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等比数列的前n项和公式的几种推导方法


赏析等比数列的前 n 项和公式的几种推导方法
山东 张吉林(山东省莱州五中 邮编 261423) 等比数列的前 n 项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一,其公式: 当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q

r />②

当 q=1 时, S n ? na1 本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想,而且用以推导等比数列前 n 项和公式的方法---错位 相减法,更是在历年高考题目中频繁出现。本文变换视野、转换思维,从不同的角度加以推 导,以加深对公式的理解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果。 一般地,设等比数列 a1 , a2 , a3 ,?an ? 它的前 n 项和是

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an
公式的推导方法一: 当 q ? 1 时,由 ?

?S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? a n
n ?1 ?a n ? a1 q

2 n?2 n ?1 ? ?S n ? a1 ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q 得? ?qSn ? a1 q ? a1 q 2 ? a1 q 3 ? ? a1 q n ?1 ? a1 q n ?

? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n
a1 (1 ? q n ) ∴当 q ? 1 时, S n ? ① 1? q
当 q=1 时, S n ? na1 当已知 a1 , q, n 时常用公式①;当已知 a1 , q, an 时,常用公式②. 拓展延伸:若 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是等比数列,对形如 ?an ? n ? 的数列,可以用错位相 b 减法求和。
2 n 例题 数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? (n ? 1)? 2? (n ? 2)? 2 ? ?? 2 2? 2 ? 2?1 ,则 ? n

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



Sn 的表达式为(

) . B. Sn ? 2n?1 ? n ? 2 D. Sn ? 2n?1 ? n ? 2
2 n ?2

A. Sn ? 2n?1 ? 2n ? n ? 2 C. Sn ? 2 ? n ? 2
n

解析:由 Sn ? n ? (n ?1) ? 2 ? (n ? 2) ? 2 ? ?? 2 ? 2

? 2n?1 ,①

可得 2Sn ? 2n ? (n ?1) ? 22 ? (n ? 2) ? 23 ? ?? 2 ? 2n?1 ? 2n ,② ②-①,得 Sn ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 n ?1

? 2n ? n ?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? n ? 2 ,故选(D) . 1? 2

点评: 这个脱胎于课本中等比数列前 n 项公式推导方法的求和法, 是高考中命题率很高的地 方,应予以高度的重视。 公式的推导方法二: 当 q ? 1 时,由等比数列的定义得,

a a 2 a3 ? ??? n ? q a1 a2 an?1

根据等比的性质,有

a 2 ? a3 ? ? ? a n S ? a1 ? n ?q a1 ? a2 ? ? ? an?1 S n ? an



S n ? a1 ? q ? (1 ? q)S n ? a1 ? an q S n ? an a1 (1 ? q n ) ∴当 q ? 1 时, S n ? 1? q
当 q=1 时, S n ? na1 或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q

该推导方法围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比的性质,导出了公式, 给我们以耳目一新的另类感觉。 导后反思:定义是基础,深刻理解定义,灵活地运用好定义,往往能得到一些很有价值的 结论和规律。例如等比数列的一个常用性质: 已知数列 ?an ? 是等比数列 q ? ?1 ) S n 是其前 n 项的和, Sk,S2k ? Sk,S3k ? S2k , ( , 则 ?, 仍成等比数列。其推导过程可有以下两种常见的证明过程: 证明一: (1)当 q=1 时,结论显然成立; (2)当 q≠1 时, Sk ?

a1 ?1 ? q k ? 1? q a1 ?1 ? q k ? 1? q

, S2 k ? ?

a1 ?1 ? q 2 k ? 1? q

, S3 k ?

a1 ?1 ? q3k ? 1? q

S2 k ? Sk ? S3 k ? S 2 k ?

a1 ?1 ? q 2 k ? 1? q

?

a1q k ?1 ? q k ? 1? q ? a1q 2 k ?1 ? q k ? 1? q

a1 ?1 ? q3k ? 1? q
2

?

a1 ?1 ? q 2 k ? 1? q
2

? ? S2 k ? Sk ? ?

a12 q 2 k ?1 ? q k ? (1 ? q) 2

a1 ?1 ? q k ? a1q 2 k ?1 ? q k ? S k ? ( S3 k ? S 2 k ) ? ? 1? q 1? q

?


a12 q 2 k ?1 ? q k ? (1 ? q) 2

2

? S2k ? Sk ?

2

= Sk ? (S3k ? S2 k )

∴ Sk,S2k ? Sk,S3k ? S2k 成等比数列. [这一过程也可如下证明] : 证明二: S 2k - Sk = (a1 ? a2 ? a3 ??a2k ) - (a1 ? a2 ? a3 ??ak ) = ak ?1 ? ak ?2 ? ak ?3 ??a2k = qk (a1 ? a2 ? a3 ??ak ) = q k Sk ? 0 同理, S3k - S 2k = a2k ?1 ? a2k ?2 ? a2k ?3 ??a3k = q 2k Sk ? 0 ∴ Sk,S2k ? Sk,S3k ? S2k 成等比数列。 对比以上两种证明过程, 我们不难看出, 利用好定义在解决某些问题的过程中可以收到 很简捷的效果。 公式的推导方法三:

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an = a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ?an?1 )
= a1 ? qSn?1 = a1 ? q(S n ? an )

? (1 ? q)S n ? a1 ? an q
a1 (1 ? q n ) ∴当 q ? 1 时, S n ? 1? q
当 q=1 时, S n ? na1 “方程”在代数课程里占有重要的地位,是应用十分广泛的一种数学思想,在数列一章 的公式考察中常利用方程思想构造方程(或方程组) ,在已知量和未知量之间搭起桥梁,来 求解基本量,使问题得到解决。这种推导方法正是运用了该思想,使我们的思维不拘泥于书 本。 . 以上三种推导方法,从不同的思维角度切入等比数列前 n 项和的表达式,着眼点不同, 侧重点各异,从而在推导方法的运用上也各有千秋,推导方法一注重补因子后错位相减;推 导方法二则侧重于前 n 项的和式与定义式的联系;而推导方法三则是构造了 Sn与Sn?1 间的 递推关系式,充分利用了 Sn与Sn?1 和首项及公比之间的关系来得前 n 项的和公式。希望同 学们在学习中认真领悟,仔细体味,以求使思维得到更为灵活广阔的锻炼。 或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q


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