2复合函数学生版

黄冈教育 周俊成
教 师 姓 名 学 科 阶 段 课 程 名 称

HG-005 个性化教案

同学个性化教学设计方案
学生姓名

赵映雄

周俊成

备 课 时 间:12.12

数学

年级

高一

教材版本

必修 1

第＿＿章（单元）第＿＿节 第（ 6 ）课时 共（ 2 ）课时

□观察期

第（ 2 ）周

□维护期

教师课时统计

复合函数问题

课时计划

第（ 2 ）课时 共（ 2 ）课时

上课时间

12.16

教 学 目 标

同步教学知识内容

个性化学习问题解决

教 学 重 点

复合函数的定义域及单调性的理解.

教 学 难 点

如何理解复合函数的定义域及分类思想.

教师活动

学生活动

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教

HG-005 个性化教案

高一函数部分 复合函数问题
一、 复合函数定义： 设 y=f(u)的定义域为 A， u=g(x)的值域为 B， A ? B， y 关于 x 函数的 y=f 若 则 ［g(x)］ 叫做函数 f 与 g 的复合函数，u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题： (1)、已知 f ( x ) 的定义域，求 f ? g( x)? 的定义域 思路：设函数 f ( x ) 的定义域为 D，即 x ?D ，所以 f 的作用范围为 D，又 f 对 g( x) 作用，作用范 围不变，所以 g ( x) ? D ，解得 x ?E ，E 为 f ?g( x)? 的定义域。 例 1. 设函数 f ( u) 的定义域为（0，1） ，则函数 f (ln x) 的定义域为_____________。 例 2. 若函数 f ( x ) ?

学

过

程

1 ，则函数 f ? f ( x)? 的定义域为______________。 x ?1

（2） 、已知 f ? g( x)? 的定义域，求 f ( x ) 的定义域 思路：设 f ? g( x)? 的定义域为 D，即 x ?D ，由此得 g( x) ? E ，所以 f 的作用范围为 E，又 f 对 x 作用， 作用范围不变，所以 x ? E，E 为 f ( x ) 的定义域。 例 3. 已知 f (3 ? 2 x) 的定义域为 x ? ?1，2 ，则函数 f ( x ) 的定义域为_________。 解析： f (3 ? 2 x) 的定义域为 ?1，2 ，即 x ? ?1，2 ，由此得 3 ? 2 x ? ?1，5 所以 f 的作用范围为 ?1，5 ，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以 x ? ?1，5 即函数 f ( x ) 的定义域为 ?1，5

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

x2 例 4. 已知 f ( x ? 4) ? lg 2 ，则函数 f ( x ) 的定义域为______________。 x ?8
2

（3） 、已知 f ? g( x)? 的定义域，求 f ?h( x)? 的定义域 思路：设 f ? g( x)? 的定义域为 D，即 x ?D ，由此得 g( x) ? E ， f 的作用范围为 E，又 f 对 h( x ) 作用， 作用范围不变，所以 h( x ) ? E ，解得 x ?F ，F 为 f ?h( x)? 的定义域。
x 例 5. 若函数 f (2 ) 的定义域为 ?1，1 ，则 f (log 2 x) 的定义域为____________。

?

?

评注：函数定义域是自变量 x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是 f 的作用范围， f 的作用对象可以变，但 f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”

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的感觉，值得大家探讨。 （二）同步练习：
2 1、 已知函数 f ( x ) 的定义域为 [0, 1] ，求函数 f ( x ) 的定义域。

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2、 已知函数 f (3 ? 2x ) 的定义域为 [?3, 3] ，求 f ( x ) 的定义域。 3、 已知函数 y ? f ( x ? 2) 的定义域为 (?1, 0) ，求 f (| 2x ? 1 | ) 的定义域。

4、设 f ? x ? ? lg

2? x ? x? ?2? ，则 f ? ? ? f ? ? 的定义域为（ 2? x ?2? ? x?
B. ?? 4,?1? ? ?1,4? D . ?? 4,?2? ? ?2,4?

）

A.

?? 4,0? ? ?0,4?

C. ?? 2,?1? ? ?1,2?

5、已知函数 f (x) 的定义域为 x ? (? , ) ，求 g ( x) ? f (ax) ? f ( )(a ? 0) 的定义域。

1 3 2 2

x a

三、复合函数单调性问题

（1）引理证明
已知函数 y ? f ( g ( x)) .若 u ? g (x) 在区间 (a, b ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数 y ? f (u ) 在区 间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数 y ? f ( g ( x)) 在区间 (a, b ）上是增函数. 证明：在区间 (a, b ）内任取两个数 x1 , x 2 ，使 a ? x1 ? x2 ? b 因为 u ? g (x) 在区间 (a, b ）上是减函数，所以 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,记 u1 ? g ( x1 ) , u2 ? g ( x2 ) 即

u1 ? u2,且u1 , u2 ? (c, d )
因为函数 y ? f (u ) 在区间(c,d)上是减函数，所以 f (u1 ) ? f (u 2 ) ,即 f ( g ( x1 )) ? f ( g ( x2 )) ， 故函数 y ? f ( g ( x)) 在区间 (a, b ）上是增函数. （2） ．复合函数单调性的判断 复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

y ? f (u )
u ? g (x)
增 ↗

增 ↗ 减 ↘ 增 ↗

减 ↘ 减 ↘

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y ? f ( g ( x))
增 ↗ 减 ↘

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减 ↘ 增 ↗

以上规律还可总结为： “同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数 y ? f ( g ( x)) 的单调性判断步骤： ⅰ 确定函数的定义域； ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数： y ? f (u ) 与 u ? g (x) 。 ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性； ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数

y ? f ( g ( x)) 为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函
数），则复合后的函数 y ? f ( g ( x)) 为减函数。 （4）例题演练 1、求函数 y ? log1 ( x ? 2 x ? 3) 的单调区间，并用单调定义给予证明
2 2
王新敞
奎屯 新疆

2、讨论函数 f (x) ? loga(3x2 ? 2x ? 1) 的单调性.

3、.已知 y= loga (2- a )在［0，1］上是 x 的减函数，求 a 的取值范围.

x

（5）同步练习：
1．函数 y＝ log 1 （x2－3x＋2）的单调递减区间是（
2

）

A． （－∞，1） C． （－∞，

B． （2，＋∞） D． （

3 ） 2

3 ，＋∞） 2

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2 找出下列函数的单调区间. （1） y ? a?x
2 ?3x ? 2

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(a ? 1) ；

（2） y ? 2

?x2 ?2x?3

.

3、讨论 y ? loga (a x ? 1), (a ? 0, 且a ? 0) 的单调性。

4．求函数 y＝ log1 （x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．
3

变式练习 一、选择题

1 1．函数 f（x）＝ log 1 ( x－ ) 的定义域是（
2

） B． （2，＋∞）

A． （1，＋∞） C． （－∞，2）

， D． (1 2]
）

2．函数 y＝ log 1 （x2－3x＋2）的单调递减区间是（
2

A． （－∞，1） C． （－∞，

B． （2，＋∞） D． （

3 ） 2

3 ，＋∞） 2
）

3．若 2 lg （x－2y）＝ lg x＋ lg y，则 A．4 C．1 或 4

y 的值为（ x
B．1 或 D．

1 4

1 4
）

4．若定义在区间（－1，0）内的函数 f（x）＝ log2 a （x＋1）满足 f（x）＞0，则 a 的取值范围为（ A． （0， C． （

1 ） 2

B． （0，1） D． （0，＋∞）

1 ，＋∞） 2

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5．函数 y＝ lg （

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） B．x 轴对称 D．直线 y＝x 对称

2 －1）的图象关于（ 1－ x

A．y 轴对称 C．原点对称 二、填空题

6．已知 y＝ loga （2－ax）在［0，1］上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是__________． 7．函数 f（x）的图象与 g（x）＝（ ______． 8．已知定义域为 R 的偶函数 f（x）在［0，＋∞］上是增函数，且 f（ 的解集是______． 三、解答题 9．求函数 y＝ log1 （x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．
3

1 x ） 的图象关于直线 y＝x 对称，则 f（2x－x2）的单调递减区间为 3

1 ）＝0，则不等式 f（log4x）＞0 2

10．设函数 f（x）＝

2 3－2 x ＋ lg ， 3 x＋5 3＋2 x

（1）求函数 f（x）的定义域； （2）判断函数 f（x）的单调性，并给出证明； （3）已知函数 f（x）的反函数 f 1（x） ，问函数 y＝f 1（x）的图象与 x 轴有交点吗?若有，求出交点 坐标；若无交点，说明理由．
－ －

二、指数函数与对数函数 同底的指数函数 y ? a 与对数函数 y ? log a x 互为反函数；
x

（二）主要方法： 1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；

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2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1，要注意对底数的讨论； 3．比较几个数的大小的常用方法有：①以 0 和 1 为桥梁；②利用函数的单调性；③作差． （三）例题分析：

b ， logb a ， log a b 从小到大依次为 ； a （2）若 2 x ? 3 y ? 5z ，且 x ， y ， z 都是正数，则 2x ， 3y ， 5z 从小到大依次为 （3）设 x ? 0 ，且 a x ? b x ? 1 （ a ? 0 ， b ? 0 ） ，则 a 与 b 的大小关系是 （ ） （ A ）b ? a ?1 （ B ）a ? b ?1 （ C ） 1 ? b ? a （ D ）1 ? a ? b lg t lg t lg t （2）令 2x ? 3y ? 5z ? t ，则 t ? 1 ， x ? ，y? ，z ? ， lg 2 lg 3 lg 5 2lg t 3lg t lg t ? (lg 9 ? lg8) ? ? ? 0 ，∴ 2 x ? 3 y ； ∴ 2x ? 3 y ? lg 2 lg 3 lg 2 ? lg 3 同理可得： 2 x ? 5 z ? 0 ，∴ 2 x ? 5 z ，∴ 3 y ? 2 x ? 5z ． x?2 x 例 2．已知函数 f ( x ) ? a ? (a ? 1) ， x ?1 求证： （1）函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上为增函数； （2）方程 f ( x) ? 0 没有负数根．
例 1． （1）若 a 2 ? b ? a ? 1 ，则 log b

；

例 3．已知函数 f ( x) ? loga (a x ?1) （ a ? 0 且 a ? 1 ） ． 求证： （1）函数 f ( x ) 的图象在 y 轴的一侧； （2）函数 f ( x ) 图象上任意两点连线的斜率都大于 0 ．

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课堂练习

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课后作业

本节课教学计划完成情况：□照常完成 学生的接受程度：□完全能接受

□提前完成

□延后完成，原因﹍﹍﹍﹍﹍

□部分能接受

□不能接受，原因﹍﹍﹍﹍﹍

学生的课堂表现：□很积极 □比较积极 □一般 □不积极，原因﹍﹍﹍﹍﹍ 学生上次作业完成情况：完成数量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 存在问题﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 已完成部分质量﹍﹍

课后记

配合需求

备 注

提交时间

教研组长审批

教研主任审批

注：此表用作每次课的教学设计方案。

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