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导学案026平面向量基本定理及其坐标表示


济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 025

班级:高三(



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平面向量的基本定理及其坐标表示 考纲要求 1.了解平面向量基本定理及其意义,会用平面向量基本定 理解决简单问题. 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法

与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 考情分析 1.平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点. 2.向量的坐标运算可能单独命题,更多的是与其他知识点交汇,其中以与三角和 解析几何知识结合为常见. 3.常以选择题、填空题的形式出现,难度为中、低档. 教学过程 基础梳理 一、平面向量基本定理及坐标表示 1.平面向量基本定理:如果 e1与e2 是同一平面内的两个( 向量,那么对于这一平面内的任意向量 a, = 组 )

一对实数λ 1,λ 2,使 a

.其中,不共线的向量 e1与e2 叫做表示这一平面内所有向量的一 .

2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作 为基底.对于平面内的一个向量 a,有且只有一对实数 x、y,使 a=xi+yj,把 有序数对 ( ) 叫做向量 a 的坐标,记作 a= ( ) , 其中 叫做 a 在 x 轴上的坐标, 叫做 a 在 y 轴上的坐标. (2)设向量 OA=xi+yj,则向量 OA 的坐标(x,y)就是 的坐标,即向量 OA=(x,y),则 A 点坐标为 ( ) ,反之亦成立.(O 是坐标原点) 二、平面向量坐标运算 1.向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a=(x1, y1), b=(x2, y2), a+b= ( 则 a-b=( , ( , ).

, )

) λ a=

2.向量坐标的求法 (1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则向量 AB=(
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| AB |= 三、平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0.若 a∥b? 双基自测

.

1.下列各组向量:①e1=(-1,2),e2=(5,7);②e1=(3,5),e2=(6,10); 3? ?1 ③e1=(2,-3),e2=? ,- ?,能作为表示它们所在平面内所有向量基底的 4? ?2 是 ( ) B.①③ D.①②③

A.① C.②③

2.已知向量 a=(1,1),2a+b=(4,3),c=(x,-2)且 b∥c,则 x 的值为 ( ) A.4 C.2 B.-4 D.-2

3.(教材习题改编)已知两点 A(4,1),B(7,-3),则与 AB 同向的单位向量 是 4? ?3 A.? ,- ? 5? ?5 ? 4 3? C.?- , ? ? 5 5? ? 3 4? B.?- , ? ? 5 5? 3? ?4 D.? ,- ? 5? ?5 ( )

4.在平行四边形 ABCD 中,若 AB=(1,3),AC=(2,5),则 AD =________, BD=________. 5.梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,M,N 分别是 CD,AB 的中点,设 AB=a, AD=b.若 MN=ma+nb,则 =________.

n m

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典例分析 考点一 平面向量基本定理 [例 1] (2012·南京模拟)在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和

BC 的中点.若 AC=λ AE+μ AF,其中 λ ,μ ∈R,则 λ +μ =________.

变式 1.(2012·舟山模拟)如图,平面内的两条相交直线 OP1 和 OP2 将该平面分割 成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包含边界).设 OP=mOP1+nop2,且点 P 落在第 Ⅲ部分,则实数 m,n 满足( )

A.m>0,n>0 C.m<0,n>0

B.m>0,n<0 D.m<0,n<0

用向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件 和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.在基底未给出的情况下, 合理地选取基底会给解题带来方便, 另外, 要熟练运用平面几何的一些性质定理. 考点二、平面向量的坐标运算 [例 2] (2012·绍兴模拟)在平行四边形 ABCD 中, 为一条对角线, AC AB=(2,4), AC=(1,3),则 BD= A.(2,4) C.(-3,-5) ( ) B.(3,5) D.(-2,-4)

变式 2.(2012·淮安模拟)已知向量 a=(6,4),b=(0,2),OC=a+λ b,O 为坐 ?π ? 标原点,若点 C 在函数 y=sin ? x?的图象上,则实 数 λ 的值为________. ?12 ?

1.向量的坐标运算实现了向量运算代数化,将数与形结合起来,从而使几何问 题可转化为数量运算. 2.两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同.此时注意方程(组)思想的应用. 提醒:向量的坐标与点的坐标不同:向量平移后,其起点和终点的坐标都变了, 但向量的坐标不变.
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考点三、平面向量共线的坐标表示 [例 3] (2011·广东高考)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4). 若 λ 为实数,(a+λ b)∥c 则 λ = ( ) A. 1 4 B. 1 2

C.1

D.2

变式 3.(2011·北京西城区期末)已知点 A(-1,1),点 B(2,y),向量

a=(1,2),若 AB∥a,则实数 y 的值为
A.5 C.7 B.6 D.8

(

)

向量平行(共线)的充要条件的两种表达形式是:a∥b(b≠0)?a=λ b,或 x1y2 -x2y1=0,至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定.利用两个向量共线 的条件列方程(组),还可求未知数的值.

一个区别 向量坐标与点的坐标的区别: → 在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA=a,点 A 的位置被向量 a 唯一确 定,此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x,y),但应注意其表示形式的区别,如 点 A(x,y),向量 a=→=(x,y). OA → → OA → 当平面向量→平行移动到O1A1时,向量不变,即O1A1=→=(x,y),但O1A1的起点 OA

O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化.
两个防范 (1)要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完 全不同,向量坐标中既有方向也有大小的信息. (2)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 = ,因为 x2,

x1 y1 x2 y2

y2 有可能等于 0,所以应表示为 x1y2-x2y1=0.
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本节检测 1.设平面向量 a=(-1,0),b=(0,2),则 2a-3b=( A.(6,3) C.(2,1) B.(-2,-6) D.(7,2) )

2.(2012·黔西南州模拟)已知向量 a=(1,1),b=(2,x),若 a+b 与 4b-2a 平行,则实数 x 的值是( A.-2 C.1 ) B.0 D.2

3. (2012·宁德模拟)已知 a=(1,1), b=(1, -1), c=(-1,2), c 等于( 则 1 3 A.- a+ b 2 2 3 1 C.- a- b 2 2 1 3 B. a- b 2 2 3 1 D.- a+ b 2 2

)

??? ? ??? ? 4.(2012·嘉兴模拟)已知 a,b 是不共线的向量, AB =λ a+b, AC =a+μ b,
λ ,μ ∈R,那么 A、B、C 三点共线的充要条件为( A.λ +μ =2 C.λ μ =-1 B.λ -μ =1 D.λ μ =1 )

5.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线 ??? ? ??? ? ???? 与 CD 交于点 F.若 AC =a, BD =b,则 AF =( ) 1 1 A. a+ b 4 2 1 1 C. a+ b 2 4 2 1 B. a+ b 3 3 1 2 D. a+ b 3 3

6.(2011·湖南高考)设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=(2,1),且 a 与 b 的方向
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相反,则 a 的坐标为________.

7.设 e1、e2 是平面内一组基向量,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量 e1+e2 可以表示为另一组基向量 a、b 的线性组合,即 e1+e2=________a+________b.

自我反思

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