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2016年湖北省预赛试题参考答案及评分标准(高一年级)

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2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案和评分标准 (高一年级) 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅, 请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考 本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次.

一、填空题(本大题共10小题,每小题9分,共90分.) 1 ? f ( x) 1. 已知函数 f ( x) 满足:f (1) ? 2 ,f ( x ? 1) ? 对定义域内任意 x 都成立.那么,f (2016) 1 ? f ( x) 1 = 3 . | x ? 2| 2.不等式 3 ? 3| x?1| ? 28 的解集为 (??, ?2] ? [1, ??) . 3 . 从 五 个 正 整 数 a, b, c, d , e中 任 取 四 个 求 和 , 得 到 的 和 值 构 成 集 合 {44, 45, 46, 47} ,则 a? b? c? d ? e ? 57 . 3? 5? 7? 1 4.求值: cos ? cos ? cos ? cos ? 9 9 9 9 2 . 5.△ ABC 中,角 A, B, C 的对边长分别为 a, b, c , D 是 BC 的中点,若 a ? 4 , AD ? c ? b , 6.如果存在实数 a ,使得关于 x 的不等式 a cos x ? b cos 2 x ? 1 无实数解,则实数 b 的最大值为 1 . 7.已知质数 p, q 满足 q ? 2 p ? 1 ,则 p ? q ? 5 2 ? 则△ ABC 的面积的最大值为 2 3 . 14 . 8.已知实数 x, y 满足: 2 2 ?3 x ? 21?5 y ? 1 4 1 x y , x ? ? 3 , 8 ? 32 ? 8 .那么, xy ? 2 5 y . . 9. 已知 MN 是边长为 2 6 的等边△ ABC 的外接圆的一条动弦, MN =4, P 为△ ABC 的边 上的动点,则 MP ? PN 的最大值为 ???? ??? ? 4 10.设 [a ] 表示不大于 a 的最大整数,则方程 [ ] ? [ ] ? 1 的最大正整数解为 二、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分。 ) 11.已知△ ABC 的三边长 a, b, c ( a ? b ? c )均为整数,且满足: (1) a, b, c 构成等比数列; (2) a, b, c 中至少有一个等于 100. 求符合要求的三元数组 (a, b, c) 的个数. 解 首先,由题设可知: a ? b ? c 且 b2 ? ac . x 7 x 8 104 . b2 b2 ,代入 a ? b ? c 得 100 ? b ? , 100 100 解得 100 ? b ? 50( 5 ? 1) ,故 b 的值可以为 100,110,120,130,140,150,160,相应的 c 的值分 ①若 a ? 100 ,则 b ? 100 , b2 ? 100c ,故 10 | b , c ? 别为 100,121,144,169,196,225,256. ………………………………………(5 分) ② 若 b ? 100 , 则 a ? 100 , ac ? 10000 , 故 a | 1 0 0 0, 0 c? 1000 , 代 入 a ?b ? c 得 a a ?

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