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甘肃省张掖市高台县第一中学2014届高三下学期一诊数学(理)试题

时间:2015-10-13


一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求) 1.已知集合 A ? {x || 2 x ? 1|? 3} ,集合 B ? {x | y ? A. (1, 2) B. (1, 2]
x ?1 } ,则 A ? (CR B) ? ( x?2



C. (1

, ??)

D. [1, 2] )

2.若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i |,则 z 的虚部为 ( A.-4 B.-
4 5

C.4

D.

4 5

| 1 ? ,且 a 与 b 的夹角为 60? ,当 | a ? xb | 取得最小值时,实数 x 的值为 3.若 | a | ?2,| b

( A.2

) B. ?2 C.1 D. ?1 ).

4.直线 xsinα +y+2=0 的倾斜角的取值范围是( A.[0,π )
? ?? C. ?0, ? ? 4?

? ? ? ? 3? ? B. ?0, ? ∪ ? , ? ? ? 4? ? 4 ?
? ? ? ?? ? D. ?0, ? ∪ ? , ? ? ? 4? ? 2 ?

5.一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示(单位: m ) ,则该几何体的体积 为( )
1 1 1 侧视图 1 1 1 俯视图

正视图

A. m3

7 3

B. m3

9 2

C. m3

7 2

D. m3

9 4

6.在三棱锥 A—BCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,△ABC、△ACD、△ADB 的 面积分别为
2 3 6 、 、 。则三棱锥 A—BCD 的外接球的体积为( 2 2 2



A. 6?

B. 2 6?

C. 3 6?

D. 4 6?

7.执行右图所示的程序框图(其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数) ,则输出的 S 值 为( )

A.7

B.6

C.5

D.4

? ? 2? x ? 1, ( x ? 0) 8.已知函数 f ( x) ? ? ,若方程 f ( x) ? x ? a 有且只有两个不相等的 f ( x ? 1), ( x ? 0) ? ?

实数根,则实数 a 的取值范围为 A、 ? ??,0? B、 ?0,1?
x2 a



) D、 ?0, ?? ? 。

C、 ? ??,1?
y2 ? 1 ( a,b>0) 的 b2

9.如图,A,F 分别是双曲线 C: 2 ?

左顶点、右焦点,过 F 的直线 l 与 C 的一条渐近 线垂直且与另一条渐近线和 y 轴分别交于 P,Q 两点.若 AP⊥AQ,则 C 的离心率是( A. 2 B. 3 C.
1 ? 13 4

) D.
1 ? 17 4

10.设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若
S11 =( S9

a6 9 ? , a5 11



) B.-1 C.2 D.

A.1

1 2

11.在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 ,点 P 是斜边 AB 上的一

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 个三等分点,则 CP ? CB ? CP ? CA ? (

) C. ?
9 4

A.0

B.

9 4

D.4

12.记实数 x1 , x2 ,? xn 中的最大数为 max?x1 , x2 ? xn ?,最小值为 min?x1 , x2 ? xn ?。 已 知 ?A B C的 三 边 边 长 为 a, b, c?a ? b ?? , 定 义 它 的 倾 斜 度 为
?a b c ? ?a b c ? l ? max? , , ? ? min? , , ? ,则 " l ? 1" 是“ ?ABC 为等边三角形”的( ?b c a ? ?b c a ?



A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

第Ⅱ卷

(90 分)

二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

? 3 13.已知 ? ? ( , ? ),sin ? ? , 则 tan ? = 2 5
14.已知 a ? b ,且 ab ? 1 ,则

. .
6

a2 ? b2 的最小值是 a?b

1 ? ? 15 . 若 等 比 数 列 {an } 的 第 5 项 是 二 项 式 ? x ? ? 展 开 式 的 常 数 项 , 则 3x ? ?

a3a7 ?

. .

16.已知函数 f ( x) ? ln x ? 2 x , 若 f ( x 2 ? 4) ? 2 , 则实数 x 的取值范围

三、解答题:本大题共 5 小题,每小题 12 分,共 60 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 17. (本小題满分 12 分) 设函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3sin x ? cos x ? m .其中 m, x ? R (1)求 f ( x) 的最小正周期;

? 1 7 (2) 当 x ? [0, ] 时, 求实数 m 的值, 使函数 f ( x) 的值域恰为 [ , ], 并求此时 f ( x) 2 2 2
在 R 上的对称中心.

18. (本小題满分 12 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,PA ? PB ? AB ? 2 ,BC ? 3 ,
?ABC ? 90 °,平面 PAB ? 平面 ABC , D 、 E 分别为 AB 、 AC 中点.

(1)求证: DE ∥平面 PBC ; (2)求证: AB ? PE ; (3)求二面角 A ? PB ? E 的大小.

19.(本小題满分 12 分)为了参加 2013 年市级高中篮球比 赛,该市的某区决定从四所高中学校选出 12 人组成男子篮 球队代表所在区参赛,队员来源人数如下表: 学校 人数 学校甲 学校乙 学校丙 学校丁

4

4

2

2

该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言. (Ⅰ)求这两名队员来自同一学校的概率; (Ⅱ)设选出的两名队员中来自学校甲的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数 学期望 E? .

x2 y 2 20.(本小題满分 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别 a b

为 F1 (? 3,0) 、 F2 ( 3,0) ,椭圆上的点 P 满足 ?PF1F2 ? 90? ,且△ PF1F2 的面积为

S?PF1F2 ?

3 . 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A 、 B ,过点 Q(1, 0) 的动直线 l 与椭圆 C 相 交于 M 、N 两点, 直线 AN 与直线 x ? 4 的交点为 R , 证明: 点 R 总在直线 BM 上.

21.(本小題满分 12 分)已知函数

,其中 a 是实数,设

A(x1,f(x1) ) ,B(x2,f(x2) )为该函数图象上的点,且 x1<x2. (I)指出函数 f(x)的单调区间; (II)若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直,且 x2<0,求 x2﹣x1 的最小值; (III)若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线重合,求 a 的取值范围. 四、选做题: 22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,在 RtΔ ABC 中,∠C=90°,BE 平分∠ABC,交 AC 于点 E, 点 D 在 AB 上,DE⊥EB. (Ⅰ)求证:AC 是Δ BDE 的外接圆的切线; (Ⅱ)若 AD= 2 3 ,AE=6,求 EC 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? x ? 2cos t 已知动点 P ,Q 都在曲线 C: ? (β 为参数)上,对应参数分别为 t ? ? ? y ? 2sin t
与 t ? 2? (0< ? <2π ) ,M 为 PQ 的中点。 (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程 (Ⅱ) 将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原 点。 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | , g ( x) ? x ? 3 . (Ⅰ)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集;

a 1 (Ⅱ)设 a ? ?1 ,且当 x ? [ ? , ) 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围。 2 2

又? c ? 3,?b ? a 2 ? c 2 ? 1

3分

若 k ? 0 ,显然成立,若 k ? 0 , 即证明 ( x1 ? 1)( x2 ? 2) ? 3( x2 ? 1)( x1 ? 2) ? 0 ∵ ( x1 ? 1)( x2 ? 2) ? 3( x2 ? 1)( x1 ? 2) ? ?2 x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 8

?

?2(4k 2 ? 4) 5 ? 8k 2 ? ? 8 ? 0 成立, 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

11 分 12 分

∴ B, M , R 共线,即点 R 总在直线 BM 上.

21. (I)f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递减,在(﹣1,0)上单调递增(II)1 (III) (﹣1﹣ln2,+∞)

23.解析:(Ⅰ)由题意有, P(2cos ? , 2sin ? ) , Q(2cos 2? , 2sin 2? ) , 因此 M (cos ? ? cos 2? ,sin ? ? sin 2? ) ,

? x ? cos ? ? cos 2? M 的轨迹的参数方程为 ? ,( ? 为参数, 0 ? ? ? 2? ). ? y ? sin ? ? sin 2?
(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离为
d ? x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ? (0 ? ? ? 2? ) ,

当 ? ? ? 时, d ? 0 ,故 M 的轨迹过坐标原点.
1 ? ? ?5 x , x ? 2 ? 1 ? 24.(1)当 a ? ?2 时,令 y ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? x ? 3 ? ?? x ? 2, ? x ? 1 ,作出函数 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1 ? ?

图像可知,当 x ? (0, 2) 时, y ? 0 ,故原不等式的解集为 x 0 ? x ? 2? ;
? a 1? ( 2 )依题意,原不等式化为 1 ? a ? x ? 3 ,故 x ? a ? 2 对 ? ? , ? 都成立,故 ? 2 2?
? a 4 4? ? ? a ? 2 ,故 a ? ,故 a 的取值范围是 ? ?1, ? . 2 3 3? ?

?


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