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乌鲁木齐2014年高三第一次诊断性测验文科数学试题


乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第一次诊断性测验
数学(文科)
(卷面分值:150 分 考试时间:120 分钟) 注意事项: 1. 本卷分为问卷(4 页)和答卷(4 页) ,答案务必书写在答卷(或答题卡)的指定位置上 2. 答卷前,先将答卷密封线内(或答题卡中的相关信息)的项目填写清楚 第 I 卷 (选择题 共 60 分) 一 、选择题:共 12 小题,每小

题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合 A={x|-1≤x≤1},B={x A.{x } B. {x } },则 A ( C.{x } A. ,则 )= D. {x 2 = B. 1 C.1 A. D. 2 B.
x

2. i 是虚数单位,则复数 3. 设等比数列{

的实部为

}的公比 q= , 前 n 项和为

C.

D.

4. 下列函数中既不是奇函数,又不是偶函数的是

A.y=x3 B. y ? 2

C. y ? lg x D. y=tanx

5. 设 z=2x+y, 其中变量 x,y 满足条件 A.3 B.6.4

,则 z 的最小值为 C.9.6 D. 12

6. 某几何体的三视图如图所示,则其侧面的直角三角形的个数为 A. 7. 已知 y=sin( 经过 P1( A.T=4, B. )( C.3 D. 4

)在区间[0,1]上是单调函数,其图像 的值分别为 1

1,0),P2(0,1),则此函数的最小正周期 T 及 B.T=4, C. T=4 ,

D. T=4 ,

8. 从含有两件正品和一件次品的三件产品中,每次随机取一件,连结取两次,每次取后都放回, 则取出的两件产品中恰有一件次的概率为( )

9. 一个算法的程序框图如图所示,如果输入的 x 的 值为 2014,则输出的 i 的结果为 A、3

B、5 C、6 AB 的长为 A.

D、8
2

10. 直线 经过抛物线 y =4x 的焦点,且与抛物线交于 A,B 两点,若 AB 的中点横坐标为 3,则线段 B. C.7 D. 8 =s D. ,则有序实数

11. 已知在△ABC 中,AB=1,BC= 对(s,t)为 A.
x

,AC=2,点 O 为△ABC 的外心,若 B. C.

12. 已知函数 f(x)=ln(e -1)(x>0) A.若 f(a)+2a=f(b)+3b,则 a>b C.若 f(a)-2a=f(b)-3b,则 a>b

B. 若 f(a)+2a=f(b)+3b,则 a<b D. 若 f(a)-2a=f(b)-3b,则 a<b

第 II 卷 (非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题 第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22 题 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二 、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

13.已知函数 14.双曲线 15. 设数列

,则 f(f(-1))=_____。 的渐近线过点 P(2,1),则其离心率为 是公差为 1 的等差数列,且 a1=2,则数列{lgan}的前 9 项和为

16. 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 P 是线段 A1C1 上的动点,则四棱锥 P-ABCD 的外 接球半径 R 的取值范围是 三 、解答题:第 17 21 题每题 12 分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,证明过程或演算 步骤。 17. 已知△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,a2+b2<c2,且 sin(2C- ( I )求角 C 的大小;(II)求 的取值范围。 )=

18. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E 是 AB 的中点,P 是 B1C 的中点。 ( I )求证:PB∥平面 B1ED;(II)求点 P 到平面 B1ED 的距离。

19. 某市共有 100 万居民的月收入是通过“工资薪金所得”得到的,如图是抽样调查后得到的工资 薪金所得 X 的频率分布直方图。工资薪金个人所得税税率表如表所示。表中“全月应纳税所得 额”是指“工资薪金所得”减去 3500 元所超出的部分(3500 元为个税起征点,不到 3500 元不 缴税)。 工资个税的计算公式为:“应纳税额”=“全月应纳税所得额”乘以“适用税率”减去“速算扣 除数”。

例如:某人某月“工资薪金所得”为 5500 元,则“全月应纳税所得额”为 5500-3500=2000 元,应 纳税额为 2000 10%-105=95(元) 在直方图的工资薪金所得分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,工资薪金所得 落入该区间的频率作为 x 取该区间中点值的概率 ( I )试估计该市居民每月在工资薪金个人所得税上缴纳的总税款; ( II)设该市居民每月从工资薪金所得交完税后,剩余的为其月可支配额 y(元),试求该市居民 月可支配额不超过 7000 元的概率。 20. 已知直线 x+y-1=0 经过椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的顶点和焦点 F. a 2 b2

( I )求此椭圆的标准方程; ( II)斜率为 k,且过点 F 的动直线 与椭圆 C 交于 A,B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D,求证直 线 BD 过顶点. 21. 已知函数 ( I )求函数 y=f(x)图象在点(0,f(0))处的切线方程; ( II)若 a≤2,证明:当 x≥0 时,有 f(x)≥ax+1. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的一条直径,过 A 作⊙O 的切线,在切线上取一点 C,使 AC=AB,连接 OC,与⊙O 交于 点 D,BD 的延长线与 AC 交于点 E,求证: ( I )∠CDE = ∠DAE ( II)AE = C 23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

已知曲线 C 的极坐标方程为 =2,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,P 是曲线 C 上的动点,点 A(2,0),M 是线段 AP 的中点。 ( I )求点 M 轨迹的直角坐标方程; ( II)求证点 M 到点 E( ,0)、F(3、0)的距离之比是常数。 24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? m 的解集不是空集. ( I )求参数 m 的取值范围的集合 M; ( II)设 a,b M,求证:a+b<ab+1.

乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第一次诊断性测验 文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 选项 1 B 2 B 3 D 4 C 5 A 6 C 7 A 8 B 9 A 10 D 11 A 12 A

1.选 B.【解析】∵ A ? x ?1 ? x ? 1 , ?R B ? x x ? 0 ,∴ A ? ?R B ? x 0 ? x ? 1 . 2.选 B.【解析】∵

?

?

?

?

?

? ?

?

2i ?1 ? i ? 2i 2i ? ? ?1 ? i ,∴ 的实部为 ?1 . 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 1? i

3.选 D.【解析】∵ S5 ?

a1 ?1 ? q 5 ? 1? q

?

S 31 1 31 a1 , a3 ? a1 , ∴ 5 ? . 16 4 a3 4
3
x

4.选 C.【解析】由函数奇偶性定义得 y ? x , y ? tan x 是奇函数, y ? 2 是偶函数, ∵ y ? lg x 的定义域为 ? 0, ?? ? ,∴ y ? lg x 既不是奇函数,又不是偶函数. 5.选 A.【解析】由图可知, zmin ? 2 ?1 ? 1 ? 3 .

6.选 C.【解析】该几何体的直观图,如图所示 可知, ?PAB, ?PBC, ?PAD 是直角三角形, ∵ PC ? PA ? AC ? 9 , PD ? PA ? AD ? 8 ,
2 2 2 2 2 2

CD 2 ? 5 ,

PD2 ? PC 2 ? CD2 , ?PCD 不是直角三角形.
7.选 A.【解析】∵图象经过点 P 1 ? ?1, 0 ? , P 2 ? 0,1? ,

?? ? ? ? k1? ? ?sin ? ?? ? ? ? ? 0 ? ∴? ,解得 ? ?, ? ? 2 k ? ? sin ? ? 1 ? ? 2 ? ? 2
由 ? ? 0, ? ?

?
2

及函数在区间 ? 0,1? 上是单调函数,可得 ? ? ? ?

?
2

,∴ T ? 4

8. 选 B. 【 解 析 】 记 两 件 正 品 分 别 为 a, b , 次 品 为 c , 由 题 意 , 取 两 件 产 品 的 所 有 可 能 为

? a, a ? , ? a, b ? , ? a, c ? , ? b, a ? , ? b, b ? , ? b, c ? , ? c, a ? , ? c, b ? , ? c, c ? ,共 9 种情形,符合条件的共有
4 . 9 1 9.选 A.【解析】执行第一次运算时: a ? 2014, b ? ? ,i ?1 2013 1 2013 执行第二次运算时: a ? ? ,b ? ,i ? 2 2013 2014 2013 执行第三次运算时: a ? , b ? 2014, i ? 3 2014 ∴输出 i ? 3

? a, c ? , ? b, c ? ? c, a ? , ? c, b ? 4 种情形,故,所求概率为

10.选 D.【解析】设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l0 ,分别过点 A, B 作直线 l0 的
2

垂线,垂足分别为 M , N ,由抛物线定义,得 AB ? AF ? BF ? AM ? BN ?

xA ?

p p ? xB ? ? xA ? xB ? p ? 2 xC ? p ? 8 .( C 是 AB 的中点) 2 2

11.选 A.【解析】设 AB, AC 中点分别为 M , N , 则 OM ? AM ? AO ?

???? ?

???? ? ????

? ??? ? ???? ? 1 ? ???? 1 ??? ? ??? AB ? s ? AB ? t ? AC ? ? ? s ? AB ? t AC 2 ?2 ?

?

?

???? ???? ???? 1 ???? ??? ? ???? ? 1 ? ???? ??? ? ON ? AN ? AO ? AC ? s ? AB ? t ? AC ? ? ? t ? AC ? s AB 2 ?2 ?

?

?

由外心 O 的定义知, OM ? AB, ON ? AC ,因此, OM ? AB ? 0 , ON ? AC ? 0

???? ?

??? ? ????

????

???? ? ??? ?

???? ??? ?

? ???? ? ??? ? ? 2 ???? ??? ? ?? 1 ? ??? ?1 ? ??? ?? 2 ? s ? AB ? t AC ? ? AB ? 0 ,∴ ? 2 ? s ? AB ? t AC ? AB ? 0 ?① ? ? ? ?? ?
同理: ?

? ? 1 ? ???? 2 ???? ??? ? t ? AC ? s AC ? AB ? 0 ?② ?2 ?

∵ BC ? AC ? AB ,∴ BC ? AC ? AB

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?2

?

??? ? ??? ?

?

2

??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ?2 ? AC ? 2 AC ? AB ? AB

???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? AC 2 ? AB 2 ? BC 2 1 ? ? ?③ ∴ AC ? AB ? 2 2
把③代入①②得 ?

?1 ? 2 s ? t ? 0 4 3 ,解得 s ? , t ? . 5 5 ? 4 ? s ? 8t ? 0

12.选 A.【解析】易知, f ? x ? ? ln e ? 1
x

?

? ? x ? 0 ? 为增函数,
3b, ∴ f ? a ? ? 2a ? f ? b ? ? 3b , 即

∴若 0?a?b ,则有 f

? a? ? f? b ? , 又 2a ? 2b?

f ? a ? ? 2a ? f ? b ? ? 3b 成立,
∴它的逆否命题:若 f ? a ? ? 2a ? f ? b ? ? 3b ,则 a ? b 成立;

g ? x ? ? ln ? e x ? 1? ? 2 x 在 ? 0, ln 2 ? 递增,在 ? ln 2, ?? ? 递减,

g ? x ?max ? g ? ln 2 ? ? ?2 ln 2 ; g ? x ? ? ? ??, ?2 ln 2?

3? ? ? 3 ? ? ? x ? ? ln ? e x ? 1? ? 3 x 在 ? 0, ln ? 递增,在 ? ln , ?? ? 递减, 2? ? ? 2 ?

? ? x ?max ? ? ? ln ? ? 2 ln 2 ? 3ln 3 , ? ? x ? ? ? ??, 2ln 2 ? 3ln 3? ; 2
?
当 y0 ? 2 ln 2 ? 3ln 3 时,方程 g ? x ? ? y0 有两解 x1 , x4 ,不妨设 x1 ? x4 ; 方程 ? ? x ? ? y0 也有两解 x2 , x3 ,不妨设 x2 ? x3 ; 又当 x ? 0 时, g ? x ? ? ? ? x ? ,∴ x1 ? x2 ? x3 ? x4 , 这样当 f ? a ? ? 2a ? f ? b ? ? 3b ? y0 时,就有 a ? b ,或 a ? b ,故,C. D.不正确. 二、填空题 :共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 2 .【解析】∵ f ? ?1? ? ?1 ? 2 ? 1 ,∴ f

? ?

3?

? f ? ?1? ? ? 2

1

? 2.

14.填

5 5 1 b 1 .【解析】根据题意此双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,∴ ? ∴ e ? . 2 2 2 a 2
? 1 ? 1 1 ? ? ? n ? 1? ?1 ? n , ? 是公差为 1的等差数列,∴ an ? 1 a1 ? 1 ? an ? 1 ?

15.填 1 .【解析】 ∵ ? ∴ an ?

1 n ?1 n ?1 ,∴ lg an ? lg ?1 ? ? lg ? n ? 1? ? lg n n n n

∴数列 ?lg an ? 的前 9 项和为 S9 ? ? lg 2 ? lg1? ? ? lg 3 ? lg 2 ? ? ? ? ? lg10 ? lg 9 ? ? 1. 16.填

3 .【解析】如图,设 P ? ABCD 的外接球的球心为 G , 4
上下底

∵ A, B, C, D 在球面上,∴球心在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1

面中心连线 O1O 上,点 P 也在球上,∴ GP ? GA ? R ∵棱长为 1 ,∴ OA ?

2 ,设 O1 P ? x, O1G ? y , 2
2 2 2

则 OG ? 1 ? y ,在 Rt ?GO1P 中,有 R ? x ? y ?①,

? 2? 3 2 在 Rt ?GOA 中, R ? ? ?②,将①代入②,得 x 2 ? ? 2 y , ? 2 ? ? ? ?1 ? y ? 2 ? ?
2

2

∵0 ? x ?

2 3 1 3 2 1 ?9 3 ? 2 2 2 , ∴ ? y? , ∴ R ? x ?y ? ? 2 于是 R y ? y2 ? y ? ?1 ? ? ? ? , ? , 2 2 2 1 2 4 ?6 4 ?

的最小值为 三、解答题 17.(12 分)

3 . 4

(Ⅰ)∵ a ? b ? c ,∴ cos C ?
2 2 2

a 2 ? b2 ? c2 ? ? 0 ,∴ ? C ? ? ,故 ? ? 2C ? 2? 2ab 2
?6 分

由 sin ? 2C ?

? ?

??

1 1 4? 2? ,即 C ? ; ? ? ,得 cos 2C ? ? ,∴ 2C ? 2? 2 2 3 3

?? ? sin A ? sin ? ? A ? 1 sin A ? 3 cos A a ? b sin A ? sin B ?3 ??2 2 (Ⅱ) ? ? 2? c sin C 3 sin 3 2
? 2 ?? ? sin ? A ? ? 3? 3 ?
3 ?? 2? ? ? ? 2? ? ? sin ? A ? ? ? 1 ,知 0 ? A ? ,故 ? A ? ? ,∴ 2 3? 3 3 3 3 3 ?
?12 分

由C ?



2 3 a?b 2 a?b 2 ? ? ? ,即 1 ? ? 3 c c 3 3 2 3

18.(12 分) (Ⅰ)取 B1 D 的中点 O ,连接 OE , OP ,

在 ?B1CD 中, P 是 B1C 的中点, O 是 B1 D 的中点,

1 CD , 2 正方形 ABCD 中, E 是 AB 的中点, 1 ∴ BE ∥ CD ,且 BE ? CD , 2
∴ OP ∥ CD ,且 OP ? ∴ OP ∥ BE 且 OP ? BE ,∴ PB ∥ OE ,又 PB ? 平面 B1 ED , OE ? 平面 B1 ED ∴ PB ∥平面 B1 ED ; (Ⅱ)∵ PB ∥平面 B1 ED , ∴点 P 到平面 B1 ED 的距离等于点 B 到平面 B1 ED 的距离,设其为 h ∵ S?BED ? ?6 分

1 1 1 1 BE ? AD ? , VB1 ? BED ? S?BED ? B1B ? 2 4 3 12
5 , B1 D ? 3 2 DE 2 ? DO 2 ? 2 1 6 ,∴ S?B1ED ? B1 D ? EO ? 2 2 4

在 ?B1ED 中, B1 E ? DE ?

在 ?EOD 中,可得 EO ?

1 6 6 1 6 VB ? B1ED ? S?B1ED ? h ? h ,由 VB ? B1ED ? VB1 ? BED 得, h ? ,∴ h ? 3 12 12 12 6
∴点 P 到平面 B1 ED 的距离等于 19.(12 分) (Ⅰ) 工资薪金所得的 5 组区间的中点值依次为 3 000,5 000,7 000,9 000,11000 ,x 取这些值的概 率 依 次 为 0. 15, 0. 3, 0. 4, 0. 1, 0. , 05 算得与其相对应的“全月应纳税所得额”依次为 按工资个税的计算公式, 相应的工资个税分别为:0(元) , 0, 1500, 3500, 5500, (元) 7500,

6 . 6

?12 分

1500 ? 3% ? 0 ? 45 (元), 3500 ?10% ?105 ? 245 (元), 5500 ? 20% ? 555 ? 545 (元), 7500 ? 20% ? 555 ? 945 (元);
∴该市居民每月在工资薪金个人所得税总收入为

? 45 ? 0.3 ? 245 ? 0.4 ? 545 ? 0.1 ? 945 ? 0.05 ? ?106 ? 2.1325 ?108 (元);
(Ⅱ)这 5 组居民月可支配额 y 取的值分别是 y1 , y2 , y3 , y4 , y5

?6 分

y1 ? 3000 (元); y2 ? 5000 ? 45 ? 4955 (元); y3 ? 7000 ? 245 ? 6755 (元);
y4 ? 9000 ? 545 ? 8455 (元); y5 ? 11000 ? 945 ? 10055 (元);
可看出 y ? 7000 的有 y1 , y2 , y3 , P ? y ? 7000 ? ? 0.15 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.85 20.(12 分) (Ⅰ) 已知直线直线 x ? y ? 1 ? 0 经过椭圆 C : ?12 分

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的短轴端点 ? 0, b ? 和右焦点 a 2 b2

F ? c, 0 ? ,可得 b ? c ? 1 ,∴ a 2 ? b2 ? c2 ? 2
故椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1; 2

?5 分

(Ⅱ)由椭圆 C 的方程可得右焦点为 F ?1, 0 ? ,因为直线 AB 的斜率为 k ,且直线经过右焦点 F , 所以直线 AB 的方程为 y ? k ? x ? 1? , 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则点 D 的坐标为 ? x1 , ? y1 ? ⑴当 k ? 0 时,因为点 B, D 在椭圆 C 上,∴
2 x2 x2 2 2 ? y2 ? 1, 1 ? ? ? y1 ? ? 1 ?① 2 2

∴?

2 x12 ? x2 2 ? ? y12 ? y2 ? ? 0 ,依题意知 x1 ? x2 2

∴直线 BD 的斜率 k BD ?

y2 ? ? ? y1 ? x2 ? x1

?

1 x1 ? x2 2 y1 ? y2

则直线 BD 的方程为 y ? y2 ?

1 x1 ? x2 ? x ? x2 ? ?② 2 y1 ? y2

由①②得

? x1 ? x2 ? x ?
2

? y2 ? y1 ? y ?

x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ?③ 2
2 x2 ?? k ? x ? 1? ? ?1, ? ? 2

把直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程得 即 1 ? 2k

?

2

?x

2

? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ?④

∵ x1 , x2 是方程④的两个实数解,∴ x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 x x ? , ?⑤ 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

又 y1 ? k ? x1 ? 1? , y2 ? k ? x2 ? 1? , ∴ y1 y2 ? k ? x1 ? 1? k ? x2 ? 1? ? k ? ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1? ? ?⑥
2

? 2k 2 ? 2 ? 4k 2 ?k 2 ? ?1 ? 把⑤代入⑥得, y1 y2 ? k ? ?⑦ 2 2 1 ? 2k 2 ? ? 1 ? 2k ? 1 ? 2k
2

把⑤⑦代入③得,

4k 2 x 2k 2 ? 2 1 ?k 2 ? ? y ? y y ? ? ? ?1 ? ? 2 1 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2



2k 2 4k 2 ,令 y ? 0 ,解得 x ? 2 x ? y ? y y ? ? 2 1? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

此时,直线 BD 过定点 ? 2, 0 ? ⑵当 k ? 0 时,点 A, B 为椭圆 C 的长轴端点,故点 D 与点 A 重合,此时直线 BD 即为 x 轴, 而 x 轴过点 ? 2, 0 ? ,则直线 BD 也过点 ? 2, 0 ? 综上所述,直线直线 BD 过定点 ? 2, 0 ? . ?12 分

21.(12 分)
x (Ⅰ)∵ f ? x ? ? e ? ln ? x ? 1? ,∴ f ? ? x ? ? e ?
x

1 ,则 f ? ? 0 ? ? 2 x ?1

又 f ? 0 ? ? e ? ln1 ? 1
0

∴函数 y ? f ? x ? 图象在点 0, f ? 0 ? 处的切线方程为: y ? f ? 0 ? ? f ? ? 0 ? x , 即函数 y ? f ? x ? 图象在点 0, f ? 0 ? 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ; (Ⅱ)当 a ? 2 时,则 2 ? a ? 0 ?① 令 g ? x ? ? f ? x ? ? ax ? 1 则 g? ? x? ? f ? ? x ? ? a ? e ?
x
x

?

?

?

?

?6 分

1 ?a x ?1
x

令 ? ? x ? ? e ? x ? 1 ? x ? R ? ,则 ? ? ? x ? ? e ? 1 ? x ? R ? ,由 ? ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 0 当 x ? 0 时, e ? 1 ,即 e ? 1 ? 0 ;当 x ? 0 时, e ? 1 ,即 e ? 1 ? 0
x x x x

∴函数 ? ? x ? ? e ? x ? 1 在 ? ??, 0 ? 为减函数,在 ? 0, ?? ? 为增函数
x

∴ ? ? x ?min ? ? ? 0 ? ? 0 ,即 ? ? x ? ? 0 ∴对 ?x ? R ,都有 e ? x ? 1
x

故,当 x ? 0 时, x ? 1 ? 0 , e ?
x

1 1 ? x ?1? ?2 x ?1 x ?1

? x ? 1? ?

1 ?2 x ?1

∴ ex ?

1 ? a ? 2 ? a ? 0 ,∴ g ? ? x ? ? 0 , x ?1

∴若 a ? 2 ,函数 y ? g ? x ? ,在 ? 0, ?? ? 为增函数,∴当 x ? 0 时, g ? x ? ? g ? 0 ? ? 0 ∴当 a ? 2 时, x ? 0 ,有 f ? x ? ? ax ? 1 成立. ?12 分

22.(10 分) (Ⅰ)∵ ?CDE ? ?ODB ? ?OBD 又∵ AC 与 ? O 切于点 A , AD 是弦,∴ ?DAE ? ?OBD ∴ ?CDE ? ?DAE ; ?5 分 (Ⅱ)∵ ?CDE ? ?CAD , ?C ? ?C ,∴ ?CDE ∽ ?CAD

CD DE DE ,∴ CD ? AC ? ?① ? AC AD AD DE AE 而 ?ADE ∽ ?BAE ,∴ ?② ? AD AB AE 由①②得 CD ? AC ? AB 又∵ AC ? AB ,∴ AE ? CD .
∴ 23.(10 分) (Ⅰ)曲线 C 的参数方程为 ?

?10 分

? x ? 2 cos ? ,设 P ? 2 cos ? , 2sin ? ? , M ? x, y ? ? y ? 2sin ?

2 cos ? ? 2 ? x? ? cos ? ? 1 ? 2 ? 2 2 则? ,即 ? x ? 1? ? y ? 1 ? x ? 2 ? ; ? y ? 2sin ? ? sin ? ? ? 2
(Ⅱ)设 M ? cos ? ? 1,sin ? ? ,

?5 分



ME MF

?

3? ? 2 ? cos ? ? 1 ? ? ? sin ? 2? ?

5 ? cos ? 1 4 ? ? . 2 5 ? 4 cos ? 2 ? cos ? ? 1 ? 3? ? sin 2 ?

2

?10 分

24.(10 分)

?7 ? 2 x ? x ? 3 ? ? (Ⅰ)设函数 y ? x ? 3 ? x ? 4 ,则 y ? ?1 ? 3 ? x ? 4 ? ,画出其图象,可知 ymin ? 1, ? ?2 x ? 7 ? x ? 4 ?
要使不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? m 的解集不是空集,需且只需 m ? 1 ∴ m 的取值范围的集合 M ? ?1, ?? ? ; (Ⅱ)∵ a, b ? M ,∴ a ? 1, b ? 1 ∵ a ? b ? ? ab ? 1? ? ? a ? ab ? ? ? b ? 1? ? ? a ? 1??1 ? b ? ∵ a ? 1 ? 0,1 ? b ? 0 ,∴ ? a ? 1??1 ? b ? ? 0 , ∴ a ? b ? ab ? 1 . ?10 分 ?5 分


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