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2复合函数学生版


黄冈教育 周俊成
教 师 姓 名 学 科 阶 段 课 程 名 称

HG-005 个性化教案

同学个性化教学设计方案
学生姓名

赵映雄

周俊成

备 课 时 间:12.12

数学

年级

高一



教材版本

必修 1

第__章(单元)第__节 第( 6 )课时 共( 2 )课时

□观察期

第( 2 )周

□维护期

教师课时统计

复合函数问题

课时计划

第( 2 )课时 共( 2 )课时

上课时间

12.16

教 学 目 标

同步教学知识内容

个性化学习问题解决

教 学 重 点

复合函数的定义域及单调性的理解.

教 学 难 点

如何理解复合函数的定义域及分类思想.

教师活动

学生活动

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HG-005 个性化教案

高一函数部分 复合函数问题
一、 复合函数定义: 设 y=f(u)的定义域为 A, u=g(x)的值域为 B, A ? B, y 关于 x 函数的 y=f 若 则 [g(x)] 叫做函数 f 与 g 的复合函数,u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题: (1)、已知 f ( x ) 的定义域,求 f ? g( x)? 的定义域 思路:设函数 f ( x ) 的定义域为 D,即 x ?D ,所以 f 的作用范围为 D,又 f 对 g( x) 作用,作用范 围不变,所以 g ( x) ? D ,解得 x ?E ,E 为 f ?g( x)? 的定义域。 例 1. 设函数 f ( u) 的定义域为(0,1) ,则函数 f (ln x) 的定义域为_____________。 例 2. 若函数 f ( x ) ?







1 ,则函数 f ? f ( x)? 的定义域为______________。 x ?1

(2) 、已知 f ? g( x)? 的定义域,求 f ( x ) 的定义域 思路:设 f ? g( x)? 的定义域为 D,即 x ?D ,由此得 g( x) ? E ,所以 f 的作用范围为 E,又 f 对 x 作用, 作用范围不变,所以 x ? E,E 为 f ( x ) 的定义域。 例 3. 已知 f (3 ? 2 x) 的定义域为 x ? ?1,2 ,则函数 f ( x ) 的定义域为_________。 解析: f (3 ? 2 x) 的定义域为 ?1,2 ,即 x ? ?1,2 ,由此得 3 ? 2 x ? ?1,5 所以 f 的作用范围为 ?1,5 ,又 f 对 x 作用,作用范围不变,所以 x ? ?1,5 即函数 f ( x ) 的定义域为 ?1,5

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

x2 例 4. 已知 f ( x ? 4) ? lg 2 ,则函数 f ( x ) 的定义域为______________。 x ?8
2

(3) 、已知 f ? g( x)? 的定义域,求 f ?h( x)? 的定义域 思路:设 f ? g( x)? 的定义域为 D,即 x ?D ,由此得 g( x) ? E , f 的作用范围为 E,又 f 对 h( x ) 作用, 作用范围不变,所以 h( x ) ? E ,解得 x ?F ,F 为 f ?h( x)? 的定义域。
x 例 5. 若函数 f (2 ) 的定义域为 ?1,1 ,则 f (log 2 x) 的定义域为____________。

?

?

评注:函数定义域是自变量 x 的取值范围(用集合或区间表示)f 对谁作用,则谁的范围是 f 的作用范围, f 的作用对象可以变,但 f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”

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的感觉,值得大家探讨。 (二)同步练习:
2 1、 已知函数 f ( x ) 的定义域为 [0, 1] ,求函数 f ( x ) 的定义域。

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2、 已知函数 f (3 ? 2x ) 的定义域为 [?3, 3] ,求 f ( x ) 的定义域。 3、 已知函数 y ? f ( x ? 2) 的定义域为 (?1, 0) ,求 f (| 2x ? 1 | ) 的定义域。

4、设 f ? x ? ? lg

2? x ? x? ?2? ,则 f ? ? ? f ? ? 的定义域为( 2? x ?2? ? x?
B. ?? 4,?1? ? ?1,4? D . ?? 4,?2? ? ?2,4?



A.

?? 4,0? ? ?0,4?

C. ?? 2,?1? ? ?1,2?

5、已知函数 f (x) 的定义域为 x ? (? , ) ,求 g ( x) ? f (ax) ? f ( )(a ? 0) 的定义域。

1 3 2 2

x a

三、复合函数单调性问题

(1)引理证明
已知函数 y ? f ( g ( x)) .若 u ? g (x) 在区间 (a, b )上是减函数,其值域为(c,d),又函数 y ? f (u ) 在区 间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数 y ? f ( g ( x)) 在区间 (a, b )上是增函数. 证明:在区间 (a, b )内任取两个数 x1 , x 2 ,使 a ? x1 ? x2 ? b 因为 u ? g (x) 在区间 (a, b )上是减函数,所以 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,记 u1 ? g ( x1 ) , u2 ? g ( x2 ) 即

u1 ? u2,且u1 , u2 ? (c, d )
因为函数 y ? f (u ) 在区间(c,d)上是减函数,所以 f (u1 ) ? f (u 2 ) ,即 f ( g ( x1 )) ? f ( g ( x2 )) , 故函数 y ? f ( g ( x)) 在区间 (a, b )上是增函数. (2) .复合函数单调性的判断 复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表:

y ? f (u )
u ? g (x)
增 ↗

增 ↗ 减 ↘ 增 ↗

减 ↘ 减 ↘

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y ? f ( g ( x))
增 ↗ 减 ↘

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减 ↘ 增 ↗

以上规律还可总结为: “同向得增,异向得减”或“同增异减”. (3)、复合函数 y ? f ( g ( x)) 的单调性判断步骤: ⅰ 确定函数的定义域; ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数: y ? f (u ) 与 u ? g (x) 。 ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性; ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),则复合后的函数

y ? f ( g ( x)) 为增函数; 若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减函
数),则复合后的函数 y ? f ( g ( x)) 为减函数。 (4)例题演练 1、求函数 y ? log1 ( x ? 2 x ? 3) 的单调区间,并用单调定义给予证明
2 2
王新敞
奎屯 新疆

2、讨论函数 f (x) ? loga(3x2 ? 2x ? 1) 的单调性.

3、.已知 y= loga (2- a )在[0,1]上是 x 的减函数,求 a 的取值范围.

x

(5)同步练习:
1.函数 y= log 1 (x2-3x+2)的单调递减区间是(
2



A. (-∞,1) C. (-∞,

B. (2,+∞) D. (

3 ) 2

3 ,+∞) 2

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2 找出下列函数的单调区间. (1) y ? a?x
2 ?3x ? 2

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(a ? 1) ;

(2) y ? 2

?x2 ?2x?3

.

3、讨论 y ? loga (a x ? 1), (a ? 0, 且a ? 0) 的单调性。

4.求函数 y= log1 (x2-5x+4)的定义域、值域和单调区间.
3

变式练习 一、选择题

1 1.函数 f(x)= log 1 ( x- ) 的定义域是(
2

) B. (2,+∞)

A. (1,+∞) C. (-∞,2)

, D. (1 2]


2.函数 y= log 1 (x2-3x+2)的单调递减区间是(
2

A. (-∞,1) C. (-∞,

B. (2,+∞) D. (

3 ) 2

3 ,+∞) 2


3.若 2 lg (x-2y)= lg x+ lg y,则 A.4 C.1 或 4

y 的值为( x
B.1 或 D.

1 4

1 4


4.若定义在区间(-1,0)内的函数 f(x)= log2 a (x+1)满足 f(x)>0,则 a 的取值范围为( A. (0, C. (

1 ) 2

B. (0,1) D. (0,+∞)

1 ,+∞) 2

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5.函数 y= lg (

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) B.x 轴对称 D.直线 y=x 对称

2 -1)的图象关于( 1- x

A.y 轴对称 C.原点对称 二、填空题

6.已知 y= loga (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是__________. 7.函数 f(x)的图象与 g(x)=( ______. 8.已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在[0,+∞]上是增函数,且 f( 的解集是______. 三、解答题 9.求函数 y= log1 (x2-5x+4)的定义域、值域和单调区间.
3

1 x ) 的图象关于直线 y=x 对称,则 f(2x-x2)的单调递减区间为 3

1 )=0,则不等式 f(log4x)>0 2

10.设函数 f(x)=

2 3-2 x + lg , 3 x+5 3+2 x

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的单调性,并给出证明; (3)已知函数 f(x)的反函数 f 1(x) ,问函数 y=f 1(x)的图象与 x 轴有交点吗?若有,求出交点 坐标;若无交点,说明理由.
- -

二、指数函数与对数函数 同底的指数函数 y ? a 与对数函数 y ? log a x 互为反函数;
x

(二)主要方法: 1.解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域;

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2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1,要注意对底数的讨论; 3.比较几个数的大小的常用方法有:①以 0 和 1 为桥梁;②利用函数的单调性;③作差. (三)例题分析:

b , logb a , log a b 从小到大依次为 ; a (2)若 2 x ? 3 y ? 5z ,且 x , y , z 都是正数,则 2x , 3y , 5z 从小到大依次为 (3)设 x ? 0 ,且 a x ? b x ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ,则 a 与 b 的大小关系是 ( ) ( A )b ? a ?1 ( B )a ? b ?1 ( C ) 1 ? b ? a ( D )1 ? a ? b lg t lg t lg t (2)令 2x ? 3y ? 5z ? t ,则 t ? 1 , x ? ,y? ,z ? , lg 2 lg 3 lg 5 2lg t 3lg t lg t ? (lg 9 ? lg8) ? ? ? 0 ,∴ 2 x ? 3 y ; ∴ 2x ? 3 y ? lg 2 lg 3 lg 2 ? lg 3 同理可得: 2 x ? 5 z ? 0 ,∴ 2 x ? 5 z ,∴ 3 y ? 2 x ? 5z . x?2 x 例 2.已知函数 f ( x ) ? a ? (a ? 1) , x ?1 求证: (1)函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上为增函数; (2)方程 f ( x) ? 0 没有负数根.
例 1. (1)若 a 2 ? b ? a ? 1 ,则 log b



例 3.已知函数 f ( x) ? loga (a x ?1) ( a ? 0 且 a ? 1 ) . 求证: (1)函数 f ( x ) 的图象在 y 轴的一侧; (2)函数 f ( x ) 图象上任意两点连线的斜率都大于 0 .

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课堂练习

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课后作业

本节课教学计划完成情况:□照常完成 学生的接受程度:□完全能接受

□提前完成

□延后完成,原因﹍﹍﹍﹍﹍

□部分能接受

□不能接受,原因﹍﹍﹍﹍﹍

学生的课堂表现:□很积极 □比较积极 □一般 □不积极,原因﹍﹍﹍﹍﹍ 学生上次作业完成情况:完成数量﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 存在问题﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 已完成部分质量﹍﹍

课后记

配合需求

备 注

提交时间

教研组长审批

教研主任审批

注:此表用作每次课的教学设计方案。

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