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广东省12大市2013届高三二模数学(理)试题分类汇编9:圆锥曲线


广东省 12 大市 2013 届高三二模数学 (理) 试题分类汇编 9: 圆锥曲线
一、选择题 1 . 广 东 省 湛 江 市 2013 届 高 三 4 月 高 考 测 试 ( 二 ) 数 学 理 试 题 ( WORD 版 ) 设 F1,F2 是 椭 圆 ( )

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2 的左右焦点,若直线 x =m

a ( m > 1 )上存在一点 P,使 Δ F2PF1 是底角为 300 的等
腰三角形,则 m 的取值范围是 ( )

A.1 < m < 2

B.m > 2

3 C.1 < m < 2

3 D.m > 2

x2 y 2 2 . (广东省深圳市 2013 届高三第二次调研考试数学理试题(2013 深圳二模) )已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的 a b
渐近线方程为 y ? ? 3x ,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于 ( )

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.1

3 . (广东省茂名市 2013 届高三 4 月第二次高考模拟数学理试题(WORD 版) )方程

x| x| y| y| =-1 的曲 ? 16 9

线 即 为 函 数 y=f(x) 的 图 象 , 对 于 函 数 y=f(x), 有 如 下 结 论 :①f(x) 在 R 上 单 调 递 减 ;② 函 数 F(x)=4f(x)+3x 不存在零点;③函数 y=f(x)的值域是 R;④f(x)的图象不经过第一象限,其中正确的个数 是 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4 . (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题(WORD 版) )设抛物线的顶点在原点,准线方程为

x ? -2, 则抛物线的方程是
A. y ? 8 x
2


2



B. y ? ?8 x

C. y ? ?4 x
2

D. y ? 4 x
2

二、填空题

x2 y 2 5 .广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题) ( 设点 P 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b
与圆 x ? y ? a ? b 在第一象限的交点,其中 F1 , F2 分别是双曲线的左、右焦点,若 tan ?PF2 F1 ? 3 ,
2 2 2 2

则双曲线的离心率为______________. 6 . (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)下图是抛物线形拱桥,当水 面在 l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降2米后水面宽________米.

x2 y 2 = 1 的右焦 7 . (广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题)过双曲线 9 16
点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 ________. 三、解答题 8. (广东省肇庆市 2013 届高三 4 月第二次模拟数学(理)试题)设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心 b2 a 2

率为

1 1 ,其左焦点 E 与抛物线 C : x ? ? y 2 的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右 2 4 1 ,若存在,请说明一共有几个点;若 2

焦点 F 的直线与曲线 C 只有一个交点 P ,则 (1)求直线的方程;(2)椭圆上是否存在点 M ( x, y ) ,使得 S ?MPF ? 不存在,请说明理由.
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9.(广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版))已知抛物线 C:y2=4x, F 是 抛物线的焦点,设 A(x1,y1),B(x2 ,y2)是 C 上异于 原点 O 的两个不重合点,OA 丄 OB, 且 AB 与 x 轴交于点 T (1) 求 x1x2 的值; (2) 求 T 的坐标; (3) 当点 A 在 C 上运动时,动点 R 满足: FA ? FB ? FR ,求点 R 的轨迹方程.

10. (广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模) )已知动点 M 到点 F (0,1) 的 距离与到直线 y ? 4 的距离之和为5. (1)求动点 M 的轨迹 E 的方程,并画出图形; (2)若直线 l : y ? x ? m 与轨迹 E 有两个不同的公共点 A, B ,求 m 的取值范围;

(3)在(2)的条件下,求弦长 | AB | 的最大值.

11. (广东省韶关市 2013 届高三 4 月第二次调研测试数学理试题) 已知椭圆
2

x2 y2 ? 2 ? 1  ?1 的左右 (a ) a2 a ?1

焦点为 F1 , F2 ,抛物线 C: y ? 2 px 以 F2 为焦点且与椭圆相交于点 M ? x1 , y1 ? 、N 轴上方,直线 F1M 与抛物线 C 相切. (1)求抛物线 C 的方程和点 M 、 N 的坐标;

? x2 , y2 ? ,点 M 在 x

(2)设 A,B 是抛物线 C 上两动点,如果直线 MA , MB 与 y 轴分别交于点 P, Q . ?MPQ 是以 MP , MQ 为腰的等腰三角形,探究直线 AB 的斜率是否为定值?若是求出这个定值,若不是说明理由.

12. (广东省汕头市2013年普通 高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)已知动点 P( x, y) 与两个定 点 M (?1,0), N (1,0) 的连线的斜率之积等于常数 ? ( ? ? 0 ) (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)试根据 ? 的取值情况讨论轨迹 C 的形状; (3)当 ? ? 2 时,对于平面上的定点 E(? 3,0), F ( 3,0) ,试探究轨迹 C 上是否存在点 P ,使得

?EPF ? 120? ,若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

13. (广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题(WORD版 ) )在平面直角坐标系xoy中,动点 在椭圆C1:

x2 ? y 2 ? 1 上,动点Q是动圆C2: x 2 ? y 2 ? r 2 (1 ? r ? 2) 上一点. 2

(1)求证:动点P到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率; (2)设椭圆C1上的三点 A( x1 , y1 ), B (1,

2 ), C ( x2 , y2 ) 与点F(1,0)的距离成等差数列,线段AC的垂直平 2

分线是否经过一个定点为?请说明理由. (3)若直线PQ与椭圆C1和动圆C2均只有一个公共点,求P、Q两点的距离|PQ|的最大值.

14 . (广东省 揭阳 市 2013 年高 中毕业班 第二次高考模 拟考试理 科数学试题) 如图 (6)已知 抛物线

C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l ,焦点为 F,圆 M 的圆心在 x 轴的正半轴上,且与 y 轴相切.过原点作倾
斜角为

? 的直线 t,交 l 于点 A,交圆 M 于点 B,且 | AO |?| OB |? 2 . 3
???? ????

(1)求圆 M 和抛物线 C 的方程; (2)设 G , H 是抛物线 C 上异于原点 O 的两个不同点,且 OG ? OH ? 0 ,求 ?GOH 面积的最小值; (3)在抛物线 C 上是否存在两点 P, Q 关于直线 m : y ? k ? x ?1?? k ? 0? 对称?若存在,求出直线 m 的

方程 ,若不存在,说明理由.
y l t

B X
O F

M

A

15. (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)在平面直角坐标系内, 动圆 C 过定点 F ?1, 0 ? ,且与定直线 x ? ?1 相切. (1)求动圆圆心 C 的轨迹 C2 的方程; (2)中心在 O 的椭圆 C1 的一个焦点为 F ,直线过点 M (4, 0) .若坐标原点 O 关于直线的对称点 P 在曲 线 C2 上,且直线与椭圆 C1 有公共点,求椭圆 C1 的长轴长取得最小值时的椭圆方程.

16. (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题(WORD 版) )已知中心在原点 O ,焦点在 x 轴上, 离心率为

3 2 的椭圆过点( 2 , ). 2 2

(1)求椭圆的方程; (2)设不过原点 O 的直线与该椭圆交于 P 、 Q 两点,满足直线 OP , PQ , OQ 的斜率依次成等比数列, 求 ?OPQ 面积的取值范围.

y P

Q

O

x

17. (广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试 (二) 数学理试题 (WORD 版) 经过点 F ? 0,1? 且与直线 y ? ?1 ) 相切的动圆的圆心轨迹为 M .点 A 、 D 在轨迹 M 上,且关于 y 轴对称,过线段 AD (两端点除外)上的 任意一点作直线,使直线与轨迹 M 在点 D 处的切线平行,设直线与轨迹 M 交于点 B 、 C . (1)求轨迹 M 的方程; (2)证明: ?BAD ? ?CAD ; (3)若点 D 到直线 AB 的距离等于

2 AD ,且△ ABC 的面积为 20,求直线 BC 的方程. 2

18. (广东省潮州 市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右 a 2 b2

顶点分别为 A(?2, 0), B (2, 0) ,离心率 e ?

3 .过该椭圆上任一点 P 作 PQ ? x 轴,垂足为 Q ,点 C 在 2

QP 的延长线上,且 | QP |?| PC | .
(1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程;

(3)设直线 AC ( C 点不同于 A, B )与直线 x ? 2 交于点 R , D 为线段 RB 的中点,试判断直线 CD 与曲 线 E 的位置关系,并证明你的结论.

广东省 13 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 9:圆锥曲线参考答案 一、选择题 1. A 2. A 3. D

4.

【解析】 抛物线的准线方程为 x ? -2, ,∴抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为 y ? 2 px( p ? 0)?
2

则其准线方程为 x ? ? 二、填空题 5.

p p ? ∴ ? ? ?2? 解得 p ? 4, ∴抛物线的标准方程为 y 2 ? 8x .故选 A . 2 2

10 ; 2

6. 7.

4 2
2 2 4 双曲线 x - y = 1 的右 焦点为 (5, 0) ,渐近线的方程为 y ? ? x ,所以所求直线方程为 y = 4 ( x - 5), 即 3 3 9 16

4 x - 3 y - 20 = 0 .
三、解答题 8.解:(Ⅰ)抛物线 C 的焦点为 E (?1, 0) ,它是题设椭圆的左焦点.离心率为 所以, b ? 2 .由 b 2 ? a 2 ? 12 求得 a ? 3 .

1 1 ? , b 2

因此,所求椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(*)

(Ⅱ)(1)椭圆的右焦点为 F (1, 0) ,过点 F 与 y 轴平行的直线显然与曲线 C 没有交点.设直线的斜率为

k,
① 若 k ? 0 ,则直线 y ? 0 过点 F (1, 0) 且与曲线 C 只有一个交点 (0, 0) ,此时直线

的方程为 y ? 0 ; ② 若 k ? 0 ,因直线过点 F (1, 0) ,故可设其方程为 y ? k ( x ? 1) ,将其代入

y 2 ? ?4 x 消去 y ,得 k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 .因为直线与曲线 C 只有一个交点 P ,所以判别式 4(k 2 ? 2) 2 ? 4k 2 ? k 2 ? 0 ,于是 k ? ?1 ,从而直线的方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 .因此,所求的直线
的方程为 y ? 0 或 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 . (2)由(1)可求出点 P 的坐标是 (0, 0) 或 (?1, 2) 或 (?1, ? 2) . ①若点 P 的坐标是 (0, 0) ,则 PF ? 1 .于是 S ?MPF ?

1 1 = ? 1? y ,从而 y ? ?1 ,代入(*)式联立: 2 2

? x2 y 2 ? x2 y 2 ? ?1 ? ? ?1 2 6 ? 或? 4 ,求得 x ? ? ,此时满足条件 的点 M 有 4 个: 3 3 ?4 3 ?y ?1 ? y ? ?1 ? ?
?2 6 ? ? 2 6 ? ?2 6 ? ? 2 6 ? . ? ? 3 , 1? , ? ? 3 , 1? , ? 3 , ? 1? , ? ? 3 , ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
②若点 P 的坐标是 (?1, 2) ,则 PF ? 2 2 ,点 M 到直线: y ? ? x ? 1 的距离是

x ? y ?1 2

,

于是有

x ? y ?1 1 1 1 ? S ?MPF ? ? 2 2 ? ? x ? y ? 1 ,从而 x ? y ? 1 ? ? , 2 2 2 2

? x2 y 2 ? x2 y 2 ? ?1 ?1 ? ? ? ?4 ?4 3 3 与 (*) 式 联 立 : ? 或 ? 解之,可求出满足条件的点 M 有 4 ?x ? y ?1 ? 1 ?x ? y ?1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? 2
个: ?

? 6 ? 57 9 ? 2 57 ? , ?, ? ? 7 14 ? ?

? 6 ? 57 9 ? 2 57 ? ? 11 15 ? ? 3? , ? ? , ? , ? ? , ? ?1, ? . ? ? ? 7 14 ? ? 2? 7 14 ? ?

③ 若点 P 的坐标是 (?1, ? 2) ,则 PF ? 2 2 ,点 M ( x, y ) 到直线: y ? x ? 1 的距离是

x ? y ?1 2

,于

是有

x ? y ?1 1 1 1 ? S ?MPF ? ? 2 2 ? ? x ? y ? 1 ,从而 x ? y ? 1 ? ? , 2 2 2 2

? x2 y 2 ? x2 y 2 ? ?1 ?1 ? ? ? ?4 ?4 3 3 与 (*) 式 联 立 : ? 或? ,解之,可求出满足条件的点 M 有 4 个: ?x ? y ?1 ? 1 ?x ? y ?1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? 2

? 6 ? 57 ?9 ? 2 57 ? , ? ?, ? ? 7 14 ? ?

? 6 ? 57 ?9 ? 2 57 ? ? 11 15 ? ? 3? , ? ? , ? , ? , ? ?1, ? ? . ? ? ? 7 14 ? ? 2? 7 14 ? ?

综合①②③,以上 12 个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点 M 共有 12 个.图上椭圆上的 12 个点即为所求.

9.

10.

11.解:(1)由椭圆方程得半焦距 c= a 2 ? (a 2 ? 1) ? 1

0 ( 0) 所以椭圆焦点为 F1 (?1,)   F2 1,
又抛物线 C 的焦点为 (

p ,0) 2

?

p ? 1  p ? 2, ? C:y 2 ? 4 x ,    2

∵ M ( x1 , y1 ) 在抛物线 C 上, ∴ y1 ? 4x1 ,直线 F1 M 的方程为 y ?
2

y1 ( x ? 1) x1 ? 1

代入抛物线 C 得 y12 ( x ? 1) 2 ? 4 x( x1 ? 1) 2 ,

即4 x1 ( x ? 1) 2 ? 4 x( x1 ? 1) 2
∵ F1M 与抛物线 C 相切,

? x1 x 2 ? ( x12 ? 1) x ? x1 ? 0,   

? ?=(x1 ? 1) 2 ? 4 x1 ? 0 ,
2 2

? x1 ? 1,  

∴ M、N 的坐标分别为(1,2)、(1,-2)

(2)直线 AB 的斜率为定值—1.

? y12 ? 4 x1 ? 2 2 证明如下:设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,? M (1, 2) ,A、B 在抛物线 y ? 4 x 上,? ? y2 ? 4 x2 ? 2 ?2 ? 4 ?1
由①-③得, k MA ?

① ② ③

y1 ? 2 4 ? x1 ? 1 y1 ? 2 y2 ? 2 4 ? x2 ? 1 y2 ? 2



由②-③得, k MB ?



因为 ?MPQ 是以 MP,MQ 为腰的等腰三角形,所以 k MA ? ? k MB

由 k MA

4 ? y1 ? 2 ? x ?1 ? ? y ? 2 ? 2 化简整理, ? ?kMB 得 ? 1 ? y2 ? 2 ? ? 4 ? x2 ? 1 y1 ? 2 ?

得?

? y1 y2 ? 2 y2 ? 2 y1 ? 4 ? ?4 x1 ? 4 ⑥ ? y1 y2 ? 2 y1 ? 2 y2 ? 4 ? ?4 x2 ? 4 ⑦

由 ⑥ - ⑦ 得: 4( y1 ? y2 ) ? ?4( x1 ? x2 )

?k ?

y1 ? y2 ?4 ? ? ?1 为定值 x1 ? x2 4

解法二:设 A(

y12 y2 , y1 ) , B( 2 , y2 ) 4 4

则 k AM ?

y1 ? 2 4 4 , k BM ? ? 2 y1 y1 ? 2 y2 ? 2 ?1 4

因为 ?MPQ 是以 MP,MQ 为腰的等腰三角形,所以 k MA ? ? k MB 即

4 4 ? ?0 y1 ? 2 y2 ? 2

所以

y1 ? y2 ? 4 ?0 ( y1 ? 2)( y2 ? 2)

所以,由 y1 ? y2 ? 4 ? 0 得 y1 ? y2 ? ?4 所以, k AB ?

y2 ? y1 4( y2 ? y1 ) 4 4 ? ?1. ? ? 2 2 ? 2 2 y2 y1 y2 ? y1 y1 ? y2 ?4 ? 4 4

所以,直线 AB 的斜率为定值,这个定值为 ?1. 12.解、(Ⅰ) 由题设可知; PM , PN 的斜率存在且不为 0,

y2 y y 2 x ? ? 1( y ? 0) ? ?? ? 所以 x ? 1 x ? 1 ,即
(Ⅱ)讨论如下: (1)当 ? ? 0 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点) (2)当 ? 1 ? ? ? 0 时,轨迹 C 为中心在原点,焦 点在 x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点) (3)当 ? ? ?1 时,轨迹 C 为以原点为圆心,1 为半径的圆(除去点(-1,0),(1,0)) (4)当 ? ? ?1 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴两个端点)

(Ⅲ)、当 ? ? 2 时,轨迹 C 的方程为

x2 ?

y2 ? 1( y ? 0) 2 ,显然定点 E、F 为其左右焦点.

0 假设存在这样的点 P,使得 ?EPF ? 120 ,记 ?EPF ? ? , PE ? m, PF ? n, EF ? 2 3 ,

那么在 ?EPF 中:

? m ? n ? 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn ? 4 ? 1 ? ?S ?EPF ? mn sin ? 2 ? 2 ?(2 3 ) ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos ? ?
mn ? 4 4 8 ? ? 0 1 ? cos ? 1 ? cos120 3

整理可得: 2mn(1 ? cos ? ) ? 8 ,所以

所以

S ?EPF ?

1 1 8 3 2 3 mn sin 120 0 ? ? ? ? 2 2 3 2 3 1 1 2 3 ? EF ? y P ? ? 2 3 ? y P ? 2 2 3
? 2? ?? ? 3? ?? ? 1( y ? 0) 2
2

又因为

S ?EPF ?

所以

yP ?

2 2 2 , yP ? ? , xP 3 故 3 代入椭圆的方程可得:

所以

xP ? ?

11 3 ,所以满足题意的点 P 有四个,坐标分别为

(

11 2 11 2 11 2 11 2 , ) (? , ) ( ,? ) ( ? ,? ) 3 3 , 3 3 , 3 3 , 3 3

13.

14.

解:(1)∵

p 1 ? OA cos 60? ? 2 ? ? 1 ,即 p ? 2 , 2 2
2

∴所求抛物线的方程为 y ? 4 x
2 2 ∴设圆的半径为 r,则 r ? OB ? 1 ? ? 2 ,∴圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 2 cos 60

(2) 设 G ? x1, y1 ? , H ? x2 , y2 ? ,由 OG ? OH ? 0 得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ∵ y1 ? 4 x1 , y2 ? 4 x2 ,∴ x1 x2 ? 16 ,
2 2

???? ????

∵ S?GOH ?

1 ???? 2 ???? 2 1 1 ???? ???? 1 2 2 2 2 OG OH ,∴ S?GOH ? OG OH ? ? x12 ? y12 ?? x2 ? y2 ? = ? x12 ? 4 x1 ?? x2 ? 4 x2 ? 4 4 2 4

=

1? 1 2 2 x x ? 4 x1 x2 ? x1 ? x2 ? ? 16 x1 x2 ? ? ?? x1 x2 ? ? 4 x1 x2 ? 2 x1 x2 ? 16 x1 x2 ? =256 ?? 1 2 ? ? 4? ? 4

∴ S?GOH ? 16 ,当且仅当 x1 ? x2 ? 2 时取等号, ∴ ?GOH 面积最小值为 16 (3) 设 P?x3 , y3 ?, Q?x4 , y4 ? 关于直线 m 对称,且 PQ 中点 D?x0 , y0 ? ∵
2 2 P?x3 , y3 ?, Q?x4 , y4 ? 在抛物线 C 上,∴ y3 ? 4x3 , y4 ? 4x4

两式相减得: ? y3 ? y4 ?? y3 ? y4 ? ? 4 ? x3 ? x4 ? ∴ y3 ? y4 ? 4 ?

x3 ? x4 4 ? ? ?4k ,∴ y0 ? ?2k y3 ? y4 kPQ

∵ D?x0 , y0 ? 在 m : y ? k ? x ?1?? k ? 0? 上 ∴ x0 ? ?1 ? 0 ,点 D?x0 , y0 ? 在抛物线外 ∴在抛物线 C 上不存在两点 P, Q 关于直线 m 对称 15. ⑴由题可知,圆心 C 到定点 F ?1, 0 ? 的距离与到定直线 x ? ?1 的距离相等 由抛物线定义知, C 的轨迹 C2 是以 F ?1, 0 ? 为焦点,直线 x ? ?1 为准线的抛物线 (确定“曲线是抛物线”1 分,说明抛物线特征 1 分) 所以动圆圆心 C 的轨迹 C2 的方程为 y ? 4 x
2

⑵解法 1、
m ?n ? 2 ? k ( 2 ? 4) m n ? 设 P(m, n) ,则 OP 中点为 ( , ) , 因为 O、P 两点关于直线 y ? k ( x ? 4) 对称,所以 ? ,即 2 2 ? n ? k ? ?1 ? m ?

? 8k 2 m? ? ?km ? n ? 8k ? 1 ? k 2 (中点 1 分,方程组 2 分,化简 1 分) ,解之得 ? ? ? m ? nk ? 0 ?n ? ? 8k ? 1? k2 ?

将其代入抛物线方程,得: (?

8k 2 8k 2 ) ? 4? ,所以 k 2 ? 1 1? k2 1? k2

? y ? k ( x ? 4) ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得: (b 2 ? a 2 ) x 2 ? 8a 2 x ? 16a 2 ? a 2 b 2 ? 0 ? 2 ?1 ? 2 b ?a

由 ? ? (?8a 2 ) 2 ? 4(b 2 ? a 2 )(16a 2 ? a 2 b 2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b 2 ? 16 , 注意到 b 2 ? a 2 ? 1 ,即 2a 2 ? 17 ,所以 a ?
34 ,即 2a ? 34 , 2

因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 .此时椭圆的方程为

x2 y 2 + ?1 17 15 2 2

解法 2、 设 P?

? m2 ? , m ? ,因为 O、P 两点关于直线对称,则 OM ? MP =4 , ? 4 ?
2

? m2 ? ? 4 ? ? m 2 ? 4 ,解之得 m ? ?4 即 ? ? 4 ?
即 P(4, ?4) ,根据对称性,不妨设点 P 在第四象限,且直线与抛物线交于 A, B .则 k AB ? ? 直线方程为 y ? x ? 4 (斜率 1 分,方程 1 分)
? y ? x?4 ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得: (b 2 ? a 2 ) x 2 ? 8a 2 x ? 16a 2 ? a 2 b 2 ? 0 ? 2 ?1 ? 2 b ?a

1 ? 1 ,于是 kOP

由 ? ? (?8a 2 ) 2 ? 4(b 2 ? a 2 )(16a 2 ? a 2 b 2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b 2 ? 16 , 注意到 b 2 ? a 2 ? 1 ,即 2a 2 ? 17 ,所以 a ?
34 ,即 2a ? 34 , 2

因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 . 此时椭圆的方程为

x2 y 2 + ?1 17 15 2 2

16.解:(1)由题意可设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a 2 b2
?a ? 2 , ?b ? 1

?c 3 ? ? ? 2 则 ?a , ? 2 ? 1 ?1 ? a 2 2b 2 ?

, 解的 ?

x2 ? y2 ? 1 所以,椭圆方程为 4
(2)由题意可知,直线的斜率存在且不为 0, 故可设直线的方程为 y ? kx ? m(m ? 0) , P ( x1, y1), Q ( x 2, y 2) ,

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4( m ? 1) ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
则 ? ? 64k b ? 16(1 ? 4k b )(b ? 1) ? 16(4k ? m ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 2

且 x1 ? x 2 ?

?8km 4m 2 ? 1 , x1 x 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2 2

故 y1 y 2 ? (kx1 ? m)(kx 2 ? m) ? k x1 x 2 ? km( x1 ? x 2) ? m . 因为直线 OP , PQ , OQ 的斜率依次成等比数列,

所以,

y 2 y1 k 2 x1 x 2 ? km( x1 ? x 2) ? m 2 ?8k 2 m 2 ? ? ? k 2 ,即 ? m2 ? 0 , 2 x 2 x1 x1 x 2 1 ? 4k
2

又 m ? 0 ,所以 k ?

1 1 ,即 k ? ? 4 2
2 2

由于直线 OP , OQ 的斜率存在,且△>0,得 0 ? m ? 2 且 m ? 1 . 设 d 为点 O 到直线的距离,则 S ?OPQ ?

1 1 d ? PQ ? m ? x1 ? x 2 ? m 2 (2 ? m 2 ) , 2 2

所以 S ?OPQ 的取值范围为 (0,1) 17. (本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识,考查运算求 解能力和推理论证能力等,本小题满分 14 分) 解:(1)方法 1:设动圆圆心为 ? x, y ? ,依题意得, x ? ? y ? 1? ? y ? 1
2 2

整理,得 x ? 4 y .所以轨迹 M 的方程为 x ? 4 y
2 2

方法 2:设动圆圆心为 P ,依题意得点 P 到定点 F ? 0,1? 的距离和点 P 到定直线 y ? ?1 的距离相等, 根据抛物线的定义可知,动点 P 的轨迹是抛物线 且其中定点 F ? 0,1? 为焦点,定直线 y ? ?1 为准线. 所以动圆圆心 P 的轨迹 M 的方程为 x ? 4 y
2

(2)由(1)得 x ? 4 y ,即 y ?
2

1 2 1 x ,则 y? ? x . 4 2

设点 D ? x0 ,

? ?

1 1 2? x0 ? ,由导数的几何意义知,直线的斜率为 k BC ? x0 2 4 ?
y C

1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? 由题意知点 A ? ? x0 , x0 2 ? .设点 C ? x1 , x12 ? , B ? x2 , x2 2 ? , 4 ? ? ? 4 ? ? 4 ?

则 k BC

1 2 1 2 x1 ? x2 x ?x 1 4 ?4 ? 1 2 ? x0 ,即 x1 ? x2 ? 2 x0 x1 ? x2 4 2

E A BO l D x

因为 k AC

1 2 1 2 1 2 1 2 x1 ? x0 x2 ? x0 x1 ? x0 x ?x 4 4 , k AB ? 4 ?4 ? ? 2 0 x1 ? x0 4 x2 ? x0 4

由于 k AC ? k AB ?

x1 ? x0 x2 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? 2 x0 ? ? ? 0 ,即 k AC ? ?k AB 4 4 4

所以 ?BAD ? ?CAD (3)方法 1:由点 D 到 AB 的距离等于

2 AD ,可知 ?BAD ? 45? 2
1 2 x0 ? ? ? x ? x0 ? . 4

不妨设点 C 在 AD 上方(如图),即 x2 ? x1 ,直线 AB 的方程为: y ?

1 2 ? ? y ? x0 ? ? ? x ? x0 ? , 由? 4 2 ? x ? 4 y. ?
解得点 B 的坐标为 ? x0 ? 4, 所以 AB ?

? ?

1 2 ? x0 ? 4 ? ? ? 4 ?

2 ? x0 ? 4 ? ? ? ? x0 ? ? 2 2 x0 ? 2 .

由(2)知 ?CAD ? ?BAD ? 45? ,同理可得 AC ? 2 2 x0 ? 2 所以△ ABC 的面积 S ? 解得 x0 ? ?3 当 x0 ? 3 时,点 B 的坐标为 ? ?1, 直线 BC 的方程为 y ?

1 ? 2 2 x0 ? 2 ? 2 2 x0 ? 2 ? 4 x0 2 ? 4 ? 20 , 2

? ?

3 1? ? , k BC ? , 2 4?

1 3 ? ? x ? 1? ,即 6 x ? 4 y ? 7 ? 0 4 2

当 x0 ? ?3 时,点 B 的坐标为 ? ?7, 直线 BC 的方程为 y ?

? ?

3 49 ? ? , k BC ? ? , 2 4 ?

49 3 ? ? ? x ? 7 ? ,即 6 x ? 4 y ? 7 ? 0 4 2

方法 2:由点 D 到 AB 的距离等于

2 AD ,可知 ?BAD ? 45? 2

由(2)知 ?CAD ? ?BAD ? 45? ,所以 ?CAB ? 90? ,即 AC ? AB . 由(2)知 k AC ?

x1 ? x0 x ? x0 , k AB ? 2 . 4 4

所以 k AC k AB ?

x1 ? x0 x2 ? x0 ? ? ?1 . 4 4
① ②

即 ? x1 ? x0 ?? x2 ? x0 ? ? ?16 . 由(2)知 x1 ? x2 ? 2 x0 .

不妨设点 C 在 AD 上 方(如图),即 x2 ? x1 ,由①、②解得 ?
2

? x1 ? x0 ? 4, ? x2 ? x0 ? 4.

因为 AB ?

1 1 2 ? x2 ? x0 ? ? ? x2 2 ? x0 2 ? ? 2 2 x0 ? 2 , ? ? 4 ?4 ?

同理 AC ? 2 2 x0 ? 2 以下同方法 1.

18.解析:(1)由题意可得 a ? 2 , e ? ∴ b ? a ? c ?1,
2 2 2

c 3 ,∴ c ? 3 , ? a 2

-zxxk

所以椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

? x0 ? x ? x ? x0 ? (2)设 C ( x, y ) , P( x0 , y0 ) ,由题意得 ? ,即 ? 1 , y0 ? x ? y ? 2 y0 ? ? 2

2 x0 x2 1 2 ? y0 ? 1,代入得 ? ( y)2 ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? 4 . 4 4 2

即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x ? y ? 4
2 2

(3)设 C (m, n) ,点 R 的坐标为 (2, t ) , ∵ A, C , R 三点共线,∴ AC // AR , 而 AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t (m ? 2) , ∴t ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

4n , m?2 4n 2n ) ,点 D 的坐标为 (2, ), m?2 m?2

∴点 R 的坐标为 (2,

∴直线 CD 的斜率为 k ?

n?

2n m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn , m?2 m2 ? 4 m2 ? 4

而 m2 ? n2 ? 4 ,∴ m2 ? 4 ? ?n2 , ∴k ?

mn m ?? , 2 ?n n
m ( x ? m) ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , n

∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ?

∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ? 所以直线 CD 与圆 O 相切

4 m ?n
2 2

?

4 ?2?r, 4


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