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1.6-子集与推出关系


1.6-子集与推出关系
Subsets and Inference Relationship

目标与要求 准备与导入 探究与深化

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〔教学目标〕 知识与技能 1.掌握集合之间的关系与推出关系的内在联系。

2.学会等价转化在数学中的应用。


过程与方法

1.知识引入——集合与推出关系的内在联系——
应用举例——练习与巩固提高 。 2.讲练结合法 。 情感态度与价值观 运用类比的观点,揭示事物之间的内在联系, 提升人的认知水平。
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〔学习要求 〕

1.掌握集合之间的关系与推出关系的内在联系。
2.掌握证明充要条件的两个基本步骤。 3.学会等价转化在数学中的应用。

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〔准备与导入一〕
1. 用“?”、“?”、“?”填空: (1) x ? 5 _____ ? x ? 3;

(1-1)

(2) x适合x 2 ? 1 _____ ? x ? 1;
(3) xy ? 0 ______x ? 0且y ? 0.
2. 用“?”、“?”、“?”填空:

?

? B (2) A ? {x | x 2 ? 1}, B ? {x | x ? 1}, A _____
(3) A ? {( x, y) | x. y ? 0}, B ? {( x, y) | x ? 0,且y ? 0}, A ___ = B

? B (1) A ? {x | x ? 5}, B ? {x | x ? 3}, A ____

问题:你是否发现这两题目之间有何联系?
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〔准备与导入二〕

子集与推出关系

(1-1)

研究集合的包含关系与集合性质的推出关系之间的联系 集合 A={x|x>5} B={x|x>3} 集合之间 的关系
A? B

集合性质的推出 关系

x ? 5? x ? 3
x ?1? x ?1
2

A ? {x | x 2 ? 1} B ? {x | x ? 1}
A ? {( x, y) | x. y ? 0} B ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0}

A?B

A? B

x. y ? 0 ? x ? 0, 且y ? 0

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〔探究与深化一〕

(1-1)

已知:A={x|x具有性质α}, B={x|x具有性质β} 求证: A ? B与a ? b 等价 证明:
(1)充分性 :如果 x0 具有性质 α, 那么x0 ? A, 而 A ? B, 所以x0 ? B.那么x0 具有性质 β, 即α?β。
(2)必要性 :如果 x0 ? A, 那么x0 具有性质 α, 由α?β, 可推得 x0 具有性质 β, 所以x0 ? B, 因此 A ? B.

综上所述,A? B与α?β等价.

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〔探究与深化二〕

(1-1)

例1、 试用子集与推出关系来说明α是β的什么条件 (1)α:x=1, β:x? =1; (2)α:正整数 n被5整除,β:正整数n个位是5。
解:(1)设A={x|x=1},B={x|x? =1}。 因为 A={1},B= {x|x? =1}={-1,1}, 所以A ≠ B。 由此得到:“x=1”是“x? =1”的充分非必要条件 (2)A={n|n=5k,k∈N*},B={n|n的个位数是5}


因为A={n|n个位数是5或n的个位数是0},所以 A ? B “正整数n被5整除”是“正整数n个位是5”的必要非 充分条件
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〔探究与深化三〕

(1-1)

例2、设α:1≤x≤3,β:m+1≤x≤2m+4,m∈R,

若α是β的充分条件,求m的范围。 解:设A={x| 1≤x≤3},B={x| m+1≤x≤2m+4,m∈R},
所以 A ? B(如图) 因为α是β的充分条件, B ?m ? 1 ? 2m ? 4 ? A 由图形可得: x ?m ? 1 ? 1 1 3 m+1 2m+4 ?3 ? 2m ? 4 ? 1 解得 ? ? m ? 0 小心 2 1 “ 取值范围”注意边界 [ ? , 0 ] 所以的取值范围是 2 点
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〔练习与评价一〕

(1-1)

1.用子集与推出关系来判断命题A是命题B的什么条件 (1)A:该平面图形是四边形。B:该平面图形是梯形。 A是B的必要非充分条件

(2)A:x=2,B:(x-5)(x-2)=0
A是B的充分非必要条件 ( 3) A: x? =y? ,B:x=y A是B的必要非充分条件 (4)A:a=2,B:a≤2 A是B的充分非必要条件
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〔练习与评价二〕

(1-1)

2、如果命题α:m<-3,β:方程x? -x-m=0无实数 根,那么α是β的什么条件
α是β的充分非必要条件 3、已知命题α:2≤x<4, β:3m-1 ≤x≤-m, 且α是β的充分条件,求实数m的取值范围。

m ?{m | m ? ?4}

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〔练习与评价三〕

(1-1)

(4)已知a为实数,写出关于x的方程 ax? +2x+1=0 至少有一个实数根的充要条件、一个充分条件、 一个必要条件
充要条件a≤1 充分条件不唯一,如 a=0,a<0,a=1等

必要条件不唯一,如a≤8,a≤2,a≤4等

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〔回顾与小结〕

(1-1)

小结:这节课我们主要学习了哪些知识?哪些 思想方法?请你说说看。 1、掌握集合之间的关系与推出关系的内在联系; 即:集合间具有包含关系的充要条件是这些集 合的性质具有推出关系。 2、掌握用集合间的包含关系进行推理的方法, 学会等价转化在数学中的应用。 3、掌握证明充要条件的两个基本步骤;

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〔作业与拓展一〕 1、填空: 已知集合A={a|a具有性质p},B={b|b具有性质q} (1)若A ? B,则p是q的__________条件。 (2)若A ? B,则p是q的__________条件。 (3)若A=B,则p 是q的__________条件。
? 2、如果命题P:A ? B,命题q:A≠ B,那么p是q的 什么条件?

(2-1)

3、已知a为实数,写出关于x的方程ax? +2x+1=0 至少有一个实数根的充要条件、一个充分条件、 一个必要条件
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〔作业与拓展二〕

(2-2)

4、如果命题P:m<-3,q:方程x? -x-m=0无实根, 那么p是q的什么条件?

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