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二次函数系数a、b、c与图像的关系----精选练习题

时间:2014-10-28



二次函数系数 a、b、c 与图像的关系 知识要点 二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号的确定: (1)a 由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则 a>0;否则 a<0. (2)b 由对称轴和 a 的符号确定:由对称轴公式 x= 判断符号. (3)c 由抛物线与 y 轴的交点确定:交点在 y 轴正半轴,则 c>0;否则 c<0. (4)b2-4ac 的符号由抛物线与 x 轴交点的个数确定:2 个交点,b2-4ac>0;1 个交点,b2-4ac=0;没有交点,b2-4ac<0. (5)当 x=1 时,可确定 a+b+c 的符号,当 x=-1 时,可确定 a-b+c 的符号. (6)由对称轴公式 x= ,可确定 2a+b 的符号. A.1 个 B .2 个 C .3 个 2 4. (2014?襄城区模拟)函数 y=x +bx+c 与 y=x 的 图象如图,有以下结论: 2 ① b ﹣4c<0;② c﹣b+1=0;③ 3b+c+6=0;④ 当 1<x<3 2 时,x +(b﹣1)x+c<0. 其中正确结论的个数为( ) D.4 个

一.选择题(共 9 小题) 2 1. (2014?威海)已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0) 的图象如图,则下列说法: ① c=0;② 该抛物线的对称轴是直线 x=﹣1;③ 当 x=1 2 时,y=2a;④ am +bm+a>0(m≠﹣1) . 其中正确的个数是( )

A.1 B .2 C .3 2 5. (2014?宜城市模拟)如图是二次函数 y=ax +bx+c 图 象的一部分,其对称轴为 x=﹣1,且过点(﹣3,0)下 列说法: ① abc<0; ② 2a﹣b=0; ③ 4a+2b+c<0; ④ 若 (﹣5,y1) , (2, y2)是抛物线上的两点,则 y1>y2. 其中说法正确的是( )

D.4

A.1 B.2 C.3 2 2. (2014?仙游县二模)已知二次函数 y=ax +bx+c (a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:① a+b+c<0; ② a﹣b+c<0;③ b+2a<0;④ abc>0.其中所有正确结论 的序号是( )

D.4

② ③ ③ ④ ② ④ A.① B .② C .② D.① 2 6. (2014?莆田质检)如图,二次函数 y=x +(2﹣m)x+m﹣3 的图象交 y 轴于负半轴,对称轴在 y 轴的右侧,则 m 的取值 范围是( )

④ ③ ④ A.③ B.② C.① 2 3. (2014?南阳二模)二次函数 y=ax +bx+c 的图象 如图所示,那么关于此二次函数的下列四个结论: ① a<0;② c>0;③ b ﹣4ac>0;④ <0 中,正确的结 论有( )
2

② ③ D.①

A.m>2 B.m<3 C.m>3 D.2<m<3 2 7. (2014?玉林一模)如图是二次函数 y=ax +bx+c 图象 的一部分,图象过点 A(﹣3,0) ,对称轴为 x=﹣1.给 出四个结论: 2 ① b >4ac;② 2a+b=0;③ 3a+c=0;④ a+b+c=0. 其中正确结论的个数是( )

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A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2 8. (2014?乐山市中区模拟)如图,抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴交于点 A(﹣1,0) ,顶点坐标为(1,n) ,与 y 轴的交点在(0,2) 、 (0,3)之间(包含端点) .有下 列结论: ① 当 x>3 时,y<0;② 3a+b>0;③ ﹣1≤a≤﹣ ;④ ≤n≤4. 其中正确的是( )

② ④ ③ ③ ④ A.① B.③ C.① D.① 2 9. (2014?齐齐哈尔二模)已知二次函数 y=ax +bx+c(a>0)的图象与 x 轴 交于点(﹣1,0) , (x1,0) ,且 1<x1<2,下列结论正确的个数为( ) ① b<0;② c<0;③ a+c<0;④ 4a﹣2b+c>0. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10、 (2011?重庆)已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置 如图所示,则下列结论中,正确的是( ) A、a>0 B、b<0 C、c<0 D、a+b+c>0

11、 (2011?雅安) 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图, 其对称轴 x=-1,给出下列结果①b2>4ac;②abc>0;③ 2a+b=0 ;④ a+b+c > 0 ;⑤ a-b+c < 0 ,则正确的结论是 ( ) A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤

12、 (2011?孝感)如图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图 象与 y 轴正半轴相交,其顶点坐标为( 12,1) , 2 下列结论: ①ac<0; ②a+b=0; ③4ac-b =4a; ④a+b+c <0.其中正确结论的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4
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答案
一.选择题(共 9 小题) 2 1. (2014?威海)已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图,则下列说法: 2 ① c=0;② 该抛物线的对称轴是直线 x=﹣1;③ 当 x=1 时,y=2a;④ am +bm+a>0 (m≠﹣1) . 其中正确的个数是( )

x=﹣1 对应的函数值为 y=a﹣b+c, 又∵ x=﹣1 时函数取得最小值, 2 2 ∴ a﹣b+c<am +bm+c,即 a﹣b<am +bm, ∵ b=2a, 2 ∴ am +bm+a>0(m≠﹣1) . (故④ 正确) . 故选:C. 点 本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)系 评: 数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定. 2. (2014?仙游县二模)已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,给 出以下结论:① a+b+c<0;② a﹣b+c<0;③ b+2a<0;④ abc>0.其中所有正确结 论的序号是( )
2

A.1 考 点: 分 析: 解 答:

B.2 二次函数图象与系数的关系.
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C.3

D.4

④ A.③ 由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系, 然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 解:抛物线与 y 轴交于原点, c=0, (故① 正确) ; 该抛物线的对称轴是: 直线 x=﹣1, (故② 正确) ; 当 x=1 时,y=a+b+c ∵ 对称轴是直线 x=﹣1, ∴ ﹣b/2a=﹣1,b=2a, 又∵ c=0, ∴ y=3a, (故③ 错误) ; 2 x=m 对应的函数值为 y=am +bm+c,
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③ B .②
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④ C .①

② ③ D.①



考 点: 专 题: 分 析:

二次函数图象与系数的关系. 数形结合.

由抛物线的开口方向判断 a 的符号,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符 号,然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结 论进行判断. 解 解:① 当 x=1 时,y=a+b+c=0,故① 错误; 答: ② 当 x=﹣1 时,图象与 x 轴交点负半轴明显大于﹣1, ∴ y=a﹣b+c<0, 故② 正确; ③ 由抛物线的开口向下知 a<0, ∵ 对称轴为 0<x=﹣ <1,

∴ 2a+b<0, 故③ 正确; ④ 对称轴为 x=﹣ >0,a<0

∴ a、b 异号,即 b>0, 由图知抛物线与 y 轴交于正半轴,∴ c>0 ∴ abc<0, 故④ 错误; ∴ 正确结论的序号为② ③ . 故选:B. 点 二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号的确定: 评: (1)a 由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则 a>0;否则 a<0; (2)b 由对称轴和 a 的符号确定:由对称轴公式 x=﹣ 判断符号;

对所得结论进行判断. 解 解:① ∵ 图象开口向下,∴ a<0;故本选项正确; 答: ② ∵ 该二次函数的图象与 y 轴交于正半轴,∴ c>0;故本选项正确; 2 ③ ∵ 二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有两个不相同交点,∴ 根的判别式 2 △ =b ﹣4ac>0;故本选项正确; ④ ∵ 对称轴 x=﹣ >0,∴ <0;故本选项正确;

综上所述,正确的结论有 4 个. 故选 D. 点 本题主要考查了二次函数的图象和性质,解答本题关键是掌握二次函数 评: y=ax2+bx+c 系数符号的确定,做题时要注意数形结合思想的运用,同学 们加强训练即可掌握,属于基础题. 4. (2014?襄城区模拟)函数 y=x +bx+c 与 y=x 的图象如图,有以下结论: 2 2 ① b ﹣4c<0;② c﹣b+1=0;③ 3b+c+6=0;④ 当 1<x<3 时,x +(b﹣1)x+c<0. 其中正确结论的个数为( )
2

(3)c 由抛物线与 y 轴的交点确定:交点在 y 轴正半轴,则 c>0;否则 c<0; (4)当 x=1 时,可以确定 y=a+b+c 的值;当 x=﹣1 时,可以确定 y=a﹣ b+c 的值. 3. (2014?南阳二模)二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,那么关于此二次 函数的下列四个结论: ① a<0;② c>0;③ b ﹣4ac>0;④ <0 中,正确的结论有(
2 2

) A.1 B .2
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C .3

D.4

A.1 个 考 点: 专 题: 分 析:

B.2 个
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C.3 个

D.4 个

二次函数图象与系数的关系. 数形结合.

由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系,然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而
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考 二次函数图象与系数的关系. 点: 分 由函数 y=x2+bx+c 与 x 轴无交点,可得 b2﹣4c<0;当 x=﹣1 时,y=1﹣ 析: b+c>0;当 x=3 时,y=9+3b+c=3;当 1<x<3 时,二次函数值小于一次 2 函数值,可得 x +bx+c<x,继而可求得答案. 2 解 解:∵ 函数 y=x +bx+c 与 x 轴无交点, 2 答: ∴ b ﹣4ac<0; 故① 正确; 当 x=﹣1 时,y=1﹣b+c>0, 故② 错误; ∵ 当 x=3 时,y=9+3b+c=3,

∴ 3b+c+6=0; ③ 正确; ∵ 当 1<x<3 时,二次函数值小于一次函数值, 2 ∴ x +bx+c<x, 2 ∴ x +(b﹣1)x+c<0. 故④ 正确. 故选 C. 点 主要考查图象与二次函数系数之间的关系.此题难度适中,注意掌握数 评: 形结合思想的应用. 5. (2014?宜城市模拟)如图是二次函数 y=ax +bx+c 图象的一部分,其对称轴 为 x=﹣1,且过点(﹣3,0)下列说法: ① abc<0;② 2a﹣b=0;③ 4a+2b+c<0;④ 若(﹣5,y1) , (2,y2)是抛物线上的 两点,则 y1>y2. 其中说法正确的是( )
2

∵ 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方, ∴ c<0, ∴ abc<0,所以① 正确; ∵ x=2 时,y>0, ∴ 4a+2b+c>0,所以③ 错误; ∵ 点(﹣5,y1)离对称轴要比点(2,y2)离对称轴要远, ∴ y1>y2,所以④ 正确. 故选 D. 点 本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) , 评: 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小,当 a>0 时,抛物线向上开 口;当 a<0 时,抛物线向下开口;一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决 定对称轴的位置:当 a 与 b 同号时(即 ab>0) ,对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 ab<0) ,对称轴在 y 轴右. (简称:左同右异) .抛物线 2 与 y 轴交于(0,c) .抛物线与 x 轴交点个数:△ =b ﹣4ac>0 时,抛物线 2 2 与 x 轴有 2 个交点;△ =b ﹣4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点;△ =b ﹣4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点. 6. (2014?莆田质检)如图,二次函数 y=x +(2﹣m)x+m﹣3 的图象交 y 轴于 负半轴,对称轴在 y 轴的右侧,则 m 的取值范围是( )
2

② A.①

③ B.②
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③ ④ C.②

② ④ D.①

考 二次函数图象与系数的关系. 点: 分 根据抛物线开口方向得到 a>0,根据抛物线的对称轴得 b=2a>0,则 2a 析: ﹣b=0,则可对② 进行判断;根据抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方得到 c <0,则 abc<0,于是可对① 进行判断;由于 x=﹣2 时,y<0,则得到 4a ﹣2b+c<0,则可对③ 进行判断;通过点(﹣5,y1)和点(2,y2)离对称 轴的远近对④ 进行判断. 解 解:∵ 抛物线开口向上, 答: ∴ a>0, ∵ 抛物线对称轴为直线 x=﹣ =﹣1,
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A.m>2

B.m<3
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C.m>3

D.2<m<3

∴ b=2a>0,则 2a﹣b=0,所以② 正确;

考 二次函数图象与系数的关系. 点: 分 由于二次函数的对称轴在 y 轴右侧,根据对称轴的公式即可得到关于 m 析: 的不等式,由图象交 y 轴于负半轴也可得到关于 m 的不等式,再求两个 不等式的公共部分即可得解. 2 解 解:∵ 二次函数 y=x +(2﹣m)x+m﹣3 的图象交 y 轴于负半轴, 答: ∴ m﹣3<0, 解得 m<3,

∵ 对称轴在 y 轴的右侧, ∴ x= ,

解得 m>2, ∴ 2<m<3. 故选:D. 点 此题主要考查了二次函数的性质,解题的关键是利用对称轴的公式以及 评: 图象与 y 轴的交点解决问题. 7. (2014?玉林一模)如图是二次函数 y=ax +bx+c 图象的一部分,图象过点 A (﹣3,0) ,对称轴为 x=﹣1.给出四个结论: 2 ① b >4ac;② 2a+b=0;③ 3a+c=0;④ a+b+c=0. 其中正确结论的个数是( )
2

∴ 9a﹣3b+c=0,2a=b, 所以 9a﹣6a+c=0,c=﹣3a,③ 正确; ∵ 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上, ∴ c>0 由图象可知:当 x=1 时 y=0, ∴ a+b+c=0,④ 正确. 故选 C. 点 考查了二次函数图象与系数的关系,解答本题关键是掌握二次函数 评: y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴 的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定. 8. (2014?乐山市中区模拟)如图,抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴交于点 A(﹣1, 0) ,顶点坐标为(1,n) ,与 y 轴的交点在(0,2) 、 (0,3)之间(包含端点) .有下列结论: ① 当 x>3 时,y<0;② 3a+b>0;③ ﹣1≤a≤﹣ ;④ ≤n≤4. 其中正确的是( )
2

A.1 个

B.2 个
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C.3 个

D.4 个

考 二次函数图象与系数的关系. 点: 分 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 析: 与 0 的关系,然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而 对所得结论进行判断. 解 解:∵ 抛物线的开口方向向下, 答: ∴ a<0; ∵ 抛物线与 x 轴有两个交点, 2 2 ∴ b ﹣4ac>0,即 b >4ac,① 正确; 由图象可知:对称轴 x= ∴ 2a=b,2a+b=4a, ∵ a≠0, ∴ 2a+b≠0,② 错误; ∵ 图象过点 A(﹣3,0) ,
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② A.①

④ B .③
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③ C .①

③ ④ D.①

=﹣1,

考 二次函数图象与系数的关系. 点: 分 ① 由抛物线的对称轴为直线 x=1,一个交点 A(﹣1,0) ,得到另一个交点 析: 坐标,利用图象即可对于选项① 作出判断; ② 根据抛物线开口方向判定 a 的符号,由对称轴方程求得 b 与 a 的关系是 b=﹣2a,将其代入(3a+b) ,并判定其符号; ③ 根据两根之积 =﹣3,得到 a= 的性质来求 a 的取值范围; ,然后根据 c 的取值范围利用不等式

④ 把顶点坐标代入函数解析式得到 n=a+b+c= c,利用 c 的取值范围可以 求得 n 的取值范围. 2 解 解: ① ∵ 抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴交于点 A (﹣1, 0) , 对称轴直线是 x=1, 答: ∴ 该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是(3,0) , ∴ 根据图示知,当 x>3 时,y<0. 故① 正确; ② 根据图示知,抛物线开口方向向下,则 a<0. ∵ 对称轴 x= =1,

9. (2014?齐齐哈尔二模)已知二次函数 y=ax +bx+c(a>0)的图象与 x 轴交 于点(﹣1,0) , (x1,0) ,且 1<x1<2,下列结论正确的个数为( ) ① b<0;② c<0;③ a+c<0;④ 4a﹣2b+c>0. A.1 个 B .2 个 C .3 个 D.4 个 考 二次函数图象与系数的关系. 点: 分 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 析: 与 0 的关系,然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而 对所得结论进行判断. 2 解 解:① ∵ y=ax +bx+c(a>0)的图象与 x 轴交于点(﹣1,0) , (x1,0) ,且 答: 1<x1<2, ∴ 对称轴在 y 轴的右侧,
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2

∴ b=﹣2a, ∴ 3a+b=3a﹣2a=a<0,即 3a+b<0. 故② 错误; ③ ∵ 抛物线与 x 轴的两个交点坐标分别是(﹣1,0) , (3,0) , ∴ ﹣1×3=﹣3, =﹣3,则 a= .

即:﹣

>0,

∵ 抛物线与 y 轴的交点在(0,2) 、 (0,3)之间(包含端点) , ∴ 2≤c≤3, ∴ ﹣1≤ ≤ ,即﹣1≤a≤ .

故③ 正确; ④ 根据题意知,a= ∴ b=﹣2a= , , =1,

∴ n=a+b+c= c. ∵ 2≤c≤3, ≤ ≤4, ≤n≤4.

故④ 正确. 综上所述,正确的说法有① ③ ④ . 故选 D. 点 本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号 评: 由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的 个数确定.
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∵ a>0 ∴ b<0,故① 正确; ② 显然函数图象与 y 轴交于负半轴, ∴ c<0 正确; 2 ③ ∵ 二次函数 y=ax +bx+c(a>0)的图象与 x 轴交于点(﹣1,0) , ∴ a﹣b+c=0, 即 a+c=b, ∵ b<0, ∴ a+c<0 正确; 2 ④ ∵ 二次函数 y=ax +bx+c(a>0)的图象与 x 轴交于点(﹣1,0) ,且 a> 0, ∴ 当 x=﹣2 时,y=4a﹣2b+c>0, 故④ 正确, 故选 D. 点 主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求 2a 与 评: b 的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.


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