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高一数学

时间:2014-03-19


学习目标
(1)学会利用两角和的正弦、余弦、正切公式 推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,知道各 公式之间的内在联系。
(2)能记住二倍角公式及相关变形。

(3)能用二倍角公式进行化简,求值。

重(难)点
重点:二倍角公式的推导及应用。
难点:二倍角公式的变形应用。

复习

回顾:两角和(差)的三角公式
cos?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

C(α ?β)

S(α?β)

T(α?β)

二倍角公式的推导
cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
? ??

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ?

利用

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

变形为

cos2? ? 2 cos ? ? 1
2

cos2? ? 1 ? 2 sin 2 ?

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

? ??

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

? ??

2 tan ? ? tan 2? ? 2 ? ? ? k?且 1 ? tan ? 注: 2

? k? ? ? ? ,k ? z 4 2

新知:二倍角公式
sin 2? ? 2 sin ? cos ?
( S 2? )

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ?

? 2 cos ? ? 1
2

(C2? )

2 tan ? ? ? k? tan 2? ? (? ? ? k?且? ? ? , k ? z ) (T2? ) 2 2 4 2 1 ? tan ?
注:(1)左边角是右边角的二倍 (2)左到右:升幂降角,右到左:降幂升角。 ? ? (3)二倍关系可以是 2?与?, 4?与2?, 与 等关系 , 蕴含着换元思想 .
2 4

? 1 ? 2 sin ?
2

例一、化简求值
? ' ?

1 2 0 sin 45 ? 1. sin 22 30 cos22 30 ? 2 4 ? 2 2 ? cos ? ?1 ? 2. 2 cos 4 2 8 ? 2 2 ? 2 ? ? cos ? ? cos ? ? 3. sin 8 8 4 2
'

1 1 t an 22.5? ? 4. ? tan 45 ? 2 ? 2 2 1 ? t an 22.5
5.
6.

? 4 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? cos ? sin ? (cos ? sin )(cos ? sin ) ? cos ? 2 2 2 2 2 2 1 1 2 tan ? ? ? ? tan 2? 2 1 ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? tan ?
4

注意:公式逆用和变形应用

例二、给值求值
已知 sin 2? ?
?
4
5 ? ? , ? ? ? , 求 sin 4? , cos 4? , tan 4?的值. 13 4 2 由于4?是2?的二倍角,因此考虑用 倍角公式 . 分析:



?? ?

?
2

,得

?
2

? 2? ? ?

又? sin 2? ?

5 5 12 ? cos2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? 13 13 13
5 12 120 ? (? ) ? ? 13 13 169

sin 4? ? sin[ 2 ? (2? )] ? 2 sin 2? cos 2? ? 2 ?

5 119 cos 4? ? cos[ 2 ? (2? )] ? 1 ? 2 sin 2 2? ? 1 ? 2 ? ( ) 2 ? 13 169

tan 4? ?

sin 4? 120 169 120 ? (? )? ?? cos 4? 169 119 119

二倍角关系具有相对性 蕴含着换元思想

例三、三角形中的求值
4 在?ABC 中, cos A ? , tan B ? 2, 求 tan (2 A ? 2 B)的值. 5

分析: 由于2 A ? 2B与A, B之间构成二倍的关系 ,因此可以用倍角公式 .
4 4 3 法一:在?ABC中,由cos A ? ,0 ? A ? ? , 得 sin A ? 1 ? cos2 A ? 1 ? ( ) 2 ? 5 5 5

3 2? sin A 3 5 3 2 tan A 24 4 ? tan A ? ? ? ? , 可得 tan 2 A ? ? ? 2 3 cos A 5 4 4 1 ? tan A 1 ? ( ) 2 7 4 2 tan B 2? 2 4 又 ? tan B ? 2,? tan 2 B ? ? ? ? 1 ? tan2 B 1 ? 2 2 3 24 4 ? tan 2 A ? tan 2 B 44 7 3 于是 tan(2 A ? 2 B) ? ? ? 1 ? tan 2 A tan 2 B 1 ? 24 ? (? 4 ) 117 7 3

4 4 3 法二:在?ABC中,由cos A ? ,0 ? A ? ? , 得 sin A ? 1 ? cos2 A ? 1 ? ( ) 2 ? 5 5 5

3 ?2 t an A ? t an B 11 又 ? t an B ? 2, 所以 t an(A ? B) ? ? 4 ?? 3 1 ? t an A t an B 2 1? ? 2 4

11 ) 2 tan(A ? B) 44 2 于是 tan(2 A ? 2 B) ? tan[2( A ? B)] ? ? ? 2 1 ? tan ( A ? B) 1 ? (? 11) 2 117 2 变式训练: 4 在?ABC 中, cos A ? , tan B ? 2, 求 tan 2C的值. 5 2 ? (?
分析:三角形中 C ? 180? ? ( A ? B), 利用诱导公式和二倍角 公式 从而达到把未知角转化 为已知角 .
tan 2C ? tan 2[? ? ( A ? B)] ? tan[ 2? ? 2( A ? B)] ? tan[ ?2( A ? B)] ? ? tan[ 2( A ? B)] ? ? 44 117

三角形内角和180度进行角的转化

反馈练习
4 ? ? ? 1.已知 cos ? ? ,8? ? ? ? 12? , 求 sin , cos , tan 的值. 8 5 4 4 4 ? 24 ? 7 ? 24
答案: sin 4 ? 25 , cos 4 ? 25 , tan 4 ? 7

?

? ? ? ? 2. 8 sin cos cos cos ? 48 48 24 12

思考题

1 2
答案: ? 3 cos2

1. 2 ? sin 2 2 ? cos4的值是?

1 2.若 sin ? ? cos ? ? ? 2 , 则 tan ? ? 的值为? tan ?

2

归纳总结
1、二倍角公式是和角公式的特例,体现将一般化归 为特殊的基本数学思想方法。 2、二倍角公式适用于二倍角与单角的三角函数的互 化问题,广泛应用于三角函数的求值、证明、化 简,应灵活理解“二倍角”的含义,熟悉公式的 逆用,并注意公式成立的条件。

课后作业
教科书习题3.1A组第16、17、18、19题


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