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第八章 第五节 椭圆


2009~2013 年高考真题备选题库 第八章 平面解析几何 第五节 椭 圆
考点一 椭圆的定义、标准方程
x2 y2 1. (2013 新课标全国Ⅰ,5 分)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 a b F 的直线交 E 于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( x2 y2 A.

+ =1 45 36 x2 y2 C. + =1 27 18 x2 y2 B. + =1 36 27 x2 y2 D. + =1 18 9 )

解析:本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题,意在考查考 生通过解方程组求解弦的中点的能力.运用两点式得到直线的方程,代入椭圆方程,消去 y, 由根与系数的关系得到 a,b 之间的关系,并由 a,b,c 之间的关系确定椭圆方程.因为直线 1 x2 y2 AB 过点 F(3,0)和点(1,-1),所以直线 AB 的方程为 y= (x-3),代入椭圆方程 2+ 2=1 消 2 a b 3 2 a 2 2 a 3 9 +b2?x2- a2x+ a2-a2b2=0,所以 AB 的中点的横坐标为 2 去 y,得? =1,即 a2= ?4 ? 2 4 a 2 ? 2? ? 4 +b ? 2b2,又 a2=b2+c2,所以 b=c=3,选择 D. 答案:D 1 2. (2013 广东,5 分)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 ,则 C 2 的方程是(
2 2

) x2 y2 B. + =1 4 3 x2 y2 D. + =1 4 3

x y A. + =1 3 4 x2 y2 C. + =1 4 2

解析:本题主要考查椭圆的图像、方程、性质等知识,考查数形结合的数学思想方法, x2 y2 意在考查考生的抽象概括能力、运算求解能力.依题意,设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b c=1, ? ?c 1 所以?a=2, ?c =a -b , ?
2 2 2

解得 a2=4,b2=3.

答案:D

x2 y2 3 3. (2013 天津,13 分)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,离心率为 ,过点 F a b 3 4 3 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 3 (1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 分别为椭圆的左、 右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若

DB + AD · CB =8,求 k 的值. AC ·
解:本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识, 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查考生的运算求解能力以及运用方程思想解决问题 的能力. c 3 (1)设 F(-c,0),由 = ,知 a= 3c.过点 F 且与 x 轴垂直的直线的方程为 x=-c,代入 a 3 ?-c?2 y2 6b 2 6b 4 3 椭圆方程有 2 + 2=1,解得 y=± ,于是 = ,解得 b= 2,又 a2-c2=b2,从 a b 3 3 3 x2 y2 而 a= 3,c=1,所以椭圆的方程为 + =1. 3 2 (2)设点 C(x1,y1),D(x2,y2),由 F(-1,0)得直线 CD 的方程为 y=k(x+1),由方程组 y=k?x+1?, ? ?2 2 ?x y 消去 y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0. + = 1 , ? ?3 2 3k2-6 6k2 由根与系数的关系可得 x1+x2=- .因为 A(- 3,0),B( 3,0)所以 2,x1x2= 2+3k 2+3k2

DB + AD · ( 3-x2,-y2)+(x2+ 3,y2)· ( 3-x1,-y1) CB =(x1+ 3,y1)· AC ·
=6-2x1x2-2y1y2 =6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1) =6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2 2k2+12 =6+ . 2+3k2 2k2+12 由已知得 6+ =8,解得 k=± 2. 2+3k2 x2 y2 3 4. (2012 山东,5 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 .双曲线 x2-y2=1 a b 2 的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方 程为( ) x2 y2 B. + =1 12 6 x2 y2 D. + =1 20 5 x2 y2 A. + =1 8 2 x2 y2 C. + =1 16 4

解析:因为椭圆的离心率为

3 c 3 3 3 1 ,所以 e= = ,c2= a2,c2= a2=a2-b2,所以 b2= 2 a 2 4 4 4

x2 x2 x2 x2 5x2 a2, 即 a2=4b2.双曲线的渐近线方程为 y=± x, 代入椭圆方程得 2+ 2=1, 即 2+ 2= 2=1, a b 4b b 4b 4 2 4 2 所以 x2= b2,x=± b,y2= b2,y=± b,则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆 C 的交 5 5 5 5 点坐标为( 2 2 2 2 16 b, b),所以四边形的面积为 4× b× b= b2=16,所以 b2=5,所以 5 5 5 5 5

x2 y2 椭圆方程为 + =1. 20 5 答案:D x2 y2 y2 5. (2011 浙江,5 分)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x2- =1 有公共 a b 4 的焦点,C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( 13 A.a2= 2 1 C.b2= 2 ) B.a2=13 D.b2=2

解析:对于直线与椭圆、圆的关系,如图所示,设直线 AB 与 a 椭圆 C1 的一个交点为 C(靠近 A 的交点),则|OC|= , 3 因 tan∠COx=2, ∴sin∠COx= cos∠COx= 2 , 5

1 , 5

a 2a a2 4a2 则 C 的坐标为( , ),代入椭圆方程得 2+ =1,∴a2=11b2.∵5=a2-b2,∴ 45a 45b2 3 5 3 5 1 b2= . 2 答案:C 6. (2011 新课标全国,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 么 C 的方程为____. x2 y2 2 c 2 解析:根据椭圆焦点在 x 轴上,可设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),∵e= ,∴ = . a b 2 a 2 根据△ABF2 的周长为 16 得 4a=16,因此 a=4,b=2 2, 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那 2

x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 16 8 x2 y2 答案: + =1 16 8 x2 7. (2012 陕西,13 分)已知椭圆 C1: +y2=1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 4 有相同的离心率. (1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB =2 OA ,求直线 AB 的方程. y2 x2 解:(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2+ =1(a>2), a 4 a2-4 3 3 其离心率为 ,故 = ,则 a=4, 2 a 2 y2 x2 故椭圆 C2 的方程为 + =1. 16 4 (2)法一:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由 OB =2 OA 及(1)知,O,A, B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. x2 将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4, 4 4 所以 x2 , A= 1+4k2 y2 x2 将 y=kx 代入 + =1 中,得(4+k2)x2=16, 16 4 所以 x2 B= 16 , 4+k2

16 16 2 又由 OB =2 OA ,得 x2 = , B=4xA,即 4+k2 1+4k2 解得 k=± 1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 法二:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), 由 OB =2 OA 及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. x2 将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4,所以 4 4 16 16k2 2 2 x2 , 2,由 OB =2 OA ,得 xB= 2,yB= A= 1+4k 1+4k 1+4k2 4+k2 y2 x2 2 将 x2 + =1 中,得 =1,即 4+k2=1+4k2, B,yB代入 16 4 1+4k2 解得 k=± 1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x.

x2 y2 3 8.(2010 天津,12 分)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,连接椭圆的四个顶点 a b 2 得到的菱形的面积为 4. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B,已知点 A 的坐标为(-a,0),点 Q(0,y0)在线 段 AB 的垂直平分线上,且 QA · QB =4,求 y0 的值. c 3 解:(1)由 e= = ,得 3a2=4c2,再由 c2=a2-b2,得 a=2b. a 2 1 由题意可知 ×2a×2b=4,即 ab=2. 2
? ?a=2b, 解方程组? 得 a=2,b=1. ?ab=2 ?

x2 所以椭圆的方程为 +y2=1. 4 (2)由(1)可知 A(-2,0),设 B 点的坐标为(x1,y1),直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y =k(x+2). y=k?x+2?, ? ?2 于是 A,B 两点的坐标满足方程组?x 2 ? 4 +y =1. ? 由方程组消去 y 并整理,得 (1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0. 16k2-4 由-2x1= ,得 1+4k2 x1= 2-8k2 4k ,从而 y1= . 1+4k2 1+4k2

8k2 2k 设线段 AB 的中点为 M,则 M 的坐标为(- ). 2, 1+4k 1+4k2 以下分两种情况: ①当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0),线段 AB 的垂直平分线为 y 轴, 于是 QA =(-2,-y0), QB =(2,-y0). 由 QA · 2 2. QB =4,得 y0=± ②当 k≠0 时,线段 AB 的垂直平分线的方程为 y- 6k 令 x=0,解得 y0=- . 1+4k2 由 QA =(-2,-y0), QB =(x1,y1-y0), 2k 1 8k2 ). 2=- (x+ k 1+4k 1+4k2

QA · QB =-2x1-y0(y1-y0)= 1+4k2 +1+4k2(1+4k2+1+4k2)
= 4?16k4+15k2-1? =4, ?1+4k2?2 14 , 7

-2?2-8k2?

6k

4k

6k

整理得 7k2=2,故 k=± 2 14 所以 y0=± . 5

2 14 综上,y0=± 2 2或 y0=± . 5

考点二

椭圆的简单几何性质

x2 y2 1. (2013 新课标全国Ⅱ,5 分)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1, a b F2,P 是 C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30° ,则 C 的离心率为( A. 3 6 1 B. 3 D. 3 3 )

1 C. 2

解析:本题主要考查椭圆离心率的计算,涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识,意 在考查考生的运算求解能力. c 2c 法一:由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|= 3m,故离心率 e= = a 2a = |F1F2| 3m 3 = = . |PF1|+|PF2| 2m+m 3 b2 法二:由 PF2⊥F1F2 可知 P 点的横坐标为 c,将 x=c 代入椭圆方程可解得 y=± ,所以 a b2 b2 |PF2|= .又由∠PF1F2=30° 可得|F1F2|= 3|PF2|,故 2c= 3· ,变形可得 3(a2-c2)=2ac, a a 等式两边同除以 a2,得 3(1-e2)=2e,解得 e= 答案:D x2 y2 2. (2013 辽宁,5 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直 a b 4 线相交于 A, B 两点, 连接 AF, BF.若|AB|=10, |BF|=8, cos∠ABF= , 则 C 的离心率为( 5 3 A. 5 4 C. 5 5 B. 7 6 D. 7 ) 3 或 e=- 3(舍去). 3

解析:本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率,解三角形等知识,意在考查考生对圆锥

曲线的求解能力以及数据处理能力.由余弦定理得,|AF|=6,所以 2a=6+8=14,又 2c= 10 5 10,所以 e= = . 14 7 答案:B x2 y2 3. (2013 四川,5 分)从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦 a b 点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标 原点),则该椭圆的离心率是( A. C. 2 4 2 2 ) 1 B. 2 D. 3 2

解析:本题主要考查椭圆的简单几何性质,意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思 b2 -c, ?.∵AB∥OP,∴kAB=kOP, 想.由已知,点 P(-c,y)在椭圆上,代入椭圆方程,得 P? a? ? b b2 c 2 2 即- =- ,则 b=c,∴a2=b2+c2=2c2,则 = ,即该椭圆的离心率是 . a ac a 2 2 答案:C x2 y2 4. (2012 新课标全国,5 分)设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P a b 3a 为直线 x= 上一点,△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 2 1 A. 2 3 C. 4 2 B. 3 4 D. 5 )

3 3 解析:由题意可得|PF2|=|F1F2|,所以 2( a-c)=2c,所以 3a=4c,所以 e= . 2 4 答案:C x2 5. (2011 浙江,4 分)设 F1,F2 分别为椭圆 +y2=1 的左,右焦点,点 A,B 在椭圆上, 3 若 F1 A =5 F2 B ,则点 A 的坐标是________. 解析:根据题意设 A 点坐标为(m,n),B 点坐标为(c,d).F1、F2 分别为椭圆的左、右 焦点, 其坐标分别为(- 2, 0), ( 2, 0), 可得 F1 A =(m+ 2, n),F2 B =(c- 2, d). ∵ F1 A m+6 2 n c2 =5 F2 B ,∴c= ,d= .∵点 A、B 都在椭圆上,∴ +d2=1, 5 5 3 解得 m=0,n=± 1,故点 A 坐标为(0,± 1). 答案:(0,± 1) m+6 2 2 ? ? 5 n +( )2=1. 3 5

x2 y2 6.(2011 辽宁,12 分)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F,过 F 的直线 l 与椭圆 a b C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60° , AF =2 FB . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)如果|AB|= 15 ,求椭圆 C 的方程. 4

解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知 y1<0,y2>0. (1)直线 l 的方程为 y= 3(x-c),其中 c= a2-b2.

? ?y= 3?x-c?, 联立?x2 y2 ? ?a2+b2=1
得(3a2+b2)y2+2 3b2cy-3b4=0. - 3b2?c+2a? - 3b2?c-2a? 解得 y1= , y = . 2 3a2+b2 3a2+b2 因为 AF =2 FB ,所以-y1=2y2. 即 3b2?c+2a? - 3b2?c-2a? = 2· . 3a2+b2 3a2+b2

c 2 得离心率 e= = . a 3 (2)因为|AB|= 1 2 4 3ab2 15 1+ |y2-y1|,所以 · 2 2= . 3 4 3 3a +b

c 2 5 由 = 得 b= a. a 3 3 5 15 所以 a= ,得 a=3,b= 5. 4 4 x2 y2 椭圆 C 的方程为 + =1. 9 5


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