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云南民族中学2015届高考适应性月考卷(四)文数-答案


云南民族中学 2015 届高考适应性月考卷(四) 文科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 A 5 B 6 B 7 D 8 C 9 C 10 B 11 C 12 C

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大

题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 13
10

14

15

16 24π

0, ? 3,

3

2x ? y ? 0 或 x ? y ? 3 ? 0

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)

? ? ? ? 解:(Ⅰ) f ( x) ? sin 2x cos ? cos2 x sin ? cos2 x cos ? sin 2 x sin ? cos2 x 3 3 6 6
?? ? = sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? , 4? ?

所以函数 f ( x) 的最小正周期为 ? .

………………………………………………(6分) …………………………………………(9分)

? ? ? ? 3? (Ⅱ) ? ≤ x ≤ ? ? ≤ 2 x ? ≤ , 4 4 4 4 4
由函数 f (t ) ? 2 sin t 的图象性质知,

? ? ?? 函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 . ? 4 4?

………………(12 分)

18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由题意 0 ? q ? 1 ,
S3 1 ? ? q ? 2 ,且 10 是 a 2 、 a 4 的等差中项 ? a1 ? 2 , S5 ? S 2 4

所以 {an } 的通项公式为 an ? 2n . ……………………………………………………(5 分)
2 (Ⅱ) bn ? 2log 2 an ? 2n , (?1)n bn = (?1)n 4n2 , ……………………………………(7 分)

文科数学参考答案·第 1 页(共 4 页)

2 {(?1)n bn } 的前 2n 项和 T2 n =4 {(22 ? 12 ) ? (42 ? 32 ) ? (62 ? 52 ) ?

? [(2n )2 ? (2n ? 1)2 ]}

? 4[3 ? 7 ? 11 ? 15 ?

? (4n ? 1)] = 4n(2n ? 1) .

……………………………………(12分)

19. (本小题满分12分) (Ⅰ)证明:如图1所示, EF∥CD,CD∥AB,? EF∥AB, 又 EF ? 平面PAB,AB ? 平面PAB,

? EF∥平面PAB. ……………………………………(6分)
(Ⅱ)解:依题意E到平面ACD的距离等于AP的一半, ………………………………………………(8分)
图1

1 1 1 1 ? VE? ACD ? ? AD ? CD ? AP ? . ………………………………………………(10分) 3 2 2 3

1 ? 三棱锥E?ACD的体积为 . 3
20. (本小题满分 12 分)

……………………………………………………(12分)

解: (Ⅰ)设 P ( x, y) ,圆 P 的半径为 r,由题意有,
y 2 ? 2 ? r 2 ? x2 ? 3 ? y 2 ? x2 ? 1 .

………………………………………………(5 分)

(Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) ,圆 P 的半径为 r, 则
x0 ? y0 2 ? 2 ? x0 ? y0 ? 1 , 2

……………………………………………………(7 分)

P 在双曲线 y 2 ? x2 ? 1 上,

? ? x0 ? y0 ? 1, ? x0 ? 0, ?? ?r ? 3 . ? 2 2 ? y0 ? x0 ? 1 ? y0 ? ?1 ?

………………………………………………(10 分)

故圆 P 的方程为 x2 ? ( y ? 1)2 ? 3 或 x2 ? ( y ? 1)2 ? 3 . ………………………………(12 分) 21. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ?( x) ? ? x2 ? 2x ? m2 ? 1 ,令 f ?( x) = 0,得到 x1 ? 1 ? m , x2 ? 1 ? m , 因为 m>0 ,所以 1 ? m>1 ? m , 由 f ?( x) 在 (1 ? m, 1 ? m) 内为正,在 (??, 1 ? m) 和 (1 ? m, ? ?) 内为负知: 函数 f ( x) 在 (??, 1 ? m) 和 (1 ? m, ? ?) 上是减函数,在 (1 ? m, 1 ? m) 上是增函数, ……………………………………………………………………………………(3 分)

2 1 函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) ? m3 ? m2 ? , 3 3
文科数学参考答案·第 2 页(共 4 页)

2 1 函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) ? ? m3 ? m2 ? . 3 3
……………………………………………………………………………………(6分)

1 (Ⅱ)由题设, f ( x) ? ? x( x ? x1 )( x ? x2 ) , 3 1 所以方程 ? x2 ? x ? m2 ? 1 ? 0 有两个相异的实根, 3 4 m?0? m ? 1 . ………………………………………………(9分) 故Δ = 1 ? (m2 ? 1) ? 0 ??? 3 2
因为 x1 ? x2 , 若 x1 ? 0 ,则在[ x1 , x2 ]上 f ( x) ≥ 0 ,故只要 f (1) ? 0 ? 0 ? m ?
3 ; 3

若 x1 ? 0 ,则在[ x1 , x2 ]上 f ( x) ≥ f (1 ? m) ,故只要 f (1) ? f (1 ? m) ? m ? 0 .

?1 3? 综上,m的取值范围是 ? ? 2, 3 ? ?. ? ?

………………………………………………(12分)

22. (本小题满分10分) 【选修4?1:几何证明选讲】 (Ⅰ)证明:如图 2,设 F 为 AD 延长线上一点, A,B,C,D 四点共圆,? ∠CDF=∠ABC. 又 AB=AC,? ∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB,? ∠ADB=∠CDF,…………………(3 分) 对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF, 即 AD 的延长线平分∠CDE.
图2

……………………………………………………(5 分)

(Ⅱ)解:如图 2,设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H,则 AH⊥BC,连接 OC, 由题意∠OAC=∠OCA= 15 ? ,∠ACB= 75 ? ,? ∠OCH= 60 ? . ……………………(8 分) 设圆半径为 r ,则 r ?
3 r ? 2 ? 3 ,得 r ? 2 ,故△ABC 外接圆的面积为 4 ? . 2

………………………………………………………………………………(10 分) 23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】

? 解:(Ⅰ) l 的普通方程为 y ? 3x , l 的极坐标方程为 ? ? ( ? ? R) , C 的极坐标方程为 3

? ? 4sin ? .

…………………………………………………………………………(3 分)
文科数学参考答案·第 3 页(共 4 页)

3 1 t 代入圆 C 的方程 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,得 t 2 ? 2 3t ? 0 , 把x? t ,y? 2 2

解得 t1 ? 0 , t2 ? 2 3 ,
π? ? 所以 l 与 C 交点的极坐标为 (0, 0) , ? 2 3, ? .……………………………………(5 分) 3? ?

(Ⅱ)弦 AB 的垂直平分线过圆 C 的圆心 (0, 2) ,斜率为 ?

3 3 x ? 2, ,其方程为 y ? ? 3 3

?? ? 由此得 AB 的垂直平分线的极坐标方程为 ? sin ? ? ? ? ? 3 . ……………………(8 分) 6? ? ?? ? ? 由已知 AB 的垂直平分线的极坐标方程为 ? sin(? ? ? ) ? b ? | ? |? ? ,所以 ? ? , b ? 3 . 2? 6 ?

……………………………………………………………………………………(10 分) 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】
??3x ? 7, x ≤1, ? 解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x)? | 6 ? 2 x |?| x ? 1| ?2 | x ? 3 |? ? ? x ? 5, 1 ? x ≤ 3, ? 3x ? 7, x ? 3. ?

……(2 分)

? x ≤1, ?1 ? x ≤ 3, ? x ? 3, 2 或? 或? f ( x)? | 6 ? 2 x |? 5 ? ? ? ? x ? 4, 3 ??3x ? 7 ? 5 ?? x ? 5 ? 5 ?3x ? 7 ? 5
?2 ? 当 a=1 时,不等式 f ( x)? | 6 ? 2 x |? 5 的解集为 ? , 4 ? . ?3 ?

…………………………(5 分)

(Ⅱ) f ( x) ? 6 ? 2 x ? 0 可等价转化为 f ( x) ? 2 x ? 6 .
? ? x ? a, x ≤ a , 又 f ( x) ?| x ? a |? ? ? x ? a, x ? a.

………………………………………………(7 分)

当 a ? 3 时,由 f (5) ? 5 ? a ? 2 ? 5 ? 6 ,得 a ? 1 ; 当 a ? 5 时,由 f (5) ? ?5 ? a ? 2 ? 5 ? 6 ,得 a ? 9 ; 当 3 ≤ a ≤ 5 时,不符合题意. 故所求 a 的取值范围为 (??, 1) (9, ? ?) . ……………………………………(10分)

文科数学参考答案·第 4 页(共 4 页)


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