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必修二第2章单元测试


【章节训练】第 2 章 点、直线、平面之间的位置关系-2
一、选择题(共 12 小题) 1. (2016?南充三模)空间四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,M,N 分别是 BC 与 AD 的中点,设 AM 和 CN 所成角为 α,则 cosα 的值为( )

A.

B.

C.

/>
D.

2. (2016?杨浦区校级模拟)已知矩形 ABCD,AB=1,BC=2,将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折的过程中( ) A.存在某个位置,使得直线 AB 和直线 CD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AC 和直线 BD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 和直线 BC 垂直 D.无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直 3. (2016?上海模拟)设直线 l 与平面 α 平行,直线 m 在平面 α 上,那么( ) A.直线 l 平行于直线 m B.直线 l 与直线 m 异面 C.直线 l 与直线 m 没有公共点 D.直线 l 与直线 m 不垂直 4. (2016?丽水校级模拟) 如图, 长方形 ABCD, M, N 分别为 AB, AD 上异于点 A 的两点, 现把△AMN 沿着 MN 翻折,记 AC 与平面 BCD 所成的角为 θ1,直线 AC 与直线 MN 所成 的角为 θ2,则 θ1 与 θ2 的大小关系是( )

A.θ1=θ2 B.θ1>θ2 C.θ1<θ2 D.不能确定 5. (2016?湖州模拟) 已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长相等, 若∠AA1B1=∠AA1C1=60°, 则异面直线 A1C 与 AB1 所成角的余弦值是( )

A.

B.

C.

D. )

6. (2016?虹口区三模) 关于三个不同平面 α, β, γ 与直线 l, 下列命题中的假命题是 ( A.若 α⊥β,则 α 内一定存在直线平行于 β
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B.若 α 与 β 不垂直,则 α 内一定不存在直线垂直于 β C.若 α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,则 l⊥γ D.若 α⊥β,则 α 内所有直线垂直于 β 7. (2016?宁波校级模拟)设 α、β、γ 是不同的平面,m,n 是不同的直线,则由下列条件 能得出 m⊥β 的是( ) A.n⊥α,n⊥β,m⊥α B.α∩β=m,α⊥β,β⊥γ C.m⊥n,n? β D.α⊥β,α∩β=n,m⊥n 8. (2016?温州一模)已知 a,b 为异面直线,下列结论不正确的是( ) A.必存在平面 α 使得 a∥α,b∥α B.必存在平面 α 使得 a,b 与 α 所成角相等 C.必存在平面 α 使得 a? α,b⊥α D.必存在平面 α 使得 a,b 与 α 的距离相等 9. (2016?资阳三模)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则下列叙述正 确的是( ) A.若 α∥β,m∥α,n∥β,则 m∥n B.若 α⊥β,m⊥α,n∥β,则 m⊥n C.若 m∥α,n∥α,m∥β,n∥β,m⊥n,则 α∥β D.若 m⊥α,n? β,m⊥n,则 α⊥β 10. (2016?上海模拟)给出下列命题,其中正确的命题为( ) A.若直线 a 和 b 共面,直线 b 和 c 共面,则 a 和 c 共面 B.直线 a 与平面 α 不垂直,则 a 与平面 α 内所有的直线都不垂直 C.直线 a 与平面 α 不平行,则 a 与平面 α 内的所有直线都不平行 D.异面直线 a、b 不垂直,则过 a 的任何平面与 b 都不垂直 11. (2016?石家庄二模)设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下 列四个命题: ①若 m? α,n∥α,则 m∥n; ②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ; ③若 α∩β=n,m∥n,则 m∥α 且 m∥β; ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β; 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 12. (2016?河西区模拟) 设 l 是直线, α, β 是两个不同的平面, 则下列说法正确的是 ( ) A.若 l∥α,l∥β,则 α∥βB.若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l∥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β 二、填空题(共 4 小题) (除非特别说明,请填准确值) 13. (2016?广西一模)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 为棱 DC 的中点,则 D1P

与 BC1 所在的直线所成角的余弦值等于



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14. (2016?杭州一模) 如图, △ABC 是等腰直角三角形, AB=AC, ∠BCD=90°, 且 , 将△ABC 沿 BC 的边翻折, 设点 A 在平面 BCD 上的射影为点 M, 若点 M 在△BCD 内部 (含 边界) ,则点 M 的轨迹的最大长度等于 ;在翻折过程中,当点 M 位于线段 BD 上时,直线 AB 和 CD 所成的角的余弦值等于 .

15. (2016?浦东新区二模)已知四面体 ABCD 中,AB=CD=2,E、F 分别为 BC、AD 的中 点,且异面直线 AB 与 CD 所成的角为 ,则 EF= .

16. (2016?红桥区模拟) 如图, 在底面为正方形的四棱锥 P﹣ABCD 中, PA=PB=PC=PD=AB=2, 点 E 为棱 PA 的中点,则异面直线 BE 与 PD 所成角的余弦值为 .

三、解答题(共 6 小题) (选答题,不自动判卷) 17. (2016?上海一模)设在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,E, F 依次为 C1C,BC 的中点. (1)求异面直线 A1B、EF 所成角 θ 的大小(用反三角函数值表示) ; (2)求点 B1 到平面 AEF 的距离.

18. (2016?辽宁校级模拟) (1)定理:平面内的一条直线与平面的一条斜线在平面内的射影 垂直,则这条直线垂直于斜线. 试证明此定理:如图 1 所示:若 PA⊥α,A 是垂足,斜线 PO∩α=O,a? α,a⊥AO,试证明 a⊥PO

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(2)如图 2,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总 是保持 AP⊥BD1,试证明动点 P 在线段 B1C 上. 19. (2016?四川)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°, BC=CD= AD.

(I)在平面 PAD 内找一点 M,使得直线 CM∥平面 PAB,并说明理由; (II)证明:平面 PAB⊥平面 PBD. 20. (2016?衡水校级模拟)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=2,AA1=4,点 P 为面 ADD1A1 的对角线 AD1 上的动点(不包括端点) .PM⊥平面 ABCD 交 AD 于点 M, MN⊥BD 于点 N. (1)设 AP=x,将 PN 长表示为 x 的函数; (2)当 PN 最小时,求异面直线 PN 与 A1C1 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)

21. (2016?松江区一模) 如图, 在三棱锥 P﹣ABC 中, PA⊥平面 ABC, AC⊥AB, AP=BC=4, ∠ABC=30°,D、E 分别是 BC、AP 的中点, (1)求三棱锥 P﹣ABC 的体积; (2)若异面直线 AB 与 ED 所成角的大小为 θ,求 tanθ 的值.

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22. (2016?太原一模)如图,已知四棱锥的侧棱 PD⊥底面 ABCD,且底面 ABCD 是直角梯 形,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD= CD=2,点 M 在侧棱上. (1)求证:BC⊥平面 BDP; (2)若侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 ,点 M 为侧棱 PC 的中点,求异面直线 BM 与 PA 所成角的余弦值.

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【章节训练】第 2 章 点、直线、平面之间的位置关系-2
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题) 1. (2016?南充三模)空间四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,M,N 分别是 BC 与 AD 的中点,设 AM 和 CN 所成角为 α,则 cosα 的值为( )

A.

B.

C.

D. AM,从而∠ONC 或其补角为异

【分析】设 O 为 MD 的中点,连结 ON、OC,则 ON 面直线 AM 与 CN 所成的角.由此能求出 cosα 的值.

【解答】解:如图,设 O 为 MD 的中点,连结 ON、OC,则 ON 补角为异面直线 AM 与 CN 所成的角. ∵ON= AM= ∴OC= a,CN= = a, = a.

AM.∴∠ONC 或其

在△CON 中,由余弦定理可得

cos∠CNO=

= .

∴cosα= . 故选:A.

【点评】本题考查角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意异面直线所成角 的余弦值的求法.

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2. (2016?杨浦区校级模拟)已知矩形 ABCD,AB=1,BC=2,将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折的过程中( ) A.存在某个位置,使得直线 AB 和直线 CD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AC 和直线 BD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 和直线 BC 垂直 D.无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直 【分析】假设各选项成立,根据线面位置关系推导结论,若得出矛盾式子,则假设错误,得 出正确选项. 【解答】解:对于 A,若存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直, ∵CD⊥BC,∴CD⊥平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 BCD,过点 A 作平面 BCD 的垂线 AE,则 E 在 BC 上, ∴当 A 在平面 BCD 上的射影在 BC 上时,AB⊥CD.故 A 正确; 对于 B,若存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直, 作 AF⊥BD,则 BD⊥平面 AFC,∴BD⊥EC,显然这是不可能的,故 B 错误; 对于 C,若存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直, 则 BC⊥平面 ACD,BC⊥AC, ∴AB>BC,即 1>2,显然这是不可能的,故 C 错误. 故选:A.

【点评】本题主要考查了空间的线面和面面的垂直关系,翻折问题中的变与不变,空间想象 能力和逻辑推理能力,有一定难度,属中档题. 3. (2016?上海模拟)设直线 l 与平面 α 平行,直线 m 在平面 α 上,那么( ) A.直线 l 平行于直线 m B.直线 l 与直线 m 异面 C.直线 l 与直线 m 没有公共点 D.直线 l 与直线 m 不垂直 【分析】由已知中直线 l 与平面 α 平行,直线 m 在平面 α 上,可得直线 l 与直线 m 异面或 平行,进而得到答案. 【解答】解:∵直线 l 与平面 α 平行,直线 m 在平面 α 上, ∴直线 l 与直线 m 异面或平行, 即直线 l 与直线 m 没有公共点, 故选:C. 【点评】 本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系, 直线与平行之间的位置关 系,难度中档. 4. (2016?丽水校级模拟) 如图, 长方形 ABCD, M, N 分别为 AB, AD 上异于点 A 的两点, 现把△AMN 沿着 MN 翻折,记 AC 与平面 BCD 所成的角为 θ1,直线 AC 与直线 MN 所成 的角为 θ2,则 θ1 与 θ2 的大小关系是( )
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A.θ1=θ2 B.θ1>θ2 C.θ1<θ2 D.不能确定 【分析】作 AO⊥平面 BCD,垂足是 O,连接 CO,过点 C 作直线 l∥MN,在 l 上取点 H, 令 CH=CO,在△AOC 和△AHC 中,CO=CH,AO⊥平面 BCD,从而 AO<AH,由此能求 出 θ1<θ2. 【解答】解:作 AO⊥平面 BCD,垂足是 O,连接 CO, 过点 C 作直线 l∥MN,在 l 上取点 H,令 CH=CO, 在△AOC 和△AHC 中,CO=CH,AO⊥平面 BCD, ∴AO<AH, ∴∠ACO<∠ACH, ∵AC 与平面 BCD 所成的角为 θ1,直线 AC 与直线 MN 所成的角为 θ2, AO⊥平面 BCD,CH∥MN, ∴∠ACO=θ1,∠ACH=θ2, ∴θ1<θ2. 故选:C.

【点评】 本题考查直线与平面所成的角和直线与直线所成的角的大小关系的判断, 是中档题, 解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 5. (2016?湖州模拟) 已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长相等, 若∠AA1B1=∠AA1C1=60°, 则异面直线 A1C 与 AB1 所成角的余弦值是( )

A.

B.

C.

D.

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【分析】设 平面向量的数量积运算求出 cos 可求. 【解答】解:设 再设三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的棱长为 m, 则 , , ∴ = =

,再设三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的棱长为 m,利用 , 则异面直线 A1C 与 AB1 所成角的余弦值



, = , =m. .

∴cos

=

=



则异面直线 A1C 与 AB1 所成角的余弦值是



故选:A. 【点评】本题考查异面直线所成的角,考查了空间想象能力和思维能力,训练了利用平面向 量的数量积运算求夹角,是中档题. 6. (2016?虹口区三模) 关于三个不同平面 α, β, γ 与直线 l, 下列命题中的假命题是 ( ) A.若 α⊥β,则 α 内一定存在直线平行于 β B.若 α 与 β 不垂直,则 α 内一定不存在直线垂直于 β C.若 α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,则 l⊥γ D.若 α⊥β,则 α 内所有直线垂直于 β 【分析】根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明. 【解答】解:对于 A,假设 α∩β=a,则 α 内所有平行于 a 的直线都平行 β,故 A 正确; 对于 B,假设 α 内存在直线 a 垂直于 β,则 α⊥β,与题设矛盾,故假设错误,故 B 正确; 对于 C,设 α∩γ=c,β∩γ=d,在 γ 内任取一点 P,作 PM⊥c 于点 M,PN⊥d 于点 N, 则 PM⊥α,PN⊥β,且 PM、PN 不可能共线. 又 l? α,l? β, ∴PM⊥l,PN⊥l. 又 PM∩PN=P,PM? γ,PN? γ, ∴l⊥γ.故 C 正确. 对于 D,假设 α∩β=a,则 α 内所有平行于 a 的直线都平行 β,故 D 错误. 故选:D.
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【点评】 本题主要考查了直线与平面位置关系的判定, 考查了空间想象能力和推理论证能力, 属于中档题. 7. (2016?宁波校级模拟)设 α、β、γ 是不同的平面,m,n 是不同的直线,则由下列条件 能得出 m⊥β 的是( ) A.n⊥α,n⊥β,m⊥α B.α∩β=m,α⊥β,β⊥γ C.m⊥n,n? β D.α⊥β,α∩β=n,m⊥n 【分析】利用线面垂直的条件、线面垂直的判定定理、以及面面垂直的性质定理对四个选项 进行判断,找出可以判断出 m⊥β 的即可. 【解答】解:对于 A 选项,由 n⊥α,m⊥α,可得 m∥n,又 n⊥β,故 m⊥β,A 选项正确; 对于 B 选项,α∩β=m,α⊥β,β⊥γ 得不出 m⊥β,故不正确; 对于 C 选项,m⊥n,n? β,由于 m 的位置不定,无法判断其与面 β 的关系,故 C 不正确; 对于 D 选项,α⊥β,α∩β=n,m⊥n,由于 m 的位置不定,无法判断其与面 β 的关系,故 D 不正确 综上,正确选项是 A. 故选:A. 【点评】本题考查线面垂直的判断方法,是立体几何中的基础题型,依据线面垂直的判定定 理与等价的条件判断即可. 8. (2016?温州一模)已知 a,b 为异面直线,下列结论不正确的是( ) A.必存在平面 α 使得 a∥α,b∥α B.必存在平面 α 使得 a,b 与 α 所成角相等 C.必存在平面 α 使得 a? α,b⊥α D.必存在平面 α 使得 a,b 与 α 的距离相等 【分析】 在 C 中, 当 a, b 不垂直时, 不存在平面 α 使得 a? α, b⊥α. 其它三种情况都成立. 【解答】解:由 a,b 为异面直线,知: 在 A 中,在空间中任取一点 O,过 O 分别作 a,b 的平行线, 则由过 O 的 a,b 的平行线确一个平面 α,使得 a∥α,b∥α,故 A 正确; 在 B 中,平移 b 至 b'与 a 相交,因而确定一个平面 α, 在 α 上作 a,b'交角的平分线,明显可以做出两条. 过角平分线且与平面 α 垂直的平面 α 使得 a,b 与 α 所成角相等. 角平分线有两条,所以有两个平面都可以.故 B 正确; 在 C 中,当 a,b 不垂直时,不存在平面 α 使得 a? α,b⊥α,故 C 错误; 在 D 中,过异面直线 a,b 的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面 α, 则平面 α 使得 a,b 与 α 的距离相等,故 D 正确. 故选:C. 【点评】 本题考查命题真假的判断, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意空间中线线、 线面、 面面间的位置关系的合理运用.
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9. (2016?资阳三模)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则下列叙述正 确的是( ) A.若 α∥β,m∥α,n∥β,则 m∥n B.若 α⊥β,m⊥α,n∥β,则 m⊥n C.若 m∥α,n∥α,m∥β,n∥β,m⊥n,则 α∥β D.若 m⊥α,n? β,m⊥n,则 α⊥β 【分析】以常见几何体为模型,逐项分析判断各命题. 【解答】解:在长方体 ABCD﹣A′B′C′D′中, (1)令平面 ABCD 为平面 α,平面 A′B′C′D′为平面 β,A′B′为直线 m,BC 为直线 n, 显然 α∥β,m∥α,n∥β,但 m 与 n 不平行,故 A 错误. (2)令平面 ABCD 为平面 α,平面 ABB′A′为平面 β,直线 BB′为直线 m,直线 CC′为直线 n, 显然 α⊥β,m⊥α,n∥β,m∥n.故 B 错误. (3)令平面 ABCD 为平面 α,平面 A′B′C′D′为平面 β,直线 BB′为直线 m,直线 B′C′为直 线 n, 显然 m⊥α,n? β,m⊥n,但 α∥β,故 D 错误. 故选 C.

【点评】 本题考查了空间直线与平面的位置关系判断, 结合常用几何体模型判断是解题关键, 属于中档题. 10. (2016?上海模拟)给出下列命题,其中正确的命题为( ) A.若直线 a 和 b 共面,直线 b 和 c 共面,则 a 和 c 共面 B.直线 a 与平面 α 不垂直,则 a 与平面 α 内所有的直线都不垂直 C.直线 a 与平面 α 不平行,则 a 与平面 α 内的所有直线都不平行 D.异面直线 a、b 不垂直,则过 a 的任何平面与 b 都不垂直 【分析】根据各命题条件,举出反例判断,使用排除法选出答案. 【解答】解:对于 A,若 b 为异面直线 a,c 的公垂线,则 a 与 b,b 与 c 都相交,但 a,c 异面,故 A 错误; 对于 B,若直线 a? α,则 α 内有无数条直线都与直线 a 垂直,故 B 错误; 对于 C,若直线 a? α,则 α 内有无数条直线都与直线 a 平行,故 C 错误; 对于 D,假设存在平面 α,使得 a? α,b⊥α,则 b⊥a,与条件矛盾,所以假设错误,故 D 正确 故选:D.
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【点评】本题考查了空间直线的位置关系判断,根据命题条件举出反例是判断的关键,属于 中档题. 11. (2016?石家庄二模)设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下 列四个命题: ①若 m? α,n∥α,则 m∥n; ②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ; ③若 α∩β=n,m∥n,则 m∥α 且 m∥β; ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β; 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【分析】根据空间线面位置关系判断. 【解答】解;①若 n∥α,则 α 内的直线 m 可能与 n 平行,也可能与 n 异面,故①错误; ②若 α∥β,β∥γ,则 α∥γ,若 m⊥α,则 m⊥γ,故②正确; ③若 m? α,显然结论错误; ④以直三棱柱为例,棱柱的任意两个侧面都与底面垂直,但侧面不平行,故④错误. 故选:B. 【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断,根据几何模型举出反例是解题关键,属于中 档题. 12. (2016?河西区模拟) 设 l 是直线, α, β 是两个不同的平面, 则下列说法正确的是 ( ) A.若 l∥α,l∥β,则 α∥βB.若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l∥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β 【分析】由线面平行的性质和面面平行的判定,即可判断 A;由线面平行的性质定理和面面 垂直的判定定理,即可判断 B; 由面面垂直的性质和线面的位置关系,即可判断 C;由面面垂直的性质定理和线面平行的性 质,即可判断 D. 【解答】解:对于 A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β 或 α,β 相交,故 A 错; 对于 B.若 l∥α,l⊥β,则由线面平行的性质定理,得过 l 的平面 γ∩α=m,即有 m∥l, m⊥β,再由面面垂直的判定定理,得 α⊥β,故 B 对; 对于 C.若 α⊥β,l⊥α,则 l∥β 或 l? β,故 C 错; 对于 D.若 α⊥β,l∥α,若 l 平行于 α,β 的交线,则 l∥β,故 D 错. 故选 B. 【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系,考查线面平行、垂直的判定和性质,面面垂 直的判定和性质,考查空间想象能力,属于中档题和易错题. 二、填空题(共 4 小题) (除非特别说明,请填准确值)

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13. (2016?广西一模)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 为棱 DC 的中点,则 D1P

与 BC1 所在的直线所成角的余弦值等于



【分析】连结 AD1、AP,由 AD1∥BC1,得∠AD1P 就是 D1P 与 BC1 所在的直线所成角, 由此能求出 D1P 与 BC1 所在的直线所成角的余弦值. 【解答】解:连结 AD1、AP, ∵AD1∥BC1,∴∠AD1P 就是 D1P 与 BC1 所在的直线所成角, 设 AB=2,则 AP=D1P= ,AD1= , ∴cos∠AD1P= = = . .

∴D1P 与 BC1 所在的直线所成角的余弦值等于 故答案为: .

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意余 弦定理的合理运用. 14. (2016?杭州一模) 如图, △ABC 是等腰直角三角形, AB=AC, ∠BCD=90°, 且 , 将△ABC 沿 BC 的边翻折, 设点 A 在平面 BCD 上的射影为点 M, 若点 M 在△BCD 内部 (含 边界) , 则点 M 的轨迹的最大长度等于 直线 AB 和 CD 所成的角的余弦值等于 ; 在翻折过程中, 当点 M 位于线段 BD 上时, .

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【分析】点 A 的射影 M 的轨迹为 CD 的中位线,可得其长度;当点 M 位于线段 BD 上时, 取 BC 中点为 N,AC 中点为 P,可得∠MNP 或其补角即为直线 AB 和 CD 所成的角,由已 知数据和余弦定理可得. 【解答】解:由题意可得点 A 的射影 M 的轨迹为 CD 的中位线,其长度为 CD= 当点 M 位于线段 BD 上时,AM⊥平面 ACD,取 BC 中点为 N,AC 中点为 P, ∴∠MNP 或其补角即为直线 AB 和 CD 所成的角, 则由中位线可得 MN= CD= ,PC= AB= , , ;

又 MP 为 RT△AMC 斜边 AC 的中线,故 MP= AC=

∴在△MNP 中,由余弦定理可得 cos∠MNP=

=



故答案为:





【点评】本题考查异面直线及其所成的角,理清翻转前后的数值的关系是解决问题的关键, 属中档题. 15. (2016?浦东新区二模)已知四面体 ABCD 中,AB=CD=2,E、F 分别为 BC、AD 的中 点,且异面直线 AB 与 CD 所成的角为 ,则 EF= 1 . ,由此能求出 EF.

【分析】取 BD 中点 O,连结 EO、FO,推导出 EO=FO=1,

【解答】解:取 BD 中点 O,连结 EO、FO, ∵四面体 ABCD 中,AB=CD=2,E、F 分别为 BC、AD 的中点,且异面直线 AB 与 CD 所 成的角为 , ,FO∥AB,且 FO= =1,

∴EO∥CD,且 EO=

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∴∠EOF 是异面直线 AB 与 CD 所成的角,∴ ∴△EOF 是等边三角形,∴EF=1. 故答案为:1.



【点评】 本题考查线段长的示法, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养. 16. (2016?红桥区模拟) 如图, 在底面为正方形的四棱锥 P﹣ABCD 中, PA=PB=PC=PD=AB=2, 点 E 为棱 PA 的中点,则异面直线 BE 与 PD 所成角的余弦值为 .

【分析】可画出图形,连接 AC,BD,设交于 O 点,连接 PO,从而可以根据条件得到 OB, OC,OP 三直线两两垂直,可分别以这三直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,可求出 空间一些点的坐标, 从而可得到向量 的坐标, 从而可以求得这两向量夹角的余弦值,

从而便可得到异面直线 BE 与 PD 所成角的余弦值. 【解答】解: 如图,连接 AC, BD,并交于 O 点,连接 PO, 根据题意知, PO⊥底面 ABCD; 又底面 ABCD 为正方形; ∴AC⊥BD; ∴OB,OC,OP 三直线两两垂直,分别以这三直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 如下图所示:

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根据条件可确定以下几点坐标: A (0, ; ∴ ∴ , ,

, 0) ,





; ;



=



∴异面直线 BE 与 PD 所成角的余弦值为 故答案为: .



【点评】考查通过建立空间直角坐标系,利用空间向量解决异面直线所成角问题的方法,能 求空间点的坐标,根据点的坐标可以得出向量的坐标,向量数量积的坐标运算,以及向量夹 角余弦的计算公式,清楚异面直线所成角和异面直线的方向向量夹角的关系. 三、解答题(共 6 小题) (选答题,不自动判卷) 17. (2016?上海一模)设在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,E, F 依次为 C1C,BC 的中点. (1)求异面直线 A1B、EF 所成角 θ 的大小(用反三角函数值表示) ; (2)求点 B1 到平面 AEF 的距离.

【分析】 (1)连接 C1B,因为 C1B∥EF,异面直线 A1B、EF 所成角与 C1B、A1B 所成角相 等. (2)利用平面 AEF 的一个法向量,建立空间坐标系,求出求点 B1 到平面 AEF 的距离.
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【解答】解:以 A 为原点建立如图空间坐标系, 则各点坐标为 A1(0,0,2) ,B(2,0,0) ,B1(2,0,2) ,E(0,2,1) ,F(1,1,0) (2 分) (1) , ,



(6 分) ,

(2)设平面 AEF 的一个法向量为 ∵ ,





令 a=1 可得

(10 分)



,∴

(13 分)

∴点 B1 到平面 AEF 的距离为 . (14 分) 【点评】此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算. 18. (2016?辽宁校级模拟) (1)定理:平面内的一条直线与平面的一条斜线在平面内的射影 垂直,则这条直线垂直于斜线. 试证明此定理:如图 1 所示:若 PA⊥α,A 是垂足,斜线 PO∩α=O,a? α,a⊥AO,试证明 a⊥PO

(2)如图 2,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总 是保持 AP⊥BD1,试证明动点 P 在线段 B1C 上. 【分析】 (1)利用线面垂直的性质与判定定理,即可证明 a⊥PO; (2)连接 AC,BD,AB1,A1B,证明 BD1⊥平面 AB1C,由 AP⊥BD1,平面 AB1C∩平面 BCC1B1=B1C,得出 P 在线段 B1C 上. 【解答】解: (1)证明:如图 1 所示, ∵PA⊥α,a? α, ∴PA⊥a, 又∵a⊥AO,且 PA∩AO=A, ∴a⊥平面 PAO,
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PO? 平面 PAO; ∴a⊥PO;﹣﹣﹣(6 分)

(2)证明:如图 2 所示,

连接 AC,BD, ∵AC⊥BD, ∴AC⊥BD1; 连接 AB1,A1B, ∵AB1⊥A1B, ∴AB1⊥BD1, 又∵AB1∩CB1=B1, ∴BD1⊥平面 AB1C, ∵AP⊥BD1,A∈平面 AB1C, ∴P∈平面 AB1C; ∵P∈平面 BCC1B1, 平面 AB1C∩平面 BCC1B1=B1C, ∴P 在线段 B1C 上.﹣﹣﹣﹣(12 分) 【点评】本题考查了空间中垂直关系的应用问题,考查了线线、线面、面面垂直关系的转化 问题,是综合性题目. 19. (2016?四川)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°, BC=CD= AD.

(I)在平面 PAD 内找一点 M,使得直线 CM∥平面 PAB,并说明理由; (II)证明:平面 PAB⊥平面 PBD.
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【分析】 (I) M 为 PD 的中点, 直线 CM∥平面 PAB. 取 AD 的中点 E, 连接 CM, ME, CE, 则 ME∥PA,证明平面 CME∥平面 PAB,即可证明直线 CM∥平面 PAB; (II)证明:BD⊥平面 PAB,即可证明平面 PAB⊥平面 PBD. 【解答】证明: (I)M 为 PD 的中点,直线 CM∥平面 PAB. 取 AD 的中点 E,连接 CM,ME,CE,则 ME∥PA, ∵ME?平面 PAB,PA? 平面 PAB, ∴ME∥平面 PAB. ∵AD∥BC,BC=AE, ∴ABCE 是平行四边形, ∴CE∥AB. ∵CE?平面 PAB,AB? 平面 PAB, ∴CE∥平面 PAB. ∵ME∩CE=E, ∴平面 CME∥平面 PAB, ∵CM? 平面 CME, ∴CM∥平面 PAB; (II)∵PA⊥CD,∠PAB=90°,AB 与 CD 相交, ∴PA⊥平面 ABCD, ∵BD? 平面 ABCD, ∴PA⊥BD, 由(I)及 BC=CD= AD,可得∠BAD=∠BDA=45°, ∴∠ABD=90°,∴BD⊥AB, ∵PA∩AB=A, ∴BD⊥平面 PAB, ∵BD? 平面 PBD, ∴平面 PAB⊥平面 PBD. 【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定,考查空间想象能 力、运算能力和推理论证能力,属于中档题. 20. (2016?衡水校级模拟)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=2,AA1=4,点 P 为面 ADD1A1 的对角线 AD1 上的动点(不包括端点) .PM⊥平面 ABCD 交 AD 于点 M, MN⊥BD 于点 N. (1)设 AP=x,将 PN 长表示为 x 的函数; (2)当 PN 最小时,求异面直线 PN 与 A1C1 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)

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【分析】 (1)求出 PM,AM,运用余弦定理,求得 PN; (2)求出 PN 的最小值,由于 MN∥AC,又 A1C1∥AC,∠PNM 为异面直线 PN 与 A1C1 所成角的平面角,通过解直角三角形 PMN,即可得到. 【解答】解: (1)在△APM 中, 其中 在△MND 中, 在△PMN 中, (2)当 ; , , 时,PN 最小,此时 ; . , ;

因为在底面 ABCD 中,MN⊥BD,AC⊥BD,所以 MN∥AC,又 A1C1∥AC, ∠PNM 为异面直线 PN 与 A1C1 所成角的平面角, 在△PMN 中,∠PMN 为直角, 所以 , . ,

异面直线 PN 与 A1C1 所成角的大小

【点评】本题考查空间异面直线所成的角的求法,考查二次函数的性质和运用:求最值,考 查运算能力,属于中档题. 21. (2016?松江区一模) 如图, 在三棱锥 P﹣ABC 中, PA⊥平面 ABC, AC⊥AB, AP=BC=4, ∠ABC=30°,D、E 分别是 BC、AP 的中点, (1)求三棱锥 P﹣ABC 的体积; (2)若异面直线 AB 与 ED 所成角的大小为 θ,求 tanθ 的值.

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【分析】 (1)三棱锥 P﹣ABC 中,由 PA⊥平面 ABC,AC⊥AB,AP=BC=4,∠ABC=30°, D、E 分别是 BC、AP 的中点,知 AC=2,AB=2 ,由此能求出三棱锥 P﹣ABC 的体积. (2)取 AC 中点 F,连接 DF,EF,则 AB∥DF,所以∠EDF 就是异面直线 AB 与 ED 所成 的角 θ,由此能求出 tanθ. 【解答】解: (1)三棱锥 P﹣ABC 中, ∵PA⊥平面 ABC,AC⊥AB,AP=BC=4,∠ABC=30°,D、E 分别是 BC、AP 的中点, ∴AC=2,AB=2 ,…(2 分) 所以,体积 VP﹣ABC= ?PA= .…(5 分)

(2)取 AC 中点 F,连接 DF,EF,则 AB∥DF, 所以∠EDF 就是异面直线 AB 与 ED 所成的角 θ.…(7 分) 由已知,AC=EA=AD=2,AB=2 ,PC=2 , ∵AB⊥EF,∴DF⊥EF.…(10 分) 在 Rt△EFD 中,DF= ,EF= , 所以,tanθ= .…(12 分)

【点评】本题考查三棱锥的体积的求法,考查异面直线所成角的正切值的求法,解题时要认 真审题,注意等价转化思想的合理运用. 22. (2016?太原一模)如图,已知四棱锥的侧棱 PD⊥底面 ABCD,且底面 ABCD 是直角梯 形,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD= CD=2,点 M 在侧棱上. (1)求证:BC⊥平面 BDP; (2)若侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 ,点 M 为侧棱 PC 的中点,求异面直线 BM 与 PA 所成角的余弦值.

【分析】 (1)证明 BD⊥BC,PD⊥BC,即可证明 BC⊥平面 BDP; (2)取 PD 中点为 N,并连结 AN,MN,则∠PAN 即异面直线 BM 与 PA 所成角,在△PAN 中,利用余弦定理,即可求出异面直线 BM 与 PA 所成角的余弦值.
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【解答】 (1)证明:由已知可算得 ,∴BD +BC =16=DC , 故 BD⊥BC, 又 PD⊥平面 ABCD,BC? 平面 ABCD,故 PD⊥BC, 又 BD∩PD=D,所以 BC⊥平面 BDP;…6 分 (2)解:如图,取 PD 中点为 N,并连结 AN,MN,BM∥AN, 则∠PAN 即异面直线 BM 与 PA 所成角; 又 PA⊥底面 ABCD,∴∠PCD 即为 PC 与底面 ABCD 所成角, 即 ,∴ ,即 ,

2

2

2





,则在△PAN 中, .…12 分.



即异面直线 BM 与 PA 所成角的余弦值为

【点评】本题考查线面垂直,考查异面直线 BM 与 PA 所成角的余弦值,考查学生的计算能 力,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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