题, 这种方法可简化计算过程。设 sin x ? cos x = t ,则 t = sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) , 4

?

? ? 2 ? t ? 2 。 sin x cos x ?

t 2 ?1 t 2 ?1 (t ? 1) 2 函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x 可化为 y ? ?t ? ?1 , 2 2 2

1 ? t ? 2 时,函数最大值是 ? 2 。 2 说明:题目中出现 sin x ? cos x 与 sin x cos x 时,常用变形是“设和求积巧代换”,即设 sin x ? cos x =

t 则 sin x cos x =

t 2 ?1 。要特别注意换元后 t 的取值范围。 2

例 2: 求函数 y ? sin x ? sin x cos x ? cos x 的最值。 解:设 t ? sin x ? cos x ?
2 sin( ? x

?
4

)( ?

2? t ?

2则 )

sin x cosx ?

1? t2 1 1 于是 y ? ? t 2 ? t ? 。故 2 2 2

? 1 当 t ? ? 2 时,即 sin( x ? ) ? ?1 时, ymin ? ? ? 2 4 2
? 2 当 t ? 1时,即 sin( x ? ) ? 时, ymax ? 1 4 2
八、可化为分式函数的条件最值的三角函数的最值问题 例 1:求函数 y ?
tan 2 x ? tan x ? 1 的最值。 tan 2 x ? tan x ? 1

分析:由 y ?

tan 2 x ? tan x ? 1 X 2 ? X ?1 , X ? tan x ,则归为求 y ? 2 , (且 ?? ? x ? ?? )的最值,故 令 tan 2 x ? tan x ? 1 X ? X ?1

可用判别式法求之。 解 : 由
y? tan 2 x ? tan x ? 1 , tan 2 x ? tan x ? 1
? y ? tan 2 x ? y ? tan x ? y ? tan 2 x ? tan x ? 1

( y ? 1) tan 2 x ? ( y ? 1) tan x ? ( y ? 1) ? 0. 因为这个一元二次方程总有实数根, ?? ? y ? 1)2 ? 4( y ? 1)2 ? ?(3 y 2 ? 10 y ? 3) ? ?( y ? 3)(3 y ? 1) ? 0. (

1 1 ?? ? y ? . 3 3

1 ? y最大 ? 3, y最小 ? . 3
4

例 2: y ? (

ans x c? i 3 cos x 型的函数)求函数 y ? 的最值(值域) 。 2 ? sin x bo x d s c ?

分析:此函数的解析式与上例不同,分式中的分子含有 cos x 的一次式,而分母是含有 sin x 的一次 式,不能直接解出 cos x 或 sin x ,通常是化作 sin(? x ? ? ) ? f ( x) 求解。 解法一:由 y ?
? s i n x ?? )? ( ?2 y y ?3
2

3 cos x , 得 y sin x ? 3 cos x ? ?2 y, ? y 2 ? 3 sin( x ? ? ) ? ?2 y 2? sin x
, 因 为 ?1 ? s i n( ?? )? 得 ??1 ? x 1
?2 y y2 ? 3

( ? 为辅助角)

? 1, 由 此 解 得 ?1 ? y ? 1 ? 函 数 的 值 域 为

? ?1, 1 ?
说明:对此类问题可通过万能公式代换求解,还可通过几何方法(数形结合)求解,现介绍如下。 解 法 二 : 令
tan
1? t2 x 2t , cos x ? ? t , 则 s i xn ? 1? t2 2 1? t2
?y ? 3(1-t 2 ) (t ? R) 2(t 2 ? t ? 1)



(2y + 3 )t 2 +2yt +(2y - 3)=0 若 2y+ 3 =0, 即 y=-

3 3 ,则 t=-2 满 足 条 件 若 2y + 3 ? 0 , 即 y? ,则由 2 2 3 ) ?函数的值域为 ? ?1,1? 2

?=4y 2 -4(2y + 3 )(2y - 3 )? 0 ,有 -1 ? y ? 1(y ?

解法三:由 y ?

3 cos x , 2 ? sin x
P1 Q

y



y cos x ? 0 ,设点 ? 3 sin x ? (?2)

P(sin x, cos x) , Q(?2, 0) ,

O

x



y 可看作是单位圆上的 3

P2

动点 P 与 Q 连线的斜率。如右图所示,
( 直线 QP 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 0 ,则圆心 0, 0) 到它的距离 1
d? 2k k ?1
2

? 1 ,解得 k1 ? ?

3 y 3 3 3 ? ? 或 k2 ? 。所以 ? ,即 3 3 3 3 3

?1 ? y ? 1 ,所以函数的值域为 ? -1,1?

九、利用不等式

a1 ? a2 ? ??? ? an n ? a1 ? a2 ??? an 求最值(其中 ai ? 0, i ? 1, 2,..., n ) n

利用上述不等式求最值时, ai (i ? 1, 2,..., n) 必须满足下列条件:
5

若 n 个正数 ai (i ? 1, 2,..., n) 的和一定时,当且仅当它们相等时,其积取最大值. 若 n 个正数 ai (i ? 1, 2,..., n) 的积一定时,当且仅当它们相等时,其和取最小值. 例 1:当 ? ? (0, ) ,求 y ? sin (1 ? cos ? ) 的最大值 2 2 ? ? ? 解析:因为 ? ? (0, ) ,所以 ? (0, ) 2 2 4 于是
y ? sin (1 ? cos ? ) = 2 sin cos 2 2 2 2
3

?

?

?

?

?

? 2? 2? 2? ? ? 2s in 2 ? cos 2 ? cos 2 ? 2 3 16 ? ? ? 所以 y 2 ? 4sin 2 cos2 cos 2 ? 2 ? ? ? ? 2( ) ? 3 3 3 2 2 2 ? ? ? ?

即y?

16 3

说明:解答此题后有一个新的体会就是研究形如 y ? sin m x cos n x( m, n ? N ? , 且 0 ? x ? 十分重要的,下面来看一下:已知函数 y ? sin m x cos n x ( m, n ? N ? , 且 0 ? x ? 解:因为 m, n ? N ? , 0 ? x ?

?
2

)的值域是

?
2

),求其最大值.

?
2

,所以 y ? (sin 2 x) m (cos 2 x) n ?

2 2 sin 2 x ? sin 2 x ?sin ? ? cos 2 x ? cos 2 x ?cos? ? x ???? ???? x ????????? ? m个 n个

1 ? ( n sin 2 x) ? ( n sin 2 x) ? ( n sin 2 x) ? ( m cos 2 x) ? ( m cos 2 x) ?( m cos 2 x) ?????? ?????? ??????? ? ? ? n m n ??????
m m个 n个

考察上式根号中的 m ? n 个因式之和为
m(n sin 2 x) ? n(m cos 2 x) ? mn(sin 2 x ? cos 2 x) ? mn 。因而由平均值不等式得

1 y? m n n m

? mn(sin 2 x ? cos 2 x) ? ? ? m?n ? ?

m? n

?

1 mn m ? n mm nn ( ) ? nm mn m ? n (m ? n) m ? n

当且仅当 n sin 2 x ? m cos2 x 时,即 tan x ?

m m ,亦即 x ? arc tan 时,等号成立 n n

mm nn m ? m n ? 故当 x ? arc tan 时,函数 y ? sin x cos x(m, n ? N , 且0 ? x ? ) 有最大值 ( m ? n) m ? n n 2

例 2:求函数 y ?

1 2 ? ? (0 ? x ? ) 的最小值。 sin x cos x 2

分析:本题看似简单,但若直接求不容易,考虑 0 ? x ? 也就解决了。 解: y 2 ? (
1 2 2 1 4 4 = ? ) ? ? ? 2 sin x cos x sin x sin x cos x cos 2 x
6

?
2

,则 y ? 0 。若求出 y 2 的范围,则问题

4(sin 2 x ? cos 2 x) csc x ? ? 4sec2 x ? (1 ? cot 2 x) ? 4(tan x ? cot x) ? 4(1 ? tan 2 x) sin x cos x
2

? 5 ? (cot 2 x ? 2 tan x ? 2 tan x) ? (4 tan 2 x ? 2cot x ? 2cot x)
? 5 ? 3 3 4 ? cot 2 x ? tan 2 x ? 3 3 16 tan 2 x ? cot 2 x ? 5 ? 3 3 4 ? 3 3 16 ? 5 ? 3 3 4 ? 6 3 2

每且仅当 所以

?cot 2 x ? 2 tan x 1 ? 2 即 x ? arctan 3 时, ymin ? 5 ? 3 3 4 ? 6 3 2 。 ? 2 2 ? 4 tan x ? 2 cot x ?
ymin ? 5 ? 3 3 4 ? 6 3 2

说明: 这是一个特殊的问题,下面运用本题的解法来研究它的一般情形的最值问题。 a b ? 设 a ? 0 , b ? 0 ,求函数 y ? ? (0 ? x ? ) 的最小值。 sin x cos x 2 解:由 y 2 ?
a2 b2 2ab ? ? ? a 2 (1 ? cot 2 x) ? 2ab(tan x ? cot x) ? 2 2 sin x cos x sin x cos x

b2 (1 ? tan 2 x) ? a 2 ? b2 ? (a 2 cot 2 x ? ab tan x ? ab tan x) ? (b2 tan 2 x ? ab cot x ? ab cot x) ? a 2 ? b 2 ? 3 3 a 4b 2 cot 2 x ? tan 2 x ? 3 3 a 2b 4 tan 2 x ? cot 2 x
? a 2 ? b 2 ? 3 3 a 2b 2 ( 3 a 2 ? 3 b 2 ) ? ( 3 a 2 ? 3 b 2 )3
? a 2 cot 2 x ? ab tan x b ? 每且仅当 ? 2 ,即 x ? arctan 3 时, y 2 ? ( 3 a 2 ? 3 b 2 )3 2 a ?b tan x ? ab cot x ?

所以

ymin ? ( 3 a 2 ? 3 b 2 )3

说明:像此类题,一般比较复杂,大部分可能无法用其它方法求出,首先必须将它变形符合形式, 再考虑是否满足一正,二定,三相等的条件,都满足即可求出。关键的是灵活变形。 十、对有约束条件的三角函数的最值求法 例 1:设 ? 、 ? 皆为锐角, ? ? ? ? ? ,求函数 y ? sin ? ? sin ? 之最大值。 解析:因为 0<? <

?
2

0<? <

?
2

,? 0<? +? <? ,故 0<? <? . 且 -

?

又y ? sin ? ? sin ? ? 2sin

? +?
2

? cos

? -?
2

?当

? -?
2

=0即? =?时,y最大 ? 2 sin

?
2

? ? -? =2 sin ? cos 2 2

<? -? < 。 2 2

?

A B C tan tan 的最大值 2 2 2 解析:因为 A 、 B 、 C 是三角形内角,即 A ? B ? C ? ? , A B C A B C 所以 、 、 均为锐角.则 tan >0, tan >0, tan >0 且 2 2 2 2 2 2

例 2:在 ?ABC 中,求函数 y ? tan

C ? A B = -( ? ) 2 2 2 2

7

A B 1- tan tan C A B 1 2 2 所以 tan = cot( ? ) ? ? A B A B 2 2 2 tan( ? ) tan ? tan 2 2 2 2 A B B C A C 可得 tan tan + tan tan ? tan tan ? 1 2 2 2 2 2 2 A B C A B B C A C 所以 ( tan tan tan )2 = ( tan tan )(tan tan )(tan tan ) ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A B B C A C? ? ? tan 2 tan 2 + tan 2 tan 2 ? tan 2 tan 2 ? 1 ? ,当且仅当 A ? B ? C ? 时等号成立, ? ? ? 3 27 3 ? ? ? ?
3

故 tan

3 A B C 的最大值是 tan tan 9 2 2 2

说十一、利用导数求函数的最值
6 3 2 ? ? 例:已知 x ? (0, ) ,求 f ( x) ? 的最小值。 sin x cos x 2

解: f ' ( x) ?

?6 3 cos x 2sin x ? ,令 f ' ( x) ? 0 得: tan 3 x ? 3 3 ? tan x ? 3 , 2 2 sin x cos x

? ? ? ? ? 而 x ? (0, ) ,则 x ? ,而当 0 ? x ? 时, f ' ( x) ? 0 ;当 ? x ? 时, f ' ( x) ? 0 3 2 3 3 2 ? 所以当 x ? 时, f ( x)min ? 16 。 3 sin x 例:求函数 y ? 的最大值和最小值。 2 ? sin x
1.运用三角函数的有界性,即 sin x ? 1 来求解,即将原式变形为 y ?
sin x 2y ,所以 ? sin x ? 2 ? sin x 1? y

4 y2 1 2y 1 ? 1 ? ( y ? 1)(3 y ? 1) ? 1 ? ?1 ? y ? 2 ? 1 来进行求解即可。即有 (1 ? y ) 变为 3 ,即 ymax ? , ymin ? ?1 。 1? y 3

2.将函数式化为部分分式,使分子出现常数也容易考虑出它的最值, 2 即将原式变形为 y ? 1 ? 。 2 ? sin x k? 2 1 k? 当 sin x ? 1时,即 x ? 2k? ? (k ? z ) 时,有 ymax ? 1 ? ? 。当 sin x ? ? 时,即 x ? 2k? ? (k ? z ) 时, 1 2 2 ?1 3 2 2 有 ymin ? 1 ? ? ?1 。 2 ?1 1 3.将函数式直接变形为 y ? ,其实求法就跟上一题一样。4.考虑万能代换,使转化为代数 2 1? sin x

8

2t 2 x 2t t 函数的求最值问题。令 t ? tan ,则有 sin x ? ,所以 y ? 1 ? t ,即 yt 2 ? ( y ? 1)t ? y ? 0 ? 2 2 2t 2 1? t t ? t ?1 2? 1? t2 1 1 此关于 t 的二次方程应有实根,故 ? ? ( y ? 1)2 ? 4 y 2 ? 0 ,解之得 ?1 ? y ? ,故有 ymax ? , ymin ? ?1 3 3 t 5.将以上所得的代数函数考虑用基本不等式。即将式子 y ? 2 t ? t ?1 1 1 1 1 1 化为 y ? (t ? 0) ,当 t 为正值时,有 y ? ? ? 。所以 ym a x ? ,当 t 为负值时,有 1 1 1? 2 3 3 1? t ? 1? t ? t t 1 1 y? ? ? ?1 。所以 ymin ? ?1 1 1 ? (?2) 1? t ? t 综上所述:三角函数最问题可归结以为几大类型: 1.可转化为利用正弦、余弦函数的有界性求解的最值问题。主要有以下两种类型: a sin x ? b 可 将 函 数 式 化 为 y ? A sin(? x ? ? ) 的 形 式 求 解 的 问 题 , 形 如 y ? 或者 c sin x ? d
y ? a sin 2 x ? b sin x cos x ? c cos 2 x 的函数适用;

可 将 函 数 式 化 为 s i n (x ?? ? f ? )
y? a s i nx? b 的函数适用; c c o sx? d

x 的形式求解的问题,形如 y ? ( )

a cos x ? b 或者形如 c sin x ? d

2.可转化为求二次函数 y ? at 2 ? bt ? c 在闭区间 ? ?1,1? 上的最值问题,典型的是:形如
y ? a sin 2 x ? b sin x ? c(a ? 0) 的最值;形如 y ? A(sin x ? cos x) ? B sin x cos x 的最值;

3.转化为可利用均值不等式求解的最值问题,例如函数 y ? sin x ?

a (a ? R ? ) 的最值。 sin x

4.某些带约束(隐含)条件的最值。 5.利用其它方法求解的最值问题(如利用单调性、判别式、图像法等) 6.含参数的逆向思考问题。 总结:以上主要探讨了十一种方法来求解三角函数的最值,由于三角函数最值问题形式的多样性, 在求解此类问题时,不仅要灵活运用三角变换的方法和技巧,还要充分注意代数知识和方法的运用,以 提高解决此类问题的能力。由以上几种形式可归纳得出求解三角函数最值问题的基本方法:一是应用正 弦、余弦函数的有界性来求; 二是利用二次函数闭区间求最大、最小值的方法; 此外还可利用重要的不 等式公式和数形结合的方法来解决。具体为:1、求三角函数最值的方法有配方法、化为一个角的三角 函数、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。2、三角函数的最值都是在给定区间上取得的,因而 特别要注意题设中所给出的区间。3、求三角函数的最值时,一般要进行一些三角变换以及代数换元, 须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性。4、含参数函数的最值,解题要注意参数的作用和影响。 致谢:感谢谢老师在论文写作当中的指导与帮助! !
参考文献: [1] 《数学通报》编辑部组织专家编写《数学高考研究与复习 1999-2000》 中央民族大学出版社 1999 年 7 月 出版 [2] 连林 主编《高中数学综合题一题多解》 北京出版社 1990 年 5 月出版
9

[3] [4] [5] [6]

李燕杰 吴胜聚 吕风祥 薛金星

郭建 编著《平面三角教与学》 黑龙江科学技术出版社 1982 年 6 月出版 刘跃利等 编著《高考总复习数学成才之路》 内蒙古少年儿童出版社 2003 年 4 月出版 主编 鲍曼 濮安山 副主编《中学数学解题方法》 哈尔滨工业大学出版社 2003 年 10 月 主编《高中数学基础知识手册》 北京教育出版社 2006 年出版

some ways to caculating the maximun and minimum in trigonometric function
Yang Lixian, Instructor: Xie Shaolong (Department of Mathematics, YuXi Normal University, Grade 2004,Class 1, No. 2004021107)

[Abstract]: The trigonometric function is an important function concept in mathematics. The mastery of the trigonometric function plays an impotant role in learning mathematics well. The trigonometric function is closely related to other mathematical knowledge and widely used in learning and studying other mathematical knowledge. In the trigonometric function studying, the ways to caculating the maximun and minimum in trigonometric function are very important. It is significant to discuss and sumarize the ways to caculating the maximun and minimum in trigonometric function in learning trigonometric function. [Key words]: trigonometric function ,maximun and minimum, ways of caculating

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三角函数最值问题

例谈高考中的三角函数最值问题摘要:高中三角函数求解最值问题是高中数学的重要内容之一,本文主要从近三 年的高考题入手用常见的的方法来解决三角函数最值问题. ...

高考中常见的三角函数型的最值问题及其解法

高考中常见的三角函数型的最值问题及其解法_高一数学_数学_高中教育_教育专区。...b) 方法:直接利用三角函数的有界性和单调性来求解. ? 例 1:求 y ? a ...

201709年高考数学三角函数最值问题的几种解法.doc

201709年高考数学三角函数最值问题的几种解法.doc_高考_高中教育_教育专区。三角...下面就介绍几种常见的求三角函数最值的 方法: 一 配方法 若函数表达式中只...

三角函数最值问题的一些求法

三角函数最值问题的一些求法_理学_高等教育_教育专区。这是一篇优秀的数学本科生...《高中数学综合题一题多解》 北京出版社 1990 年 5 月出版 [3] 李燕杰 郭...

三角函数最值问题

三角函数最值问题_数学_自然科学_专业资料。浅析三角函数最值问题的求法 蔡家坡高级中学王进 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用, 是中学数 学教学的...

高中数学 必修四 三角函数最值与值域常考题型总结(含答...

高中数学 必修四 三角函数最值与值域常考题型总结(含答案)_数学_高中教育_教育...三角函数的最值问题是高考的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。...

三角函数最值问题的常见类型

下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法: 类型一:y=asinx+bcosx+c 型的...高中数学三角函数求最值... 5页 2下载券 三角函数最值问题常见解... 6页...