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首届全国中学生数理化学科能力竞赛高一数学学科能力解题技能全国总决赛试题


首届全国中学生数理化学科能力竞赛 高一数学学科能力解题技能全国总决赛试题
试卷说明:1、本试卷共计 15 题,满分为 120 分 2、考试时间为 120 分钟 一.选择题(每题 5 分,共 30 分) 1. 设 M= {1, 2, 3} , N= {2004, 2005, 2006, 2007, 2008} , 映射 f : M ? N 使得任意的 x ? M, 都有

x ? f ( x) ? xf ( x) 为奇数,这样的映射共有( A 48 个 B 50 个 C 52 个 D 54 个 )

2 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 的 图 象 关 于 点 ( -

3 ,0 ) 对 称 , 且 满 足 4

3 f ( x) ? ? f ( x ? ), f (?1) ? 1, f (0) ? ?2, 则 2

f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2009 ) ?(
A -1 B 0 C 1

) D 2 )

3.由方程 | x ? 1| ? | y ? 1|? 1 确定的曲线所围成的图形的面积为( A 1 B 2 C

?

D 4 )

4.设 x, y ? R,且满足 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 T ? x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y 的最小值为( A 5 B

5

C 0

D -5

5.若实数 a 、 b 、 c 满足 2 b ? 线段中点的轨迹方程是( A C

a + c ,则直线 a x + b y + c ? 0 被圆 x 2 + y 2 ? 5 截得的
) B

1 5 ( x ? ) 2 + ( y ? 1)2 ? 2 4 1 5 ( x ? ) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 4

1 5 ( x ? ) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 4 1 2 5 2 D ( x ? ) ? ( y ? 1) ? 2 4

6 .函数 f 定义在正整数有序数对的集合上,并满足 f ( x, x) ?

x , f ( x, y) ? f ( y, x) ,

x · f ( x, y) ? f ( x, xy) ,则 f (32, 256) 的值为(
A 4096 B 2048 C 1024



D 无法计算.

二.填空题(每题 5 分,共 30 分)

第 1 页 共 3 页

7. ,   log5 3,   0.7

2 3

?

2 5

,  log 1
2

3? 1 从小到大的顺序为_____________________________. , log3 ,   2 8
3 5 2 2 , log c d ? ,若 a ? c ? 19a ? 19c ? 0 ,则 2 4

8.已知 a, b, c, d 均为正整数,且 log a b ?

b?d ?



9 . 设 f ?x ? 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 对 任 意 a, b ? R , 当 a ? b ? 0 时 , 都 有

f ?a ? ? f ?b ? ? 0 .当 f ?a ? ? f ?b? 时,则 a , b 的大小为_________. a?b
10.已知一棱长为 5 6 的正四面体内一点 P 到三个面的距离分别为 1、2、3,则点 P 到第四 个面的距离为 .

11 . 一 三 角 形 三 边 边 长 分 别 是 __________ .

a2 ? b2 , a 2 ? 4b2 ,3b ( a , b 为 正 数 ). 则 它 的 面 积 是

12 .设 [ x ] 为不超过实数 x 的最大整数,则 三.解答题(每题 20 分,共 60 分)

?[ 9 ] ?
k ?1

8

5k



13. 若方程 x ? y ? 4 x ? y ? m ? 0 对 m 的任何一个值都只表示一条直线, 求 m 的取值范围. 14.已知函数 f ( x) ? x ? 9 ? x ? 8 ? x ? 7 ? ? ? x ? 29 ? x ? 30 ,是否存在实数 m , 使得不等式 f ( x) ? 388 ? m ? 15 对于任意 x∈R 恒成立?若存在,求实数 m 的取值范围. 15.如图甲,在直角梯形 A1A2A3D 中,A1A2⊥A1D, A1A2⊥A2A3,且 B、C 分别是边 A1A2、A2 A3 上的一点, 沿线段 BC、CD、DB 分别将△BCA2、△CDA3、 △DBA1 翻折上去恰好使 A1、A2、A3 重合于一点 A(如图乙) . 当 A1D=10、A 1A2=8 时,求二面角 A-CD-B 的平面角的正切值.
2

A1 B A2 C


D B A3

A(A1,A2,A3) D C



首届全国中学生数理化学科能力竞赛 高一数学学科能力解题技能全国总决赛试题答案
一.选择题(每题 5 分,共 30 分) 1.B. 2.D. 3.B. 4.C. 5.A. 6.A.

第 2 页 共 3 页

7. log 1
2

? 3? 1 2 <log3 < <log5 3<0.7 5 . 2 8 3 2

8.757.

9. a ? b .

10.4.

11.

3ab . 2

12.16.

13. m ?{4} (??,0) . 14. ? 3 3, ? 3 ? ( 3, 3 3) .

?

?

15.

17 . 8

第 3 页 共 3 页


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