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高中数学(人教A版 选修2-2)Word版活页训练:2-1-1合情推理与演绎推理(Word有详解答案)

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第二章
2.1
2.1.1

推理与证明

合情推理与演绎推理
合情推理

双基达标
1.下面使用类比推理恰当的是

?限时20分钟?
( ).

A.“若 a· 3=b· 3,则 a=b”类推出“若 a· 0=b· 0,则 a=b

” B.“(a+b)c=ac+bc”类推出“(a· b)c=ac· bc” a+b a b C.“(a+b)c=ac+bc”类推出“ c = c+ c(c≠0)” D.“(ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn” 解析 由实数运算的知识易得 C 项正确. 答案 C 2.根据给出的数塔猜测 123 456×9+7 等于 ( 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111 ? A.1 111 110 C.1 111 112 B.1 111 111 D.1 111 113 ).

解析 由数塔猜测应是各位都是 1 的七位数,即 1 111 111. 答案 B 3.下图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第 36 颗珠子应是什么颜色 ( ).

A.白色 C.白色可能性大

B.黑色 D.黑色可能性大

解析 由图知:三白二黑周而复始相继排列,36÷ 5=7 余 1.∴第 36 颗珠子的颜色为白色. 答案 A 4.设 f(x)= 2x ,x =1,xn=f(xn-1)(n≥2),则 x2,x3,x4 分别为________.猜想 xn=________. x+2 1 2 2 1 2 =3,x3=f(x2)=2=4 1+2

解析 x2=f(x1)= 1 2×2 2+2

x4=f(x3)=1

2 2 =5,∴xn= . n+1 2 n+1

2 2 2 答案 3,4,5 5.观察下列各式

9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,?. 这些等式反映了自然数间的某种规律,设 n 表示自然数,用关于 n 的等式表示为________. 解析 由已知四个式子可分析规律:(n+2)2-n2=4n+4. 答案 (n+2)2-n2=4n+4 1? 1? 6.已知正项数列{an}满足 Sn=2?an+a ?,求出 a1,a2,a3,a4,并推测 an. ? n? 解 1? 1? a1=S1=2?a1+a ?, ? 1?

又因为 a1>0,所以 a1=1. 1 ? 1? 1? 1? 当 n≥2 时,Sn=2?an+a ?,Sn-1=2?an-1+a ?, ? ? n ? n-1? 两式相减得: 1 ? 1 ? 1? 1? an=2?an+a ?-2?an-1+a ?, ? n? ? n-1? 1 ? 1 ? 即 an-a =-?an-1+a ?, ? n-1? n

1 所以 a2-a =-2,又因为 a2>0,所以 a2= 2-1.
2

1 a3-a =-2 2,又因为 a3>0,所以 a3= 3- 2.
3

1 a4-a =-2 3,又因为 a4>0,所以 a4=2- 3.
4

将上面 4 个式子写成统一的形式: a1= 1- 0,a2= 2- 1,a3= 3- 2,a4= 4- 3, 由此可以归纳出 an= n- n-1.(n∈N+)

综合提高
7.下列推理正确的是

?限时25分钟?
( ).

A.把 a(b+c)与 loga(x+y)类比,则有:loga(x+y)=logax+logay B.把 a(b+c)与 sin(x+y)类比,则有:sin(x+y)=sin x+sin y C.把(ab)n 与(a+b)n 类比,则有:(x+y)n=xn+yn D.把(a+b)+c 与(xy)z 类比,则有:(xy)z=x(yz) 解析 A 错误,因为 logax+logay=logaxy(x>0,y>0);B 错误,因为 sin(x+y)=sin xcos y+
0 n 1 n-1 n cos xsin y;对于 C,则有(x+y)n=Cn x +Cn x · y+?+Cr xn-r· yr+?+Cn n· ny ;D 正确,为加

乘法的结合律,故选 D. 答案 D π 8.设 0<θ<2,已知 a1=2cos θ,an+1= 2+an,猜想 an= ( θ A.2cos 2n C.2cos θ 2
n+1

).

B.2cos

θ 2
n-1

θ D.2 sin2n ∵a1=2cos θ, 1+cos θ θ =2cos 2, 2 θ 1+cos 2 θ = 2cos 2 4,?,

解析 法一

a2= 2+2cos θ=2

a3= 2+a2=2

猜想 an=2cos

2

n-1.

θ

法二 验 n=1 时,排除 A、C、D,故选 B. 答案 B 9.把 1、3、6、10、15、21、?这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个 正三角形(如图)

试求第七个三角形数是________. 解析 观察知第 n 个三角形数为 1+2+3+?+n= 答案 28 10.平面内正三角形有很多性质,如三条边相等,类似地写出空间中正四面体的两个性质. 性质①_____________________________________________________; 性质②_________________________________________________________. 答案 六条棱长相等 四个面都全等
10 20 30

n?n+1? 7×?7+1? ,∴当 n = 7 时, =28. 2 2

T20 T30 T40 11.在公比为 4 的等比数列{bn}中,若 Tn 是数列{bn}的前 n 项积,则有T ,T ,T 也成等比 数列,且公比为 4100;类比上述结论,相应地在公差为 3 的等差数列{an}中,若 Sn 是{an} 的前 n 项和. (1)写出相应的结论,判断该结论是否正确?并加以证明; (2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明). 解 (1)数列 S20-S10,S30-S20,S40-S30 也是等数数列,且公差为 300.

该结论是正确的.(证明略) (2)对于?k∈N*,都有 数列 S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k 是等差数列,且公差为 k2d. 12.(创新拓展)如图,在长方形 ABCD 中,对角线 AC 与两邻边所成的角分别为 α、β,则 cos2α+cos2β=1,则在立体几何中,给出类比猜想.



2 2 2 ?a? ?b? a +b c 在长方形 ABCD 中,cos2α+cos2β=?c?2+?c?2= c2 =c2=1. ? ? ? ?

于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 α、β、γ,

则 cos2α+cos2β+cos2γ=1.
2 2 2 2 ?m?2 ?n?2 ?g?2 m +n +g l ? ? ? ? ? ? 证明如下:cos α+cos β+cos γ= l + l + l = =l2=1. l2 ? ? ? ? ? ? 2 2 2


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