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广东省汕头市金山中学2015-2016学年高一上学期10月月考数学试题


汕头市金山中学 2015-2016 学年度第一学期高一月考(10 月份)

高 一 数 学 试 卷
试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分;共 60 分.在每小题给出的四个选
项中

,只有一项是符合题目要求的. )
x ? ? ? ?1? ? 1.已知全集为 R,集合 A= ? x ? ? ? 1? ,B= x | x 2 - 6 x ? 8 ? 0 ,则 A ? ?CR B ? 等于 ? ? ? ?2? ?

?

?



) A.{x|x≤0} C.{x|0≤x<2 或 x>4} B.{x|2≤x≤4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4}
) C.-5 D.5

2.化简

?

3

(?5)

2

? 的结果为 (
3 2

A.- 5

B. 5

3.下列四组函数中,表示相等函数的一组是( A. f ( x) ? x , g ( x) ? x 2
x2 ? 1 , g ( x) ? x ? 1 C. f ( x) ? x ?1



B. f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ( x ) 2 D. f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1, g ( x) ? x 2 ? 1 )
1 D. y ? ( )1? x 3

4.下列函数中值域为(0, ? ?) 的是( A. y ? 2 x
2

?1

B. y ?

x?2 x ?1

C. y ? 1 ? 2 x

5.二次函数 y=ax2+bx 与指数函数 y=(
y 1 x 1

b x ) 的图象只可能是( a
y



-1

O

1

O

1

x

A
y 1 -1 O x 1

B
y

O

1

x

C

D

?x-1 2 ? ?a b? ?=ad-bc,若函数 f(x)=? 6.定义运算? ?在(-∞,m)上单调递减, ?c d ? ?-x x+3? 则实数 m 的取值为( )

A.(-2,+∞)
3

B.[-2,+∞)

C.(-∞,-2)

D.(-∞,-2] ) .

7.已知 f ( x) ? ax ? bx ? 1(ab ? 0) ,若 f (2013 ) ? k ,则 f (?2013 ) ?( A. k 8.函数 y ? B. ? k
4 ? x2 是( 2? x ?2

C. 1 ? k ) B.奇函数

D. 2 ? k

A.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数

?1? 9.已知偶函数 f(x)在区间(0,+∞)单调增加,则满足 f(x-1)< f ? ? 的 x ? 3?

取值范围是(
1 1 A. (? , ) 3 3


1 1 B. [- , ] 3 3
2 4 C. ( , ) 3 3

2 4 D. [ , ] 3 3

10. 设 f ( x) 是 R 上的奇函数, 对任意的实数 x,y ,有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在区间 [a, b] 上( A.有最大值 f (
a?b ) 2


a?b ) 2

B.有最小值 f (

C.有最大值 f (a )

D.有最小值 f (a )

? ? x ? a ?2 , x ? 0 ? 11.函数 f ?x ? ? ? , 若 f ?0? 是 f ?x ? 的最小值,则 a 的取值范围为 1 x ? ? a, x ? 0 ? x ?
( ) A. ?? 1,2? B. ?? 1,0?

1,2? C. ?

D. ?0,2?

12.非空数集 A ? ?a1 , a2 , a3 , ?, an ?(n ? N* )中,所有元素的算术平均数记为 E( A), 即 E( A)?
a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an .若非空数集 B 满足下列两个条件:① B ? A ;② n

E( B)? E( A) 3, 4, 5? 的“保 ,则称 B 为 A 的一个“保均值子集” .据此,集合 ?1,2 ,

均值子集”有( A. 5 个

) B. 6 个 第Ⅱ卷 (非选择题 C. 7 个 共 90 分) .


D. 8 个

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.函数 y ? a x?5 ? 1(a ? 0 且 a ? 1 )的图象必经过定点

b? ? 14.若 ?1,a, ? ? 0,a 2 , a ? b ,则 a 2015 ? b 2016 等于 a? ?

?

?

?a x ( x ? 0), 15. f ( x) ? ? 满足 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )](x1 ? x2 ) <0 对定义域中的任意 ( a ? 3 ) x ? 4 a ( x ? 0 ) ?

两个不相等的 x1 , x2 都成立,则 a 的取值范围是
的解集为 .



16.设奇函数 f ( x) 在 (0,+∞)上是增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 x[ f ( x) ? f (? x)] ? 0

三、解答题:(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.) 17.(本题满分 14 分) 设 A ? {x | x2 ? ax ? a2 ?19 ? 0} , B ? {x | x2 ? 5x ? 6 ? 0} , C ? {x x 2 ? 2 x ? 8 ? 0} . (1)若 A ? B ? A ? B ,求 a 的值; (2)若 A ? B ? A ? C ? ? ,求 a 的值.

18.(本题满分 14 分) 如图 18 所示,在梯形 ABCD 中,AB=10,CD=4,AD=BC=5,动点 P 从 B 点开 始沿着折线 BC,CD,DA 前进至 A,若 P 点运动的路程为 x,△PAB 的面积为 y. (1)求 y=f(x)的解析式,并指出函数的定义域; (2)画出函数的图象并写出函数的值域. 图 18

y

2

19. (本题满分 14 分)
2 ?1 已知函数 f ? x ? ? x . 2 ?1
x

O

2

x

(1)判断函数的奇偶性; (2)求函数的值域.

20. (本题满分 14 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ,对于任意实数 x, y 都满足 f ?x ? y ? ? f ?x? ? f ? y ? ,且
f (1) ? 0 ,当 x ? 0时, f ( x) ? 1 .

(1)求 f (0) 的值; (2)证明 f ( x) 在 ? ??, ? ?? 上是增函数;

21. (本题满分 14 分) 已知 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? x2 . (1)求 y ? f ( x ) 的解析式; (2)问是否存在这样的正数 a, b ?a ? b? 使得当 x ?? a , b ? 时,函数 g ( x) ? f ( x) 的值域为
?1 1 , ? ?b a ? ,若存在,求出所有 a, b 的值,若不存在,说明理由. ? ?

高 一 数 学 月 考 试 卷 答 案 CDADA DDBCC BC
(5, 2)

-1

1 (0, ] 4

?x | ?1 ? x ? 0 或 0 ? x ? 1?

17、解:由题可得 B={2,3},C={-4,2} ??2 分 (1)? A ? B=A ? B ? A=B, ∴2,3 是方程 x2 ? ax ? a2 ? 19 ? 0 的两个根

?2 ? 3 ? a 即? ? a ? 5, 2 2 ? 3 ? a ? 19 ?
(2)? A ? B ? A ? C ? ? ,? 2 ? A , 即 4-2a+ a 2 -19=0 ? a 2 -2a-15=0 ? a=5或a= - 3 , 当 a ? 5 时,有 A={2,3} ,则 A ? B={2,3} ? A ? C={2} ,? a ? 5 (舍去) 当 a ? ?3 时,有 A={2,-5} ,则 A ? B={2} ? A ? C ,? a ? ?3 符合题意,
? a ? ?3

18、解:

如图所示,
4 , 5

(1)①当 P 在 BC 上运动时,如图①所示, 易知 sin∠B=

1 y= ×10×(xsin∠B)=4x,0≤x≤5. ???2 分 2 ②当 P 点在 CD 上运动时,如图②所示, 1 y= ×10×4=20,5<x≤9. ????4 分 2 ③当 P 在 DA 上运动时,如图③所示, 1 y= ×10×(14-x) sin∠B 2 =-4x+56,9<x≤14. ??????6 分 综上所得,函数的解析式为
O 5 9 14

20

0? x?5 ?4 x , ? 5 ? x ? 9 ???8 分 y= ? 20, ? ?4 x ? 56,9 ? x ? 14 ?

(2)函数 y=f(x)的图象如图所示. 由图象可知,函数 y=f(x)的图象上所有点的纵坐标的取值范围是 0≤y≤20. 所以函数 y=f(x)的值域为[0,20].??????14 分 19.解:. (1) 函数 f ? x ? ?
?x

2x ? 1 的定义域为 ? ??,0? ? ? 0, ??? 2x ?1

2x ? 1 x 2 ?1 2x ? 1 2 f ??x? ? ?x ? ? ? ? f ( x) 2 ? 1 1 ? 2x 1 ? 2x 2x
2x ? 1 所以函数 f ? x ? ? x 是奇函数. 2 ?1

(2) f ? x ? ?

2x ? 1 2x ?1 ? 2 2 ? ? 1? x x x 2 ?1 2 ?1 2 ?1
2 2 ? 0 ,?1 ? x ?1 2 ?1 2 ?1
x

当 x ? 0 时, 2 x ? 1 ,? 2x ? 1 ? 0 ,? 又由(1)知函数 f ? x ? ?

?1 是奇函数, 2 ?1
x

所以函数 f ? x ? 的值域为 ? ??, ?1? ? ?1, ??? . 20.(1)解:? 对于任意实数 x, y 都满足 f ?x ? y ? ? f ?x ?? f ? y ?,
,y ax ?? 1,1 b ?? 00 则 ?令
?

f (1) ? f (1 ? 0) ? f (1) f (0)

f (1) ? 0 ? f (0) ? 1

-x>0 (2f )证明:当 ( x) f ( ? x ) ? x f? ( x0?时 x) ? f (0) ?? 1, f (? x) ? 0 ,
由 f ( x) f (? x) ? f ( x ? x) ? f (0) ? 1, f (? x) ? 0 得 f ( x) ? 0

? 对于任意实数x , f ( x) ? 0
设 x1 ? x2 则 x2 ? x1 ? 0

f ( x2 ? x1 ) ? 1

? f ( x2 ) ? f ( x1 ? ( x2 ? x1 )) ? f ( x1 ) f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 )

? 函数y ? f ( x)在(?? , ? ?)上是增函数。

21.解: (1)设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,又因为 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,
2 2 所以 f ( x) ? ? f (? x) ? ? ? ? 2(? x) ? (? x) ? ? ? 2x ? x .

? x2 ? 2x , x ? 0 所以 f ( x) ? ? 2 ?? x ? 2 x, x ? 0 .
(2)存在满足条件的正数 a,b ?a ? b? . ①若 0 ? a ? b ? 1 则
1 ? 1 而当 x ? 0 时, a

g ( x) ? f ( x) ? ?( x ?1)2 ?1 ? 1 不成立。
②若 0 ? a ? 1 ? b 时, f ?x?max ? f ?1? ? 1
? 1 ?1 得 a ?1 a

不成立
f( 在 x)

③ 若 1? a ? b 时 , 因 g( 为 x) ?

? 1, ? ? ?

上 是 减 函 数 , 于 是 有

?1 ? 22 ?b) ?? f( b ? b ?g ? b ?2 2 b ? ? ?(a ? 1)(a 2 ? a ? 1) ? 0 ? ?b ? ? ? ? ? 1 (b ? 1)(b 2 ? b ? 1) ? 0 2 2 ? ? ?1 ? a ? ?2 2a a ?g f (?a a)? ? ? -a ? ? a ? ?a

由于 1 ? a ? b ,所以 a ? 1, b ? 故存在正数 a ? 1 b ?

1? 5 2

1? 5 使得命题成立。 2


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