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命题及其关系


学习材料:命题及其关系
姓名:__________日期:__________ 一、知识点归纳及解题要点提示:
1.命题的概念 可以判断成立或不成立的陈述句叫做___________, 成立的命题叫作___________, 不成立的命题叫作___________ 2.通常用小写字母 p,q,r??表示最简单的命题,记号 ? p 表示命题 p 的________

___ 3. 在数学中, “若 p 则 q” 具有 这种形式的命题是常见的, 我们把这种形式的命题中的 p 叫作命题的___________, q 叫作命题的___________ 4.命题的 4 种形式 (1)原命题:若 p 则 q: (2)逆命题:___________(3)否命题:___________(4)逆否命题:___________ 5.四种命题之间的关系
原命题 若 p则 q 互 否 否命题 若 ┐p则 ┐q 互 逆 互 为 为 互 否 逆命题 若 q则 p 互 否 逆否命题 若 ┐q则 ┐p



逆 否

互 逆

6.四种命题的真假关系(选填:一定为真、一定为假、真假都有可能) (1)原命题为真,它的逆命题___________ (2)原命题为真,它的否命题___________ (3)原命题为真,它的逆否命题___________ 核心提示:如何判断一个语句是不是命题 判断一个语句是不是命题就是要看它是否同时满足两个条件(1)是陈述句(2)可以判断真假。一般说来,疑问 句,祈使句,感叹句都不是命题 注:有些语句暂时无法判断真假,但随着时间的推移,将来一定可以判断真假,这些语句也叫命题(这样的命题 叫作猜想)如:2050 年之前,人类一定可以登上火星。

二、典型例题分析 题型一:命题及真假的判断
判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假 (1)矩形的对角线相等; (2)3 ?12 ; (3)3 ?12 吗? (4)8 是 24 的约数; (5)两条直线相交,有且只有一个交点; (6)他是个高个子.
1

(7)求证 3 是无理数

(8) 2 x ? 1 (9) x 2 ? 4 x ? 5 ? 0
(10)你是高二的学生吗? (11)空集是任何集 合的子集; (12)三角形内角和为 360 度

题型二:命题的四种形式及其真假
1.分别写出下列命题的逆命题,否命题和逆否命题,并判断它们的真假 (1)若 ab=0,则 a=0 或 b=0 (2)若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x,y 全为 0 2.判断下列命题的真假: (1)已知 a, b, c, d ? R, 若 a ? c, 或b ? d , 则a ? b ? c ? d . (2) ?x ? N , x3 ? x2 (3)若 m ? 1, 则方程 x ? 2 x ? m ? 0 无实数根。 (4)存在一个三角形没有外接圆。
2

题型三:证明命题的真假
判断命题: “已知 a,x 为实数,如果关于 x 的不等式 x 2 ? (2a ? 1) x ? a 2 ? 2 ? 0 的解非空,则 a ? 1 ”的逆否命 题的真假,并证明

三.能力强化训练(独立解答)
(满分:150 分) 一 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.下列语句中,命题的个数是 (1)地球上有四大洋 (2) - 5 ? Z (3) ? ? R A. 1 B. 2 C 3. D. 4 2.下列说法中正确的是( ) A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B.“ a ? b ”与“ a ? c ? b ? c ”不等价 C. a ? b ? 0 ,则 a , b 全为 0 ”的逆否命题是“若 a , b 全不为 0 , 则 a ? b ? 0 ” “
2 2 2 2

姓名_________ 成绩_________

(4) “我国的小河流”可以组成一个集合

D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 3.有下列四个命题: ①“若 x ? y ? 0 , 则 x, y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q ? 1 ,则 x ? 2 x ? q ? 0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题; 其中真命题为( ) A.①② B.②③ C.①③
2 2 2

D.③④ )
2 2

4.命题: “若 a ? b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0 ”的逆否命题是( A.若 a ? b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2 2

B.若 a ? b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0

2

C.若 a ? 0, 且b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2 2

D.若 a ? 0, 或b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2 2

5.设原命题:若 a ? b ? 2 ,则 a , b 中至少有一个不小于 1 ,则原命题与其逆命题的真假情况是( A.原命题真,逆命题假 C.原命题与逆命题均为真命题
2 2



B.原命题假,逆命题真 D.原命题与逆命题均为假命题 )

6.原命题“设 a、b、c∈R,若 ac >bc ,则 a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 ) C.若 x?A,则 y∈A ) D.3 个

7.与命题“若 x∈A,则 y?A”等价的命题是( A.若 x?A,则 y?A B.若 y?A,则 x∈A

D.若 y∈A,则 x?A

8.与命题“能被 6 整除的整数,一定能被 3 整除”等价的命题是( (A)能被 3 整除的整数,一定能被 6 整除 (B)不能被 3 整除的整数,一定不能被 6 整除 (C)不能被 6 整除的整数,一定不能被 3 整除 (D)不能被 6 整除的整数,不一定能被 3 整除 9.若命题 p 是的逆命题是 q ,命题 q 的否命题是 r ,则 q 是 r 的( A.逆命题 B.逆否命题 C.否命题 10. “△ABC 中,若∠C=90°,则∠A、∠B 都是锐角”的否命题为 A.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 都不是锐角 B.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 不都是锐角 C.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 都不一定是锐角 D.以上都不对 11.已知直线 m,n 及平面 ?,? ,则下列命题中正确的是 A.

) ( )

D.以上判断都不对

m // ? ? m // ? ? ? ? ? // ? B. ? ? n // ? n // ? ? m // n ?

C.

m ? ?? m ? ?? ? ? m // ? D. ??m?n ? ? ?? n // ? ?

12.有四个关于三角函数的命题: (1)存在 x ? R, 使得 sin x ? cos x ?
2 2

1 2

(2)存在 x, y ? R, 使得sin(x ? y) ? sin x ? sin y (4) sin x ? cos y ? x ? y ?

(3)对任意 x ? [0, ? ], 其中是假命题的是 A.(1) (4)

1 ? cos2 x ? sin x 2

?
2

B.(2) (4)

C.(1) (3)

D.(2) (3)

二 填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.若命题“关于 x 的方程 x ? 2(a ? 1)x ? 2a ? 6 ? 0.有一正一负两实数根, ”为真命题,则实数 a 的取值范围
2

________________。 14.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个钝角”时应该假设
2

.

15.命题“ ax ? 2ax ? 3 ? 0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是_______。
3

16.将命题“末位数字是 0 或 5 的整数,能被 5 整除”改写成“若 p 则 q 的形式”是_________ 三 解答题(17-21 每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分) 17.若 a ? b ? c ,求证: a, b, c 不可能都是奇数。
2 2 2

19.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并指出他们的真假:

(1)若xy=0, 则x,y中至少有一个是0; (2)若 x>0,y>0,则 xy>0;

20.设 0 ? a, b, c ? 1, 求证: (1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a 不同时大于

1 . 4

21.设命题为“若 m ? 0 ,则关于 x 的方程 x ? x ? m ? 0 有实数根” ,试写出它的否命题、逆命题和逆否命题,
2

并分别判断它们的真假.

22.若 m≤0 或 n≤0,则 m+n≤0,写出其逆命题、否命题、逆否命题,并判定它们的真假.

4


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