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随机变量分布列应用题


高三数学

刘立国

随机变量的 分布列、期望、方差

应 用 题

考点解说:
1:概率统计是高考的重点,前几 年的考题常以填空题的形式出现, 难度不大,但涉及的知识点均有可 能考到,今年不排出考大题的可能, 深圳一模以及前一周的模拟考都 考了大题----应用题,主要是考分布 列、期望

、方差。下面我们就来学习 这种类型题的解法。

重点知识回顾

求期望 识记期望公式 1)E ξ=X1P1+X2P2+…+XnPn+,… 2)若η=aξ+b,则Eη=a Eξ+b 3)若ξ-B(n,p)则Eξ=np

求方差
识记方差公式 1)Dξ=(X1- E ξ)2P1+(X2 - E ξ)2 P2 +…+(Xn - E ξ )2Pn+… 2)若η=aξ+b, 则Dη=a2Dξ 3)若ξ-B(n,p) 则Dξ=npq (q=1-p)

例题选讲
例1:已知ξ 的分布列为
ξ P -1 0 1 1/2 1/3 1/6

求(1)E ξ、D ξ (2)设η=2ξ+3.求E ξ、D ξ
动笔

解:E ξ=(-1) (1/2)+0 ×(1/3)+ 1 × (1/6) = -(1/3),
1 2 1 1 2 1 1 1 5 D? ? (-1 ? ) ? ? (0 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? 3 2 3 3 3 6 9

7 ( 2) E? ? E (2? ? 3) ? 2 E? ? 3 ? 3 2 D? ? D (2? ? 3) ? 4 D? ? 9
总结

重点知识回顾
1:分布列 说明:分布列是求期望和方差 的基础。必须要会

2:求离散型随机变量的分布 列的步骤
1)审题目的问句找出随机变量 2)找出随机变量ξ的所有可能的 取值Xi (i =1,2,3,…,n,…)按一 定次序填写到第一行。(难点) 3)求出各取值的概率P(ξ=Xi) (i =1,2,3,…,n,…)(难点) 4)列出表格。

例2:设一口袋中有依次标有 -1,2,2,2,3,3数字的六 个球,从这袋中任取一球,求 取得的球上标有的数字的分布列
思考:1:确定什么为随机变量? 2:随机变量ξ可能取值是什么?

3:取各个值的概率是多少? 1 1 P(ξ =-1)= 6 P(ξ =2)= 2 1 p(ξ =3)= 3 解题过程

3)解题过程怎么写(识记) 解:设所取球的数字为ξ,则

ξ的可能取值是-1,2,3 由于取这六个球的任一个的概 1 率均为1/6所以P(ξ =-1)= 6 1 1 P(ξ =2)= 2 p(ξ =3)= 3 所以ξ 的分布列 -1 2 3 ξ
P 1/6 1/2 1/3

例题3:某厂有两个独立的科 研小组,各自都在进行一个新产 品开发研究,若第一组新产品开 发成功,则除去用掉的科研经费 500万元外,还可给该厂带来 6000万元的利润,若第二组成功, 除用去科研经费200万元外,也能 可给该厂带来4000万利润。如果 某一项目失败,则该项目不但

不能产生利润,科研经费也消耗 尽。又已知两个科研小组开发新 产品成功的概率都是0.5, 求这两 个科研小组给该厂带来利润的期 望值.

解:设两个科研小组给该厂带来的 利润总和为ξ万元,设事件A表示 第一科研小组新产品开发成功,事 件B表示第二科研小组新产品开发 成功。则P (AB) = P (AB) =P (AB)=P (AB)=1/4 ξ的分布列: ξ 10000 5800 3500 -700

p 1/4

1/4

1/4

1/4

∴Eξ=(10000+5800+3500- 700)×(1/4)= 4650 (万元)

答:这两个科研小组给该厂带来 的利润的期望值为4650万元.

例4、某保险公司新开设了一项 保险业务,若在一年内事件E发 生,该公司要赔偿 a元,设在一 年内E发生的概率为p ,为使公 司的收益的期望值等于a 的百分 之十,公司应要求顾客交多少保 险金?

解:设保险公司要求顾客交x元保 险金,若以ξ表示公司每年的收益 额,则ξ的分布列为: ∵公司每年收益ξ ξ x X-a 的期望值为:Eξ= p 1-p p X(1-p)+(x-a)p=x-ap 要使公司收益的期望值等于10%a , ∴Eξ=10% a 即 x-ap=0.1a 答:顾客交的保险金为 (0.1+p)a时, 可使公司收益的期望值为10%a 元.

月考题:据气象预报,某地区下个 月有小洪水的概率为0.25,有大洪 水的概率为0.01。设工地上有一台 大型设备,为保护设备有以下三种 方案。方案1:运走设备,些时需花 费3800元。方案2:建一保护围墙, 需花费2000元,但围墙无法防止大 洪水,当大洪水来临,设备受损, 损失费为60000元。方案3:不采取 措施,希望不发生洪水,此时大洪 水来临损失60000元,小洪水来临损

失为10000元。 试比较哪一种方案好
解:方案2需花费的期望为2000+ 0.01×60000+0.99 ×0=2600(元) 方案3需花费的期望为0.01 ×60000+ 0.25 ×10000+0.74 ×0=3100(元) 而方案1需花费3800元,故采取方案 2比较好。

小结:随机变量的分布列、期 望、方差的应用题重在求分布 列

2:求离散型随机变量的分布 列的步骤
1)审题目的问句找出随机变量 2)找出随机变量ξ的所有可能的 取值Xi (i =1,2,3,…,n,…)按一 定次序填写到第一行。(难点) 3)求出各取值的概率P(ξ=Xi) (i =1,2,3,…,n,…)(难点) 4)列出表格。 3:应用公式求出期望、方差


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