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教案5 两点间距离公式


张家口市第一中学 2011—2012 学年度高一年级数学教案

主备人:李粉

王彩霞

班级

姓名

教案 5

两点间距离公式

教学目标: 1.理解两点间距离公式的推到方法,并能用其解决实际问题 2.初步体会坐标法解决平面几何问题的思

想, 掌握运用坐标法证 明简单平面几何问题的步骤、强化能力 3.进一步体会数形结合的思想 教学重点:两点间距离公式的推导及应用 教学难点:坐标法解决平面几何问题 教学过程: 一、两点间距离公式的推导 思考:已知平面坐标系内两点 P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y 2 ) ,如何求 1 两点间距离 | P P2 | ? 1 法一、平面几何法

例 1.已知两点 A(?1,2) , B(2, 7 ) ① 求 | AB | ;② x 轴上求一点 P 使得 | PA |?| PB | ,并求 | PA |

三、两点间距离公式的综合运用 1.直线 y ? 2 x 与抛物线 y ? ? x 2 ? 2x ? 1 相交于不同的两个点 A、B ① 求 A、B 中点 M 的坐标;② 求 | AB |

练习 1.已知点 A(a,?5) 与 B(0,10) 间的距离是 17,求 a

| P1 P2 | = | P1Q | 2 ? | P2 Q | 2
? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

二、坐标法解决平面几何问题 例 2.求证: 平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和 法一、向量法(参看必修四 p109 例 1) 法二、坐标法 平行四边形 ABCD,如图所示建立直角坐标系、并设出四个顶 点的坐标,则有:

2.已知 A(5,2a ? 1) , B(a ? 1, a ? 4) ,当 | AB | 取最小值时, 求实数 a 的值

| CD | 2 ?| AB | 2 ? a 2 , | BC |2 ?| AD |2 ? b 2 ? c 2

法二、向量法 知 P P2 ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) 1

| AC | 2 ? (a ? b) 2 ? c 2 | BD | 2 ? (b ? a) 2 ? c 2 | CD |2 ? | AB |2 ? | BC |2 ? | AD |2 ? 2a 2 ? 2b 2 ? 2c 2

3.函数 y ?

( x ? 1) 2 ? 1 ? ( x ? 3) 2 ? 4 的最小值

| P P2 | 2 ? P1 P2 ? P1 P2 ? P1 P2 ? ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 1
则 | P P2 | ? 1

2

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

| AC | 2 ? | BD | 2 ? 2a 2 ? 2b 2 ? 2c 2 ,
则平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和 (参看同学们的建系、设点的方式,感受以上设法的优点) 小结:以上解决问题的方法称为坐标法,体现了数形结合的思 想。用建立直角坐标系的方法解决平面几何问题的一般步骤: 一、建系、设点(的坐标) 二、进行有关代数运算 三、将代数运算结果翻译成几何关系 其中,建立恰当的坐标系非常关键,一个好的坐标系往往能减 少运算量。

结论: 平面坐标系内两点 P ( x1 , y1 ) 、P2 ( x2 , y 2 ) , | P P2 | 为: 则 1 1

| P1 P2 | ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
特别的,原点 O(0,0) 与任一点 P( x, y) 的距离为:

| OP |?

x2 ? y2


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