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2016年高考数学理试题分类汇编:数列(含解析)

时间:2016-06-15


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2016 年高考数学理试题分类汇编 数列
一、选择题 1、(2016 年上海高考)已知无穷等比数列 ?an ?的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,且 lim S n ? S .下列条件中,使
n??

得 2Sn ? S n ? N ? 恒成立的是( (A) a1 ? 0,0.6 ? q ? 0.7 (C) a1 ? 0,0.7 ? q ? 0.8 【答案】B 【解析】试题分析: 由题意得:2a1 时 qn ?

?

?



(B) a1 ? 0,?0.7 ? q ? ?0.6 (D) a1 ? 0,?0.8 ? q ? ?0.7

1 ? qn 1 1 ? a1 ,(0 ?| q |? 1) 对一切正整数恒成立,当 a1 ? 0 时 q n ? 不恒成立,舍去;当 a1 ? 0 1? q 1? q 2

1 1 ? q2 ? ,因此选 B. 2 2

考点:1.数列的极限;2.等比数列的求和. 2、 (2016 年全国 I 高考)已知等差数列 {an } 前 9 项的和为 27, a10 =8 ,则 a100 = (A)100 【答案】C 【解析】 试题分析:由已知, ? (B)99 (C)98 (D)97

?9a1 ? 36d ? 27 , 所以 a1 ? ?1, d ? 1, a100 ? a1 ? 99d ? ?1 ? 99 ? 98, 故选 C. ? a1 ? 9d ? 8

考点:等差数列及其运算 3、(2016 年全国 III 高考)定义“规范 01 数列”{an}如下:{an}共有 2m 项,其中 m 项为 0,m 项为 1,且对 任意 k ? 2 m , a1 , a2 ,?, ak 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m=4,则不同的“规范 01 数列”共有 (A)18 个 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意,得必有 a1 ? 0 , a8 ? 1 ,则具体的排法列表如下: 0 0 0 0 1
[

(B)16 个

(C)14 个

(D)12 个

1 0

1 1

1 1

1

[

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1 0 0 1 1 1

0 1 1 0 1 0 1 1 0 1

1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0

0 0

0 1 0 1 考点:计数原理的应用.

1

0

0 1

4、 (2016 年浙江高考) 如图, 点列{An}, {Bn}分别在某锐角的两边上, 且 An An?1 ? An?1 An?2 , An ? An?2 , n ? N ,
*

Bn Bn?1 ? Bn?1Bn?2 , Bn ? Bn?2 , n ? N* ,( P ? Q表示点P与Q不重合 ).
若 dn ? An Bn ,Sn为△An Bn Bn?1的面积,则

A. {Sn } 是等差数列 C. {dn } 是等差数列 【答案】A

2 B. {Sn } 是等差数列 2 D. {dn } 是等差数列

【解析】 Sn 表示点 An 到对面直线的距离(设为 hn )乘以 Bn Bn?1 长度一半,即 S n ?

1 hn Bn Bn ?1 ,由题目中 2

条件可知 Bn Bn?1 的长度为定值, 那么我们需要知道 hn 的关系式, 过A 那么 A 1, A n和 1 作垂直得到初始距离 h1 , 两个垂足构成了等腰梯形,那么 hn ? h1 ? An A n?1 ? tan ? ,其中 ? 为两条线的夹角,即为定值,那么

Sn ?

1 1 (h1 ? A1 A n ? tan ? ) Bn Bn ?1 , Sn ?1 ? ( h1 ? A1 A n ?1 ? tan ? ) Bn Bn ?1 ,作差后: 2 2 1 Sn ?1 ? Sn ? ( An A n ?1 ? tan ? ) Bn Bn ?1 ,都为定值,所以 Sn?1 ? Sn 为定值.故选 A. 2

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二、填空题 1、(2016 年北京高考)已知 {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,若 a1 ? 6 , a3 ? a5 ? 0 ,则 S6 = _______.. 【答案】6 【解析】 试题分析:∵ {an } 是等差数列,∴ a3 ? a5 ? 2a4 ? 0 , a4 ? 0 , a4 ? a1 ? 3d ? ?6 , d ? ?2 , ∴ S6 ? 6a1 ? 15d ? 6 ? 6 ? 15 ? (?2) ? 6 ,故填:6. 考点:等差数列基本性质. 2、 (2016 年上海高考) 无穷数列 ?an ?由 k 个不同的数组成, Sn ??2,3?, Sn 为 ?an ?的前 n 项和.若对任意 n ? N ,
?

则 k 的最大值为________. 【答案】4 【解析】试题分析: 要满足数列中的条件,涉及最多的项的数列可以为 2,1, ?1, 0, 0, 0, ??? ,所以最多由 4 个不同的数组成. 考点:数列的项与和.

?an 的最大值为 3、(2016 年全国 I 高考)设等比数列 {an } 满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2 鬃
【答案】 64 【解析】由于 ?an ? 是等比数列,设 an ? a1qn?1 ,其中 a1 是首项, q 是公比.

.

?a1 ? 8 2 ?a ? a ? 10 ? ?a1 ? a1q ? 10 ? ∴? 1 3 ,解得: ?? ? 1. 3 a ? a ? 5 q? ?a1q ? a1q ? 5 ? 2 4 ? ? ? 2
?1? 故 an ? ? ? ?2?
n?4

?1? ,∴ a1 ? a2 ? ... ? an ? ? ? ?2?

? ?3? ? ? ?2 ? ?...? ? n ? 4 ?

? 1 ?2 ?? ? ?2?

1

n? n ? 7 ?

? ? 1 ?2? ?? ?? ? ?2? 1 ?? 7?
2

2 1 ?? 7 ? 49 ? ? n? ? ? ? 2? 4? ?

?? n ? ? 2 ? 1 ?2? 1 ?? 7 ? 49 ? ?? 2 ? 当 n ? 3 或 4 时, ?? n ? ? ? ? 取到最小值 ?6 ,此时 ? ? 2? 2? 4? ?2? ?? ?

?

49 ? ? 4? ?

取到最大值 2 6 .

所以 a1 ? a2 ? ... ? an 的最大值为 64. 考点:等比数列及其应用 4、(2016 年浙江高考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则 a1= 121 【答案】 1

,S5=

.

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三、解答题 1、 (2016 年北京高考) 设数列 A:a1 ,a2 ,… aN ( N ? ).如果对小于 n ( 2 ? n ? N )的每个正整数 k 都有 ak < an ,则称 n 是数列 A 的一个“G 时刻”.记“ G ( A) 是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集合. (1)对数列 A:-2,2,-1,1,3,写出 G ( A) 的所有元素; (2)证明:若数列 A 中存在 an 使得 an > a1 ,则 G( A) ? ? ; (3)证明:若数列 A 满足 an - an ?1 ≤1(n=2,3, …,N),则 G ( A) 的元素个数不小于 aN - a1 . 【答案】(1) G ( A) 的元素为 2 和 5 ;(2)详见解析;(3)详见解析.

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如果 Gi ? ? ,取 mi ? minGi ,则对任何 1 ? k ? mi , ak ? ani ? ami . 从而 mi ? G( A) 且 mi ? ni ?1 . 又因为 n p 是 G ( A) 中的最大元素,所以 Gp ? ? .

考点:数列、对新定义的理解.

2、(2016 年山东高考)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=3n2+8n, ?bn ? 是等差数列,且 an ? bn ? bn?1. (Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ?

(an ? 1)n?1 . 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn. (bn ? 2)n

【解析】(Ⅰ)因为数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 3n2 ? 8n ,

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所以 a1 ? 11,当 n ? 2 时,

an ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 8n ? 3(n ?1)2 ? 8(n ?1) ? 6n ? 5 ,
又 an ? 6n ? 5 对 n ? 1 也成立,所以 an ? 6n ? 5 . 又因为 ?bn ?是等差数列,设公差为 d ,则 an ? bn ? bn ?1 ? 2bn ? d . 当 n ? 1 时, 2b1 ? 11? d ;当 n ? 2 时, 2b2 ? 17 ? d , 解得 d ? 3 ,所以数列 ?bn ?的通项公式为 bn ?

an ? d ? 3n ? 1 . 2

(Ⅱ)由 cn ?

(an ? 1)n ?1 (6n ? 6)n ?1 ? ? (3n ? 3) ? 2n ?1 , (bn ? 2)n (3n ? 3)n

于是 Tn ? 6 ? 22 ? 9 ? 23 ? 12? 24 ? ?? (3n ? 3) ? 2n ?1 , 两边同乘以2,得

2Tn ? 6 ? 23 ? 9 ? 24 ? ?? (3n) ? 2n?1 ? (3n ? 3) ? 2n?2 ,
两式相减,得

? Tn ? 6 ? 22 ? 3 ? 23 ? 3 ? 24 ? ?? 3 ? 2n?1 ? (3n ? 3) ? 2n?2
? 3 ? 22 ? 3 ? 22 (1 ? 2n ) ? (3n ? 3) ? 2n ? 2 1? 2

Tn ? ?12 ? 3 ? 22 (1 ? 2n ) ? (3n ? 3) ? 2n?2 ? 3n ? 2n?2 .
考点:数列前 n 项和与第 n 项的关系;等差数列定义与通项公式;错位相减法

3、(2016 年上海高考)若无穷数列 {an } 满足:只要 a p ? aq ( p, q ? N * ) ,必有 a p?1 ? aq?1 ,则称 {an } 具有性 质P. (1)若 {an } 具有性质 P ,且 a1 ? 1, a2 ? 2, a4 ? 3, a5 ? 2 , a6 ? a7 ? a8 ? 21 ,求 a3 ; (2)若无穷数列 {bn } 是等差数列,无穷数列 {cn } 是公比为正数的等比数列, b1 ? c5 ? 1 , b5 ? c1 ? 81 ,

an ? bn ? cn 判断 {an } 是否具有性质 P ,并说明理由;
(3)设 {bn } 是无穷数列,已知 an?1 ? bn ? sin an (n ? N ) .求证:“对任意 a1 ,{an } 都具有性质 P ”的充要条
*

件为“ {bn } 是常数列”.

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【答案】(1) a3 ? 16 .(2) ?an ? 不具有性质 ? .(3)见解析. 【解析】 试题分析:(1)根据已知条件,得到 a6 ? a7 ? a8 ? a3 ? 3 ? 2 ,结合 a6 ? a7 ? a8 ? 21求解. (2)根据 ?bn ? 的公差为 20 , ?cn ? 的公比为 通过计算 a1 ? a5 ? 82 , a2 ? 48 , a6 ?

1 ,写出通项公式,从而可得 an ? bn ? cn ? 20n ?19 ? 35?n . 3

304 , a2 ? a6 ,即知 ?an ? 不具有性质 ? . 3

(3)从充分性、必要性两方面加以证明,其中必要性用反证法证明. 试题解析:(1)因为 a5 ? a2 ,所以 a6 ? a3 , a7 ? a4 ? 3 , a8 ? a5 ? 2 . 于是 a6 ? a7 ? a8 ? a3 ? 3 ? 2 ,又因为 a6 ? a7 ? a8 ? 21,解得 a3 ? 16 . (2) ?bn ? 的公差为 20 , ?cn ? 的公比为

1 , 3
n ?1

?1? 所以 bn ? 1 ? 20 ? n ?1? ? 20n ?19 , cn ? 81? ? ? ? 3?

? 35?n .

an ? bn ? cn ? 20n ?19 ? 35?n .
a1 ? a5 ? 82 ,但 a2 ? 48 , a6 ?
所以 ?an ? 不具有性质 ? . (3)[证]充分性: 当 ?bn ? 为常数列时, an?1 ? b1 ? sin an . 对任意给定的 a1 ,只要 a p ? aq ,则由 b1 ? sin ap ? b1 ? sin aq ,必有 a p?1 ? aq?1 . 充分性得证. 必要性: 用反证法证明.假设 ?bn ? 不是常数列,则存在 k ? ? ,
?

304 , a2 ? a6 , 3

使得 b1 ? b2 ? ??? ? bk ? b ,而 bk ?1 ? b . 下面证明存在满足 an?1 ? bn ? sin an 的 ?an ? ,使得 a1 ? a2 ? ??? ? ak ?1 ,但 ak ?2 ? ak ?1 . 设 f ? x ? ? x ? sin x ? b ,取 m ? ? ,使得 m? ? b ,则
?

f ? m? ? ? m? ? b ? 0 , f ? ?m? ? ? ?m? ? b ? 0 ,故存在 c 使得 f ? c ? ? 0 .

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取 a1 ? c ,因为 an?1 ? b ? sin an ( 1 ? n ? k ),所以 a2 ? b ? sin c ? c ? a1 , 依此类推,得 a1 ? a2 ? ??? ? ak ?1 ? c . 但 ak ?2 ? bk ?1 ? sin ak ?1 ? bk ?1 ? sin c ? b ? sin c ,即 ak ?2 ? ak ?1 . 所以 ?an ? 不具有性质 ? ,矛盾. 必要性得证. 综上,“对任意 a1 , ?an ? 都具有性质 ? ”的充要条件为“ ?bn ? 是常数列”. 考点:1.等差数列、等比数列的通项公式;2.充要条件的证明;3.反证法.

4、(2016 年四川高考)已知数列{ an }的首项为 1, Sn 为数列{ an }的前 n 项和, Sn?1 ? qSn ? 1 ,其中 q>0, n ? N * . (I)若 2a2 , a3 , a2 ? 2 成等差数列,求 an 的通项公式; (ii)设双曲线 x 2 ?

y2 4n ? 3n 5 的离心率为 ,且 ,证明: e e ? e ? e ? ??? ? e ? ? 1 2 1 2 n n 2 3 3n ?1 . an

【答案】(Ⅰ) an =q n- 1 ;(Ⅱ)详见解析.

试题解析:(Ⅰ)由已知, Sn+ 1 = qSn + 1, Sn+ 2 = qSn+ 1 + 1, 两式相减得到 an+ 2 = qan+ 1 , n ? 1 . 又由 S2 = qS1 + 1 得到 a2 = qa1 ,故 an+ 1 = qan 对所有 n ? 1 都成立. 所以,数列 {an } 是首项为 1,公比为 q 的等比数列. 从而 an =q n- 1 . 由 2a2,a3,a2 +2 成等比数列,可得 2a3 =3a2 + 2 ,即 2q2 =3q + 2, ,则 (2q +1)(q - 2) = 0 , 由已知, q > 0 ,故 q =2 .

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所以 an = 2n- 1 (n ? N* ) . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, an = qn- 1 . 所以双曲线 x 2 y2 = 1 的离心率 en = 1 + an2 = 1 + q2( n- 1) an 2

.

由 q = 1 + q2 =

5 4 解得 q = . 3 3

1 因为 1+q2( k - 1) > q2( k - 1) ,所以 1+q2(k- 1) > qk-( . k ? N*)

? en > 1+q + 鬃 ? q n- 1 = 于是 e1 + e2 + 鬃

qn - 1 , q- 1

4n - 3n . 3n- 1 考点:数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式.
故 e1 + e2 + 鬃 ? e3 > 5、 (2016 年天津高考) 已知 ?an ? 是各项均为正数的等差数列, 公差为 d ,对任意的 n ? N ?, bn 是 an 和 an ?1 的 等比中项. (Ⅰ)设 cn ? bn?1 ? bn , n ? N ,求证: ?cn ? 是等差数列;
2 2 *

(Ⅱ)设 a1 ? d , Tn ?

? ? ?1?
k ?1

2n

n

bn 2 , n ? N * ,求证: ?

1 1 ? 2. 2d k ?1 Tk

n

【解析】⑴ Cn ? bn?12 ? bn 2 ? an?1an? 2 ? an an?1 ? 2d ? an?1 ∴ ?Cn ? 为等差数列
2n k ?1

Cn?1 ? Cn ? 2d (an?2 ? an?1 ) ? 2d 2 为定值.
n(n ? 1) ? 4d 2 ? nC1 ? 2d 2 n(n ? 1) (*) 2

⑵ Tn ? ? (?1) k bk 2 ? C1 ? C3 ? ? ? ? ? C2 n ?1 ? nC1 ? 将 C1 ? 4d 2 代入(*)式得 Tn ? 2d 2 n(n ? 1) ∴?
1 1 ? 2 2d k ?1 Tk
n

2 ? b12 ? a2 a3 ? a1a2 ? 2d ? a2 ? 2d (a1 ? d ) ? 4d 2 由已知 C1 ? b2

? k (k ? 1)
k ?1

n

1

?

1 ,得证 2d 2

考点:等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 6、(2016 年全国 II 高考) Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 =1 ,S7 ? 28. 记 bn = ?lg an ? ,其中 ? x ? 表示 不超过 x 的最大整数,如 ?0.9? =0, ?lg99? =1 . (Ⅰ)求 b1,b11,b101 ;

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(Ⅱ)求数列 ?bn ? 的前 1 000 项和. 【答案】(Ⅰ) b1 ? 0 , b11 ? 1 , b101 ? 2 ;(Ⅱ)1893. 【解析】⑴设

?an ? 的公差为 d , S7 ? 7a4 ? 28 ,
a4 ? a1 ? 1 ,∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? n . 3

∴ a4 ? 4 ,∴ d ?

∴ b1 ? ? lg a1 ? ? ? lg1? ? 0 , b11 ? ? lg a11 ? ? ? lg11? ? 1 , b101 ? ? lg a101 ? ? ?lg101 ? ? 2 . ⑵ 记 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则 T1000 ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? b1000

? ? lg a1 ? ? ? lg a2 ? ? ? ? ? ? ? lg a1000 ? .

当 0 ≤ lg an ? 1 时, n ? 1,2 ,? ? ? ,9 ; 当 1 ≤ lg an ? 2 时, n ? 10 , 11,? ? ? ,99 ; 当 2 ≤ lg an ? 3 时, n ? 100 , 101,? ? ? ,999 ; 当 lg an ? 3 时, n ? 1000 . ∴ T1000 ? 0 ? 9 ? 1 ? 90 ? 2 ? 900 ? 3 ? 1 ? 1893 .
考点:等差数列的的性质,前 n 项和公式,对数的运算. 7、(2016 年全国 III 高考)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 1 ? ? an ,其中 ? ? 0 . (I)证明 {an } 是等比数列,并求其通项公式; (II)若 S5 ?

31 ,求 ? . 32 1 ? n ?1 ( ) ;(Ⅱ) ? ? ?1 . 1? ? ? ?1

【答案】(Ⅰ) an ? 【解析】

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考点:1、数列通项 an 与前 n 项和为 Sn 关系;2、等比数列的定义与通项及前 n 项和为 Sn .

8、(2016 年浙江高考) 设数列 ?an ? 满足 an ?

an?1 ? 1 , n ? ?? . 2

n ?1 a1 ? 2 , n ? ?? ; (I)证明: an ? 2

?

?

?3? ? ? (II)若 an ? ? ? , n ? ? ,证明: an ? 2 , n ? ? . ?2?
【试题分析】( I )先利用三角形不等式得 an ?

n

a a ?1 1 1 an ?1 ? 1 ,变形为 n ? n ? n ,再用累加法可得 n n ?1 2 2 2 2

m a1 an an am 1 ?3? n ?1 ? n ? 1, 进而可证 an ? 2 ? a1 ? 2 ? ; (II) 由 (I) 可得 n ? m ? n ?1 , 进而可得 an ? 2 ? ? ? ? 2n , 2 2 2 2 2 ?4?

再利用 m 的任意性可证 an ? 2 .

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(II)任取 n ? ? ,由(I)知,对于任意 m ? n ,

?

an 2
?
n

?

?a a ?1 ?? n ? n n 2 2n?1 ?2 am
m

? ? an ?1 an ? 2 ? ? ? n?1 ? n? 2 2 ? ?2

? ? am?1 am ? ? ? ??? ? ? m?1 ? m ? 2 ? ? ?2

1 1 1 ? n ?1 ? ??? ? m ?1 n 2 2 2 1 ? n ?1 , 2
? 1 a an ? ? n ?1 ? m 2m ?2 ? n ??2 ?
m



? 1 1 ? ? n ?1 ? m 2 ? ?2
m

?3? ?? ? ?2?

? n ??2 ? ?

?3? ? 2 ? ? ? ? 2n . ?4?
从而对于任意 m ? n ,均有

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