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等比数列的性质以及常见题型

时间:2013-05-24


学辅教育

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等比数列的性质以及常见题型 上课时间:2013.3.20 上课教师: 上课重点:掌握等比数列的常见题型,准确的运用等差数列的性质 上课规划:掌握等比数列的解题技巧和方法 一 公比 q 的运用

1. 在等比数列 ?an ? 中, a2 ? 2 , a5 ? 128 ,则它的公比 q ? _______ ,前 n 项和
S n ? _______.

2.在等比数列 {an } 中, A. ?4 B. ?4

a1 ? ?16 , a4 ? 8 ,则 a7 ? (



C. ?2

D. ?2 )

3.在等比数列 ?an ? 中, a2010 ? 8a2007 ,则公比 q 的值为( A. 2 B. 3 C. 4
2a1 ? a2 2a3 ? a4

D. 8 的值为
S

4.等比数列 ?an ? 的公比为 2 ,则

6 5.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S ? 3 ,则 3

S9 ?( S6



A. 2

B. 7

3

C. 8

3

D. 3
S5
32

6.等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? ?1 ,前 n 项和为 S n ,公比 q ? 1 ,若 S10 = 31 ,则 a10 等
a5

于 思考题



7.在等比数列 {an } 中, 公比 q ? 2 , 且 a1 ? a2 ? a3 ? ?? a30 ? 230 , 则 a3 ? a6 ? a9 ? ?? a30 等 于( A. 2
10

) B. 2
20

C. 2

16

D. 2

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m ? n ? s ? t ? aman ? as at 性质的应用
31

1.在各项均为正数的等比数列 ?bn ? 中, 若 b7 ? b8 ? 3 , 则o g l 等于( A. 5 ) B. 6
{an }

o g b l ?

32

b ? …… ? log3 b14

C. 7

D. 8
a5 a6 ? a4 a7 ? 18

2. 等 比 数 列
l o 3 ag ? 1 la 3 o? g 2

的 各 项 均 为 正 数 , 且

, 则

)1 g0 a (3l? o B.10 C.8 D. 2 ? log3 5

A.12

3.在 等 比 数 列 ?an ? 中 , 若 a3 , a9 是 方 程 3x2 ? 11x ? 9 ? 0 的 两 根 , 则 a6 的 值 是 .
1 2 3

a a a 4.在等比数列中 an>0, a3a8 ? 27 , log3 ? log3 ? log3 ?

? log3a10 ? ________。

5.已知各项均为正数的等比数列 ?an ? , a1a2 a3 ? 5 , a7 a8a9 ? 10 ,则 a4 a5a6 ? A. 5
2

B.7

C.6

D. 4

2

6.设 ?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X ,
Y , Z ,则下列等式中恒成立的是

A. X ? Z ? 2Y C. Y 2 ? XZ 三 求数列 an 的通项公式

B. Y (Y ? X ) ? Z (Z ? X ) D. Y (Y ? X ) ? X (Z ? X )

(一)构造法求 an 构造法 (形式为:an?1 ? kan ? b, k为常数, b不一定为常数,可能与 n有关) 1.已知数列 ?an ? 中,a 1 =3,a n?1 = a n +1(n∈N ? )求数列 ?an ? 的通项公 式
1 2

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2.已知数列 ?an ? 中,a 1 =1,a n?1 =3a n +2,求数列 ?an ? 的通项公式

(二)根据题意构造 1.数列{an}的前 n 项和记为 Sn, 已知 a1=1,an+1= n ? 2 Sn(n=1,2,3…).
n

(1)求证:数列{ Sn }是等比数列.
n

(2)求数列 ?an ?的通项公式.

2.已知在数列 ?an ?中, an?1 ? 2an ? n ? 1, a1 ? 1 , (1)证明数列 ?an ? n? 为等比数列 (2)求数列 ?an ?的通项公式。

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2.裂项相减(等差与等比之积的形式 an 为等差数列, bn 为等比数列,则数 列 anbn 的前 n 项和) 例题:设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 ,
a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13

(Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ? n ? 的前 n 项和 Sn .
?a ? ? bn ?



其他类型

1.已知数列 ?an ? 的前 n 项和是 S n ,且 2Sn ? an ? 1 (n ? N * ) . (Ⅰ) 求证:数列 ?an ? 是等比数列; (Ⅱ) 记 bn ? 10 ? log9 an ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 的最大值及相应的 n 值.

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能力提升 已知函数 f(x)定义在区间(-1,1)上, f ( ) ? ?1 ,且当 x,y∈(-1,1)时,恒有
x? y f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) 1 ? xy bn ?
1 2

, 又 数 列 {an} 满 足 a1 ? , a n?1 ?

1 2

2a n 2 1 ? an

, 设

1 1 1 . ? ? ?? f (a1 ) f (a 2 ) f (a n )

(1)证明:f(x)在(-1,1)上为奇函数; (2)求 f(an)的表达式; (3)是否存在自然数 m,使得对任意 n∈N,都有 bn ? 求出 m 的最小值;若不存在,请说明理由.
m?8 成立,若存在, 4

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