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2.1.1 指数与指数幂的运算


第二章

基本初等函数(Ⅰ ) 指数函数

§ 2.1 2.1.1

指数与指数幂的运算

课时目标 1.了解指数函数模型的实际背景,体会引入有理数指数幂的必要性.2.理解有理 数指数幂的含义,知道实数指数幂的意义,掌握幂的运算.

1.如果____________________

,那么 x 叫做 a 的 n 次方根. n 2.式子 a叫做________,这里 n 叫做__________,a 叫做____________. n n n 3.(1)n∈N*时,( a)n=____.(2)n 为正奇数时, an=____;n 为正偶数时, an=______.
m

4.分数指 数幂的定义:(1)规定正数的正分数指数幂的意义是: a n =__________(a>0,m、 n∈N*,且 n>1); (2)规定正数的负分数指数幂的意义是: a =_______________(a>0,m、n∈N*,且 n>1); (3)0 的正分数指数幂等于____,0 的负分数指数幂________________. 5.有理数指数幂的运算性质: (1)aras=______(a>0,r、s∈Q);(2)(ar)s=______(a>0,r、s∈Q); (3)(ab)r=______(a>0,b>0,r∈Q).
? m n

一、选择题 4 1.下列说法中:①16 的 4 次方根是 2;② 16的运算结果是± 2;③当 n 为大于 1 的奇数时, n a对任意 a∈R 都有意义;④当 n 为大于 1 的偶数时, a只有当 a≥0 时才有意义.其中正 确的是( ) A.①③④ B.②③④ C.②③ D.③④ 4 2.若 2<a<3,化简 ?2-a?2+ ?3-a?4的结果是( ) A.5-2a B.2a-5 C.1
? 1- ?1? 3.在(- ) 1、 2 2 、 ? ? 2 ?2? 1

n

D.-1

1 ? 2

、2
? 1 2

-1

中,最大的是(

)
? 1 2

1- A.(- ) 1 2

B. 2

?1? C. ? ? ?2?

D.2

-1

3 4.化简 a a的结果是( A.a B. a 5.下列各式成立的是( ) A. m +n = ? m ? n ?
2 2
1 2

) C .a
1 1

2

D. a
2

1 3

3

2 3

b B.( )2= a 2 b 2 a
1

C. ?-3? = ? ?3?

6

1 3

D.

3

4= 2

1 3

6.下列结论中,正确的个数是( ①当 a<0 时, a

)
1

? ?

3 n 2 2 =a3;②

an=|a|(n>0);③函数 y= ? x ? 2 ? 2 -(3x-7)0 的定义域是(2, D.3

+∞);④若 100a=5,10b=2,则 2a+b=1. A.0 B.1 C .2 二、填空题 7. 1 3 3 3 6 - 3 + 0.125的值为________. 4 8
x y
2 x? 3 2 y 2

8.若 a>0,且 a =3,a =5,则 a
1 4 3 2 1 4

=________.
? 1 2

9.若 x>0,则(2 x + 3 )(2 x - 3 )-4 x 三、解答题

· (x- x )=________.

1 2

2 1 ? ? 3 2 ?-4?0 1 -1 -1 0 2 8 3. 10. (1)化简: xy · xy · xy· (xy) (xy≠0); (2)计算:2 + + - ?1- 5? · 2 2-1
[来源:Zxxk.Com]

11.设-3<x<3,求 x2-2x+1- x2+6x+9的 值.

2

能力提升 12.化简:

a 3 ? 8a 3 b 4b 3 ? 2 3 ab ? a 3
2 2

4

1

÷ (1-2

3 b 3 )× a. a

[来源:学科网]

2x- xy 13 .若 x>0,y>0,且 x- xy-2y=0,求 的值. y+2 xy

[来源:学#科#网]

n n 1. an与( a)n 的区别 n (1) an是实数 an 的 n 次方根,是一个恒有意义的式子,不受 n 的奇偶性限制,a∈R,但这 n 个式子的值受 n 的奇偶性限制:当 n 为大于 1 的奇数时, an=a;当 n 为大于 1 的偶数时, n an=|a|.

n (2)( a)n 是实数 a 的 n 次方根的 n 次幂,其中实数 a 的取值由 n 的奇偶性决定:当 n 为大于 n n n 1 的奇数时,( a)n=a,a∈R;当 n 为大于 1 的偶数时,( a)n=a,a≥0,由此看 只要( a)n n 有意义,其值恒等于 a,即( a)n=a. 2.有理指数幂运算的一般思路 化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,灵活运用指数幂的运算性质.同 时要注意运用整体的观点、 方程的观点处理问题, 或利用已知的公式、 换元等简化运算过程. 3.有关指数幂的几个结论 (1)a>0 时,ab>0;(2)a≠0 时,a0=1;(3)若 ar=as,则 r=s;
1 1 1 1

(4)a± 2 a 2 b 2 +b=( a 2 ±b 2 )2(a>0,b>0);
3

(5)( a + b )( a - b )=a-b(a>0,b>0).

1 2

1 2

1 2

1 2

第二章:基本初等函数(Ⅰ) § 2.1:指数函数 2.1.1:指数与指数幂的运算
知识梳理 1.xn=a(n>1,且 n∈N*) 3.(1)a 5.(1)ar (2)a
+s

2.根式 根指数 被开方数

1 n |a| 4.(1) am (2) (3)0 没有意义 m a n rs r r (2)a (3)a b

作业设计 1.D [①错,∵(± 2)4=16, ∴16 的 4 次方根是± 2; 4 4 ②错, 16=2,而± 16=± 2.] 2.C [原式=|2-a|+|3-a|, ∵2<a<3,∴原式=a-2+3-a=1.]
? 1- 2 ?1? 3.C [∵(- ) 1=-2, 2 2 = , ? ? 2 2 ?2? 1

?

1 2

1 - = 2,2 1= , 2

2 1 ?1? ∵ 2> > >-2,∴ ? ? 2 2 ?2?
3 1 3

?

1 2

>2
3

?

1 2

1- - >2 1>(- ) 1.] 2
1

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

4.B [原式= aa 2 = a 2 ? a 2 .]
1 6 b b2 3 <0, ? 3 [被开方数是 和的形式, 运算错误, A 选项错; ( )2= 2, B 选项错; ?-3?2>0, ? ? a a C 选项错.故选 D.] 6.B [①中,当 a<0 时,

5. D

?a ?

3 2 2

1 ? ? ? ?? a 2 ? 2 ? =(-a)3=-a3,∴①不正确; ? ?

3

3 ②中,若 a=-2,n=3,则 ?-2?3=-2≠|-2|,∴②不正确; ? ?x-2≥0, 7 7 7 ③中,有? 即 x≥2 且 x≠ ,故定义域为[2, )∪( ,+∞),∴③不正确 ; 3 3 3 ?3x-7≠0, ? a b ④中,∵100 =5,10 =2, + ∴102a=5,10b=2,102a×10b=10,即 102a b=10. ∴2a+b=1.④正确.] 3 7. 2 解析 原式= 8.9 5 解析
y 2

3 3 3 1 5 5 3 1 3 ? ?2- ? ?3+ ? ?3= - + = . 2 2 2 2 2 2 2
x 2

a

2 x?

=(a ) · a

? ?

1 y 2

5 =9 5. =3 ·
4

2

1 2

9.-23
1 1

解析 原式=4 x 2 -33-4 x 2 +4=-23.
1 3 1 ? 2 ? - ?1 10.解 (1)原式= ? xy ? xy ? 2 ? ? xy ? 2 · (xy) 1 ? ?
1

1

[来源:学科 网 ZXXK]

2

= x3 · y3 x 6 y
1

1

?

1 6

x

?

1 2

y

?

1 2

?1, x>0 ? =? . ?-1, x<0 ? 1 1 (2)原式= + + 2+1-22 2 2 =2 2 -3. 11.解 原式= ?x-1?2- ?x+3?2 =|x-1|-|x+3|, ∵-3<x<3,∴当-3<x<1 时, 原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2; 当 1≤x<3 时, 原式=(x-1)-(x+3)=-4. ?-2x-2 ?-3<x<1? ? ∴原式=? . ?-4 ?1≤x<3? ?

= x 3 ·x

?

1 3

12.解 原式=

a
2 3

1 3

? a ? 8b ?
1 3 2 3

?

a 3 ? 2b 3 a
1 3

1

1

×a

1 3

4b ? 2a ? a

13.解 ∵x- xy-2y=0,x>0,y>0, ∴( x)2- xy-2( y)2=0, ∴( x+ y)( x-2 y)=0, 由 x>0,y>0 得 x+ y>0, ∴ x-2 y=0,∴x=4y, 2x- xy 8y-2y 6 ∴ = = . y+2 xy y+4y 5

5


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