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高中数学


椭圆的参数方程的几点应用
贵州省习水县第一中学 袁嗣林

椭圆 )。

的参数方程是

(α 是参数,

特别地,以点(

)为圆心,半径是 r 的椭圆的参数方程是

(α

是参数,r>0)。下面就应用做一些归纳。

>
1.参数方程在求最值上的应用

例 1 求椭圆

的内接矩形的面积及周长的最大值。

分析:此题可以设矩形长为 x,然后代入椭圆方程解出宽。但因为有参数 a,b,所以把式子 列出后都很难解答。而考虑椭圆的参数方程可以迎刃而解。

解:如图,设椭圆

的内接矩形在第一象限的顶点是 A(





),矩形的面积和周长分别是 S、L。



当且仅当

时, ,此时α 存在。



点评:利用参数方程后,再利用三角函数性质可以简化求解的过程和降低求解的难度。

例 2 设点 P(x,y)在椭圆 大值和最小值。

,试求点 P 到直线

的距离 d 的最

分析:此题可以设点 P(x,y),然后代入椭圆方程

(1),然后利用点到直

线的距离公式把 d 表示出来。 但仍然很难继续解答。 而考虑椭圆的参数方程却可以树立解决 此问题。

解: P 点 (x, 在椭圆 y)

上, 设点 P (

) 是参数且 (α

) ,







时, 距离 d 有最小值 0, 此时椭圆

与直线



切;当

时,距离 d 有最大值 2。

点评:在求解最值问题时,尤其是求与圆锥曲线有关的函数的最值时,我们可以考虑利 用参数方程降低难度。

2.参数方程在求与离心率有关问题上的应用

例 3 椭圆

与 x 轴的正向相交于点 A,O 为坐标原点,若这个椭

圆上存在点 P,使得 OP⊥AP。求该椭圆的离心率 e 的取值范围。

分析:如果按常规设 p(x,y),OP2+AP2=OA2,展开,与离心率没有明显的联系,但用参数 方程就非常容易。

解:设椭圆 ≠π ),A(a,0)。

上的点 P 的坐标是(

)(α ≠0 且α



。而 OP⊥AP,

于是

,整理得

解得

(舍去),或



因为

,所以

。可转化为

,解得

,于



。故离心率 e 的取值范围是



点评:有关离心率入手比较困难的问题时我们可以考虑应用参数方程求解。


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