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对数与对数的运算(二)


2.2.1

对数与对数运算

问题提出
1.对数运算有哪三条基本性质? loga M ? loga N ? loga (M ? N ) (1 )
M log a M ? log a N ? log a (2 ) N

loga M ? n loga M (3 )
n
.

/>
2.对数运算有哪三个常用结论? (1)loga a ? 1; (2) loga 1 ? 0 ; log N (3 ) a ? N.
a

对数与对数运算

运算性质
(m, n ? R)
n

?a ? a ? a
m n m

m? n

设M ? a , N ? a ,

?MN ? a

m?n

?loga ? MN ? ? m ? n,

,loga M ? m,loga N ? n,

? loga M ? loga N.

对数与对数运算
?a ? a ? a
m n m m?n

运算性质

( m , n ? R)
n

设M ? a , N ? a ,

M m?n ? ? a , log a M ? m, log a N ? n, N
M ? loga ? m ? n, N ? loga M ? loga N .

4

对数与对数运算

运算性质

? (a ) ? a
m n

mn

( m , n ? R)
n mn

设M ? a ,
m

?loga M ? m,  M ? a ,
? loga M ? mn,
n

? n loga M .

知识探究(一):对数的换底公式
思考1:假设
从而有 3x ? 5 .进一步可得到什么结论?
log 2 5 ? x ,则 log 2 3

log2 5 ? x log2 3 ? log2 3x,

log 2 5 x ? log3 5,? ? log 3 5 log 2 3
思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗?

lg 3 log 2 3 ? lg 2

思考3:一般地,如果a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;
log c b b>0,那么 与哪个对数相等?如何证 log c a

明这个结论?
log c b 结论 : ? log a b log c a
log c b 证明:令 ? x ? log c b ? x log c a log c a
logc b ? ? loga b logc a

? logc b ? logc a x ? b ? a x ? x ? loga b

log c b 思考4:我们把 log a b ? log c a (a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)
叫做对数换底公式,该公式有什么特征?

一个对数可以用同底数 的两个对数的商来表示

思考5:通过查表可得任何一个正数的常用

18 对数,利用换底公式如何求 log1.01 的值? 13 18 lg 18 lg18 ? lg13 13 log1.01 ? ? 13 lg1.01 lg1.01

思考6:换底公式在对数运算中有什么意义和作用? 可以利用以10为底的对数的值来求 任何对数值

知识探究(二):换底公式的变式

思考1:log a b 与 logb a 有什么关系?

互为倒数

1 log a b ? logb a

思考2: logan N 与 log a N 有什么关系?
log a n 1 N ? log a N n

思考3: (loga M ) ? (loga N ) 可变形为什么?

logN M

例1 计算:

(1) log8 9 ? log27 32 ;
lg 9 lg 32 2 lg 3 5 lg 2 解 : 原式 ? ? ? ? lg 8 lg 27 3 lg 2 3 lg 3 10 ? 9

(2).(log2 125 ? log4 25 ? log8 5) ? (log5 2 ? log25 4 ? log125 8)
lg125 lg 25 lg 5 lg 2 lg 4 lg8 解 : 原式 ? ( ? ? )?( ? ? ) lg 2 lg 4 lg8 lg 5 lg 25 lg125

3 lg 5 2 lg 5 lg 5 lg 2 2 lg 2 3 lg 2 ?( ? ? )?( ? ? ) lg 2 2 lg 2 3 lg 2 lg 5 2 lg 5 3 lg 5
13lg 5 3 lg 2 ? ? ? 13 3 lg 2 lg 5

例2.20世纪30年代,里克特制订了一种表明地震能量大 小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震 能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越. 这就是 我们常说的里氏震级M,其计算公式为 M=lgA-lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振 幅(使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离 造成的偏差). (1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪 记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是 0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1);

解: (1) M ? lg 20 ? lg 0.001

20 4 ? lg ? lg 20000? lg 2 ? lg10 0.001 ? 4.3.
因此,这是一次约为里氏4.3级的地 震.

例2.20世纪30年代,里克特制订了一种表明地震能量大 小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震 能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越. 这就是 我们常说的里氏震级M,其计算公式为 M=lgA-lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅 (使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造 成的偏差).

(2)5级地震给人的震感已比较明显,计算 7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大 振幅的多少倍(精确到1).

解:(2) 由M ? lg A ? lg A0可得 当M=7.6时,地震的最大振幅为 A1 ? A0 ?10
A A M ? lg ? ? 10M ? A ? A0 ?10M . A0 A0

7.6

当M=5时,地震的最大振幅为 A2 ? A0 ?10
所以,两次地震的最大振幅之比是
A1 A0 ?10 7.6?5 2.5 ? ? 10 ? 10 ? 398. 5 A2 A0 ?10
7.6

5

答:7.6级地震的最大振幅大约是5级地 震的最大振幅的398倍.

例3.生物机体内碳14的“半衰期”为5730年, 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残 余量约占原始含量的76.7%,试推算马王 堆古墓的年代.

1 5730 =x 2

1 1 ? ? 5730 x? ?? ? 2 ? 2?

1 5730

t ? log x P ? log 5730 1 0.767
2

小结
log c b 换底公式 : ? log a b log c a

1 log a b ? logb a
log a n 1 N ? log a N n

log2 36 ? log3 4 ? log6 9 ? ? 8 练习 ?1? 计算: ? 2 ? log 7 ? ? log 3 ? log 2 x ? ? ? ? 0, 则x ? ? 8 2 ? 3? log ? x ?3? ? x ? 3x ? ? 1, 则x ? ? 1

作业: P68 练习:4(2)(3). P75 习题2.2B组: 1.


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