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全国通用2018高考数学一轮复习第5章数列第4节数列求和课时分层训练文

时间:2017-08-19


课时分层训练(三十一)
A 组 基础达标

数列求和

(建议用时:30 分钟) 一、选择题 1 1 1 1 1 1.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,?,(2n-1)+ n,?的前 n 项和 Sn 的值等于( 2 4 8 16 2 )

【导学号:31222189】 A.n +1- C.n +1- A

2 2

1 n 2 1 2
n-1

1 2 B.2n -n+1- n 2 1 2 D.n -n+1- n 2

1 [该数列的通项公式为 an=(2n-1)+ n, 2

1? ?1 1 则 Sn=[1+3+5+?+(2n-1)]+? + 2+?+ n? 2? ?2 2 1 2 =n +1- n.] 2 2. (2016·安徽江南十校 3 月联考)在数列{an}中, an+1-an=2, Sn 为{an}的前 n 项和. 若

S10=50,则数列{an+an+1}的前 10 项和为(
A.100 C.120 C

) B.110 D.130

[{an+an+1}的前 10 项和为 a1+a2+a2+a3+?+a10+a11=2(a1+a2+?+a10)+a11-

a1=2S10+10×2=120.故选 C.]
3. (2016·湖北七校 2 月联考)中国古代数学著作 《算法统宗》 中有这样一个问题: “三 百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请 公仔细算相还.”其意思为:有一个人走 378 里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天 走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地,请问第二天走了( A.192 里 C.48 里 B.96 里 D.24 里 )

B

1 [由题意, 知每天所走路程形成以 a1 为首项, 公比为 的等比数列, 则 2

a1?1- 6? 2

? ?

1?

?

1 1- 2

=378,

解得 a1=192,则 a2=96,即第二天走了 96 里.故选 B.] 4.(2016·江西高安中学第九校联考)已知数列 5,6,1,-5,?,该数列的特点是从第 二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前 16 项之和 S16 等于( )
1

A.5 C.7 C

B.6 D.16

[根据题意这个数列的前 8 项分别为 5,6,1,-5,-6,-1,5,6,发现从第 7 项起,

数字重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为 6,前 6 项和为 5+6+1+(-5)+(-6) +(-1)=0. 又因为 16=2×6+4,所以这个数列的前 16 项之和 S16=2×0+7=7.故选 C.] 5. 已知函数 f(x)=x 的图象过点(4,2), 令 an= 的前 n 项和为 Sn,则 S2 017=( A. 2 016-1 C. 2 018-1 C
a

1

f?n+1?+f?n?

, n∈N , 记数列{an}

*

) 【导学号:31222190】 B. 2 017-1 D. 2 018+1

1 1 a [由 f(4)=2 得 4 =2,解得 a= ,则 f(x)=x . 2 2 1 1 = = n+1- n, f?n+1?+f?n? n+1+ n

∴an=

S2 017= a1+a2+ a3+?+ a2 017= ( 2 - 1)+( 3 - 2) +( 4 - 3)+?+( 2 018 -
2 017)= 2 018-1.] 二、填空题 6.设数列{an }的前 n 项和为 Sn,且 an=sin


2

,n∈N ,则 S2 016=__________. 【导学号:31222191】

*

0

[an=sin


2

,n∈N ,显然每连续四项的和为 0.

*

S2 016=S4×504=0.]
7.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差 数列”的通项公式为 2 ,则数列{an}的前 n 项和 Sn=__________. 2
n +1 n

-2 [∵an+1-an=2 ,

n

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 =2
n-1

+2

n-2

2-2 2 n n +?+2 +2+2= +2=2 -2+2=2 . 1-2

n

2-2 n+1 ∴Sn= =2 -2.] 1-2 8.(2017·广州综合测试(二))设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=12,Sn=kn -1(n
?1? * ∈N ),则数列? ?的前 n 项和为__________. ?Sn?
2

n+1

2

n [令 n=1 得 a1=S1=k-1,令 n=2 得 S2=4k-1=a1+a2=k-1+12,解得 k= 2n+1
1 2 4,所以 Sn=4n -1, =

? ? Sn 4n2-1 ?2n+1??2n-1? 2?2n-1 2n+1?
= = -

1

1

1? 1

1 ?

?1? ,则数列? ?的前 ?Sn?

1 ? 1? 1 ? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 n - n 项和为 ? - ?+ ? - ?+?+ ? .] ?= ?1- ?= 2?1 3? 2?3 5? 2?2n-1 2n+1? 2? 2n+1? 2n+1 三、解答题 9.(2017·成都二诊)已知数列{an}中,a1=1,又数列? 列. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. [解] (1)∵数列? ∴ 2
? 2 ? ?是首项为 2,公差为 1 的等差数列, ?nan? ? 2 ? ?(n∈N*)是公差为 1 的等差数 na n ? ?

nan

=2+(n-1)=n+1,3 分 2 .5 分 n?n+1? 1 ? 2 ?1 =2? - ?, n?n+1? ?n n+1?

解得 an=

(2)∵an=

1 ?? ?? 1? ?1 1? ?1 ∴Sn=2??1- ?+? - ?+?+? - ?? ?? 2? ?2 3? ?n n+1?? =2?1-

? ?

1 ? 2n = .12 分 n+1? ? n+1

10.(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=[an],求数列{bn}的前 10 项和,其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.9] =0,[2.6]=2. [解] (1)设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,
?2a1+5d=4, ? 由题意有? ? ?a1+5d=3,

a1=1, ? ? 解得? 2 d= . ? ? 5
2n+3 .5 分 5

3分

所以{an}的通项公式为 an= (2)由(1)知,bn=?

?2n+3?. ? ? 5 ?

2n+3 当 n=1,2,3 时,1≤ <2,bn=1; 5
3

2n+3 当 n=4,5 时,2≤ <3,bn=2;8 分 5 2n+3 当 n=6,7,8 时,3≤ <4,bn=3; 5 2n+3 当 n=9,10 时,4≤ <5,bn=4. 5 所以数列{bn}的前 10 项和为 1×3+2×2+3×3+4×2=24.12 分 B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1. 已知等比数列{an}的各项都为正数, 且当 n≥3 时, a4a2n-4=10 , 则数列 lg a1,2lg a2,2 lg
2n 2

a3,23lg a4,?,2n-1lg an,?的前 n 项和 Sn 等于(

) 【导学号:31222192】

A.n·2

n

B.(n-1)·2
n

n-1

-1

C.(n-1)·2 +1 C

D.2 +1

n

[∵等比数列{an}的各项都为正数,且当 n≥3 时,

2n n a4a2n-4=102n,∴a2 n=10 ,即 an=10 ,

∴2

n-1

lg an=2

n-1

lg 10 =n·2
2

n

n-1


n-1

∴Sn=1+2×2+3×2 +?+n·2
2 3

,①
n

2Sn=1×2+2×2 +3×2 +?+n·2 ,② ∴①-②得-Sn=1+2+2 +?+2 -1)·2 +1.] 2 .(2017·合肥二次质检) 已知数列 {an}的前 n 项和为 Sn ,若 Sn= 2an- 2 ,则 Sn = __________.
n n
2

n-1

-n·2 =2 -1-n·2 =(1-n)·2 -1, ∴Sn=(n

n

n

n

n

n·2n(n∈N*) [由 Sn=2an-2n 得当 n=1 时,S1=a1=2;当 n≥2 时,Sn=2(Sn-Sn-1)-
2, 即 n- n-1=1, 所以数列? n?是首项为 1, 公差为 1 的等差数列, 则 n=n, Sn=n·2 (n≥2), 2 2 2 ?2 ? 当 n=1 时,也符合上式,所以 Sn=n·2 (n∈N ).] 3. (2017·广州综合测试(二))设 Sn 是数列{an}的前 n 项和, 已知 a1=3, an+1=2Sn+3(n ∈N ). (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解] (1)当 n≥2 时,由 an+1=2Sn+3 得 an=2Sn-1+3, 两式相减,得 an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an, ∴an+1=3an,∴
*

n

Sn Sn-1

?Sn?

Sn

n

n

*

an+1 =3. an

4

当 n=1 时,a1=3,a2=2S1+3=2a1+3=9,则 =3.3 分 ∴数列{an}是以 a1=3 为首项,公比为 3 的等比数列. ∴an=3×3
n-1

a2 a1

=3 .5 分
n

n

(2)法一:由(1)得 bn=(2n-1)an=(2n-1)·3 ,7 分 ∴Tn=1×3+3×3 +5×3 +?+(2n-1)·3 ,① 3Tn=1×3 +3×3 +5×3 +?+(2n-1)·3
2 3 2 3 4 2 3

n

n+1

,②
n n+1

①-②得-2Tn=1×3+2×3 +2×3 +?+2×3 -(2n-1)·3 =3+2×(3 +3 +?+3 )-(2n-1)·3 3 ?1-3 ? n+1 =3+2× -(2n-1)·3 1-3 =-6-(2n-2)·3 ∴Tn=(n-1)·3
n+1 n+1
2 2 3

n

n+1

n-1

.10 分

+3.12 分
n

法二:由(1)得 bn=(2n-1)an=(2n-1)·3 .7 分 ∵(2n-1)·3 =(n-1)·3 ∴Tn=b1+b2+b3+?+bn =(0+3)+(3 +0)+(2×3 -3 )+?+[(n-1)·3 =(n-1)·3
n+1
3 4 3

n

n+1

-(n-2)·3 ,

n

n+1

-(n-2)·3 ]

n

+3.12 分

5


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