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浙江省平阳县第二中学2015-2016学年高二数学下学期第一次质检考试试题


平阳二中 2015-2016 学年第二学期质检考试 高二数学
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1.向量 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),若 a 与 b 共线,则( 1 1 A.x=1,y=1 B.x= ,y=- 2 2 1 3 C.x= ,y=- 6 2 ) 2016.3

1 2 D.x=- ,y=

6 3

2.如图,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点.若 A1 B1 =a, A1 D1 =b, A1 A =c,则 下列向量中与 B1 M 相等的向量是( A.- )

1 1 a+ b+c 2 2

B.

1 1 a+ b+c 2 2 1 1 a- b+c 2 2


C.

1 1 a- b+c 2 2

D.-

3.设 f ( x) ? ln x 2 ? 1 ,则 f ' (2) ? ( A.

4 5

B.

2 5

C.

1 5

D.

3 5


4.若 a,b 均为非零向量,则 a·b=|a||b|是 a 与 b 共线的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )
2 2 ②若 ac ? bc ,则 a ? b ;

5、对于实数 a, b, c 有下列命题: ( ①若 a ? b ,则 ac ? bc ; ③若 a ? b ? 0,则a ? ab ? b ;
2 2

④若 a ? b, ?

1 a

1 ,则 a ? 0,b ? 0 。 b

其中真命题的个数是 A、1 B、2 C、3 C、4 )

6.设函数 y ? f ( x) 在定义域内 可导, y ? f ( x) 的图象如图 1 所示,则导函数 y ? f ?( x) 可能为(

1

1 3 1 2 7.若函数 f(x)= x + f′(1)x -f′(2)x+3,则 f(x)在点(0,f(0))处切线的倾斜角为( 3 2 A. π 4 π B. 3 2π C. 3 D. 3π 4 )

)

8. 已知△ABC 的三个顶点 A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则 BC 边上的中线长为( A.2 B.3
3

64 C. 7

D.

65 7 )

9 . 若函数 f ( x) ? x ? 12x在区间 (k ? 1, k ? 1) 上不是单调函数,则实数 k 的取值范围( A. k ? ?3或 ? 1 ? k ? 1或k ? 3 C. ? 2 ? k ? 2
2

B. ? 3 ? k ? ?1或1 ? k ? 3 D.不存在这样的实数 k

10. 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 , 对于任意实数 x 都有 f ( x) ? 0 , 则

f (1) 的最小值为( f '(0)
A. 3 B.



5 2

C. 2

D.

3 2

二 填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.) 11.命题“若 m>0,则 x +x-m=0 有实根”的逆否命题是__________. 12.已知 a=(x,2,0),b=(3,2-x,x ),且 a 与 b 的夹角为钝角,则实数 x 的取值范围是________. 1 3 ? 4? 13.曲线 y= x +x 在点?1, ?处的切线与坐标轴围成的三角面积为__________. 3 ? 3?
2 2

? ?? 14.函数 f(x)=x+2cosx 在区间 ?0, ? 上的最大值为______; ? 2?
15.在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, B1C 和 C1 D 与底面所成的角分别为 60 ° 和 45 ° ,则异面直线 B1C 和 C1 D 所成角的余弦值为
3 2



16.已知函数 f(x)=x -3ax +3x+1.设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,则 a 的取值范围是

2

________. 三 解答题(本大题共 4 小题,共 46 分.) 17. (本小题满分 10 分)如图,已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 为菱形,

PA ? 平面 ABCD , PA=AB=2, ?ABC ? 60? , E,F 分别是 BC,PC 的中点.
(1)证明: AE ? PD ; (2)求二面角 E ? AF ? C 的余弦值. P

F A B E C D

1 2 3 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x - x +bx+c. 2 (1)若 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求 b 的取值范围; (2)若 f(x)在 x=1 处取得极值,且 x∈[-1,2]时,f(x)<c 恒成立,求 c 的取值范围.
2

19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 S?ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱 SA⊥底面 ABCD, AB 垂直于 AD 和 BC,SA=AB=BC=2,AD=1.M 是棱 SB 的中点. (1)求证:AM∥平面 SCD; (2)设点 N 是直线 CD 上的动点,MN 与平面 SAB 所成的角为 θ ,求 sin θ 的最大值.

1 2 20 ( 本小题 满分 12 分) 已知函数 f(x) = (a - )x + 2

3

ln x(a∈R). (1)当 a=1 时,求 f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值; (2)若在区间(1,+∞)上,函数 f(x)的图像恒在直线 y=2ax 下方,求 a 的取值范围.

4

平阳二中 2015 学年第二学期质检考试(答案) 高二数学 2016.3

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) CABAC DDBBC 二 填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.) 11.若 x +x-m=0 无实根,则 m≤0
2

12. 5 16. 3

x<-4.

1 13. 9

14.

15.

17.(10 分)如图,已知四棱锥

,底面

为菱形,

平面 的中点. (1)证明: (2)求二面角 ; 的余弦值.

, PA=AB=2,



分别是

17.(1)证明:由四边形 因为 又 因为 而 所以 所以 为 的中点,所以 ,因此 平面 平面 平面 . , .又 ,

为菱形, . . 平面 平面 平面 且 , ,所以

,可得

为正三角形.

. ,

5

(2)由 (1) 知 分别为

两两垂直, 以 的中点,所以

为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系, 又





所以 设平面 的一法向量为

. ,

则 取 因为 故 为平面 ,则

因此 , , , 的一法向量. ,所以 平面 ,



,所以



因为二面角

为锐角,所以所求二面角的余弦值为



1 2 3 18. (12 分)已知函数 f(x)=x -2x +bx+c. (1)若 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求 b 的取值范围; (2)若 f(x)在 x=1 处取得极值,且 x∈[-1,2]时,f(x)<c 恒成立,求 c 的取值范围.
2

6

解析:(1)f′(x)=3x -x+b,因 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则 f′(x)≥0,即 3x -x+b≥ 0, ∴b≥x-3x 在(-∞,+∞)恒成立. 1 1 1 2 设 g(x)=x-3x ,当 x=6时,g(x)max=12,∴b≥12. (2)由题意,知 f′(1)=0,即 3-1+b=0,∴b=-2.
2

2

2

x∈[-1,2]时,f(x)<c2 恒成立,只需 f(x)在[-1,2]上的最大值小于 c2 即可.因 f′(x)=3x2-x
-2, 2 令 f′(x)=0,得 x=1,或 x=-3. 3 2 22 1 ∵f(1)=-2+c,f(-3)=27+c,f(-1)=2+c,f(2)=2+c, ∴f(x)max=f(2)=2+c, ∴2+c<c ,解得 c>2,或 c <-1, 所以 c 的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).
2

19.(12 分).如图,在四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱 SA⊥底面 ABCD,AB 垂 直于 AD 和 BC,SA=AB=BC=2,AD=1.M 是棱 SB 的中点. (1)求证:AM∥平面 SCD; (2) 设点 N 是直线 CD 上的动点,MN 与平面 SAB 所成的角为θ ,求 sin θ 的最大值. 解:(Ⅰ)以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 , 则 设平面 SCD 的法向量是 则 , , , . , .

即 令 ,则 ,于是 .
7



.

AM∥平面 SCD. ???????????????????

(Ⅱ)设 又,面 SAB 的法向量为

,则 ,

.

所以,

.

.



,即

时,

.??????????????????

1 2 20 (12 分)已知函数 f(x)=(a-2)x +ln x(a∈R). (1)当 a=1 时,求 f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值; (2)若在区间(1,+∞)上,函数 f(x)的图像恒在直线 y=2ax 下方,求 a 的取值范围. 1 2 1 x2+1 解析:(1)当 a=1 时,f(x)=2x +lnx,f′(x)=x+x= x . 对于 x∈[1,e]有 f′(x)>0, ∴f(x)在区间[1,e]上为增函数, e2 1 ∴f(x)max=f(e)=1+ 2 ,f(x)min=f(1)=2. 1 2 (2)令 g(x)=f(x)-2ax=(a-2)x -2ax+lnx, 则 g(x)的定义域为(0,+∞). 在区间(1,+∞)上,函数 f(x)的图像恒在直线 y=2ax 下方等价于 g(x)<0 在区间(1,+∞ )上恒 成立.
8

1 ∵g′(x)=(2a-1)x-2a+x = = 2a-1x2-2ax+1 x 2a-1x-1] x ,

1 1 ①若 a>2,令 g′(x)=0,得极值点 x1=1,x2=2a-1, 1 当 x2>x1=1,即2<a<1 时,在(x2,+∞)上有 g′(x)>0, 此时 g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有 g(x)∈(g(x2),+∞),不符合题意; 当 x2≤x1=1,即 a≥1 时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上,有 g(x)∈(g(1),+∞),也不符合 题意; 1 ②若 a≤2,则有 2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有 g′(x)<0,从而 g(x)在区间(1,+∞) 上是减函数. 要使 g(x)<0 在此区间上恒成立, 1 1 只需满足 g(1)=-a-2≤0? a≥-2,

9


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