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河南省郑州市2015年高中毕业年级第一次质量预测——数学理


郑州市 2015 年高中毕业年级第一次质量预测

理科数学试题卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.交 卷时只交答题卡.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 6

0 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|-1<x<2},N={x|x<a},若 M ? N,则实数 a 的取值范围是 A. (2,+∞) B.[2,+∞) C. (-∞,-1) D. (-∞,-1]

2.在复平面内与复数 z= A.1+2i

5i 所对应的点关于虚轴对称的点为 A,则 A 对应的复数为 1+2i
C.-2+i D.2+i

B.1-2i

3.等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且 S3=6,a3=0,则公差 d 等于 A.-1 B.1 C.2 D.-2 4.命题 p: “a=-2”是命题 q: “直线 ax+3y-1=0 与直线 6x+4y-3=0 垂直”成立的 A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知点 P(a,b)是抛物线 x =20y 上一点,焦点为 F,|PF|=25,则|ab|= A.100 B.200 C.360 D.400
2

? x≥1, ? 6.已知点 P(x,y)的坐标满足条件 ?y≥x-1, 那么点 P ? x+3 y-5≤0, ?
到直线 3x-4y-13=0 的距离的最小值为

11 5 9 C. 5
A. A.32

B.2 D.1

7.某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则 xy 的最大值为 B.32 7 C.64 D.64 7

1

8.如图,函数 f(x)=Asin(ω x+ ? ) (其中 A>0,ω >0,| ? |≤ 个交点 P、Q、R 满足 P(1,0) ,∠PQR= 为线段 QR 的中点,则 A 的值为 A.2 3 B.

? ,M(2,-2) 4

? )与坐标轴的三 2

7 3 3

C.

8 3 3

D.4 3
2

9.如图所示的程序框图中,若 f(x)= x -x+1,g(x) =x+4,且 h(x)≥m 恒成立,则 m 的最大值是 A.4 B.3 C.1 D.0 10.设函数 f(x)= e +2x-4,g(x)=lnx+2 x -5, 若实数 a,b 分别是 f(x) ,g(x)的零点,则 A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a) C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0 11.在 Rt△ABC 中,CA=CB=3,M,N 是斜边 AB 上的 两个动点,且 MN= 2 ,则 CM · CN 的取值范围为 A.[2,
x 2

uuu r

uuu r

5 ] 2

B.[2,4]

C.[3,6]

D.[4,6]

12.设函数 f1(x)=x,f2(x)= log 2015 x , ai =

i (i=1,2,?,2015) ,记 I k = 2015

| f k (a2 ) - f k (a1 ) |+| f k (a3 ) - f k (a2 ) |+?+| f k (a2015 ) - f k (a2014 ) |, k=1,2,则 A. I 1 < I 2 B. I1 = I 2 C. I1 > I 2 D.无法确定

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13—21 题为必考题。每个试题考生都必须作答。 第 22—24 题为选考题。考生根据要求作答. 二、填空题:每小题 5 分,共 20 分.
2

13.已知等比数列{ an },前 n 项和为 Sn ,a1+a2= 14.已知 a=

3 ,a4+a5=6,则 S6=_________. 4

?

?

2 0

a cos xdx ,在二项式 ( x 2- )5 的展开式中,x 的一次项系数的值为________. x

15.设函数 y=f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1、x2∈D,当 x1+x2=2a 时,恒有 f(x1) +f(x2)=2b,则称点(a,b)为函数 y=f(x)图像的对称中心.研究函数 f(x)= x +sinπ x+2 的某一个对称中心, 并利用对称中心的上述定义, 可得到 ( f -1) +(- f +?+f(
3

19 ) 20

19 )+f(1)=__________. 20 1 x 16.给定方程: ( ) +sinx-1=0,下列命题中:①该方程没有小于 0 的实数解;②该方程 2
有无数个实数解;③该方程在(-∞,0)内有且只有一个实数解;④若 x0 是该方程的 实数解,则 x0>-1.正确命题是_______________. 三、解答题:本大题共 6 道题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A、B、C 的对边,D 为边 AC 的中点,a=3 2 ,

cos∠ABC=

2 . 4

(Ⅰ)若 c=3,求 sin∠ACB 的值; (Ⅱ)若 BD=3,求△ABC 的面积. 18. (本小题满分 12 分) 某学校为了丰富学生的业余生活,以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛,随机抽 取题目,背诵正确加 10 分,背诵错误减去 10 分,只有“正确”和“错误”两种结果, 其中某班级背诵正确的概率为 p= 首古诗词背诵后总得分为 Sn ” . (Ⅰ)求 S6=20 且 Si≥0(i=1,2,3)的概率; (Ⅱ)记ξ =|S5|,求ξ 的分布列及数学期望.

2 1 ,背诵错误的概率为 q= ,现记“该班级完成 n 3 3

19. (本小题满分 12 分)
3

如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD∥BC,PD⊥底面 ABCD,∠ADC=90°,BC=

1 AD 2

=1,PD=CD=2,Q 为 AD 的中点,M 为棱 PC 上一点. (Ⅰ)试确定点 M 的位置,使得 PA∥平面 BMQ,并证明你 的结论; (Ⅱ)若 PM=2MC,求二面角 P—BQ—M 的余弦值. 20. (本小题满分 12 分) 已知动点 P 到定点 F(1,0)和到直线 l:x=2 的距离之比为

2 ,设动点 P 的轨迹为 2

曲线 E,过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A、B 两点,直线 l:y=mx+n 与 曲线 E 交于 C、D 两点,与线段 AB 相交于一点(与 A、B 不重合) . (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)当直线 l 与圆 x2+y 2= 1 相切时,四边形 ABCD 的面积是否有最大值,若有,求出 其最大值及对应的直线 l 的方程;若没有,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=( x -2x) ·lnx+a x +2. (Ⅰ)当 a=-1 时,求 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)当 a>0 时,设函数 g(x)=f(x)-x-2,且函数 g(x)有且仅有一个零点,若
2 2

e-2 <x<e,g(x)≤m,求 m 的取值范围.
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做。则按所做的第一题记分.答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示,EP 交圆于 E,C 两点,PD 切圆于 D, G 为 CE 上一点且 PG=PD,连接 DG 并延长交圆 于点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F. (Ⅰ)求证:AB 为圆的直径; (Ⅱ)若 AC=BD,AB=5,求弦 DE 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方
4

程为ρ =2 2 cos(θ +

? ? ? x=t, ) ,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,直线 4 ? ?y=-1+2 2t ,

l 和圆 C 交于 A,B 两点,P 是圆 C 上不同于 A,B 的任意一点. (Ⅰ)求圆心的极坐标; (Ⅱ)求△PAB 面积的最大值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=m-|x-1|-2|x+1|. (Ⅰ)当 M=5 时,求不等式 f(x)>2 的解集; (Ⅱ)若二次函数 y= x +2 x+3 与函数 y=f(x)的图象恒有公共点,求实数 m 的取值 范围.
2

2015 年高中毕业年级第一次质量预测 理科数学 参考答案
5

一、选择题 1-12:BCDA DBCC 二、填空题 13. BADA

63 4

14.-10

15.82

16.2,3,4.

三、解答题 17.解:(Ⅰ) a ? 3 2 , cos?ABC ?

2 ,c ? 3, 4 由余弦定理: b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2c ? a ? cos?ABC 2 = 32 ? (3 2 ) 2 ? 2 ? 3 2 ? 3 ? ? 18 ,………………………………2 分 4 ? b ? 3 2 . ……………………………………………………………………4 分 14 又 ?ABC ? (0, ? ) ,所以 sin ?ABC ? 1 ? cos2 ?ABC ? , 4 c b ? 由正弦定理: , sin ?ACB sin ?ABC c ? sin ?ABC 7 得 sin ?ACB ? .………………………………………6 分 ? b 4
(Ⅱ) 以 BA,BC 为 邻 边 作 如 图 所 示 的 平 行 四 边 形 ABCE , 如 图 , 则

cos?BCE ? ? cos?ABC ? ?

BE ? 2BD ? 6, 在△BCE 中,

2 ,……8 分 4

A D C

E

由余弦定理: BE 2 ? CB2 ? CE2 ? 2CB ? CE ? cos ?BCE . 即 B

36 ? CE 2 ? 18 ? 2 ? 3 2 ? CE ? (?

解得: CE ? 3, 即 AB ? 3, …………………10 分 所以 S ?ABC ?

2 ), 4

1 9 7 .…………………………………………12 分 acsin ?ABC ? 2 4

18.解:(Ⅰ)当 S 6 ? 20 时,即背诵 6 首后,正确个数为 4 首,错误 2 首,………………2 分 若第一首和第二首背诵正确,则其余 4 首可任意背诵对 2 首;…………………3 分 若第一首正确,第二首背诵错误,第三首背诵正确,则其余 3 首可任意背诵对 1 首, 此时的概率为:

2 2 1 2 1 2 2 1 16 2 1 p ? ( ) 2 ? C4 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? ? ? C3 ? ( )2 ? ? ………… …………5 分 3 3 3 3 3 3 3 3 81
6

2 1 , q ? , …………………6 分 3 2 40 3 2 3 1 2 2 2 2 1 3 ∴ P(? ? 10) ? C 5 ( ) ( ) ? C 5 ( ) ( ) ? , 3 3 3 3 81 2 1 30 1 2 1 1 4 P(? ? 30) ? C 54 ( ) 4 ( )1 ? C 5 ( ) ( ) ? 3 3 3 3 81 2 1 11 5 0 P(? ? 50) ? C5 ( )5 ? C5 ( )5 ? . …………………9 分 3 3 81
(2)∵ ? ? S5 的取值为 10,30,50,又 p ? ∴ ? 的分布列为:

?
p

10

30

50

11 81 40 30 11 1850 ? 30 ? ? 50 ? ? ∴ E? ? 10 ? .…………………………………………12 分 81 81 81 81
19.解: (1)当 M 为 PC 中点时, PA / / 平面 BMQ ,…………………2 分 理由如下: 连结 AC 交 BQ 于 N ,连结 MN , 因为 ?ADC ? 90 , Q 为 AD 的中点,所以 N 为 AC 的中点.
0

40 81

30 81

当 M 为 PC 的中点,即 PM ? MC 时, MN 为 ?PAC 的中位线,…………4 分 故 MN / / PA ,又 MN ? 平面 BMQ , 所以 PA / / 平面 BMQ .…………………………………………5 分 (2)由题意,以点 D 为原点 DA, DC, DP 所在直线分别为 x, y , z 轴,
D M

z
P

建立空间直角坐标系,…………………6 分
Q

C N B

则 P(0,0,2), Q(1,0,0), B(1,2,0), …………………7 分 由 PM ? 2 MC 可得点 M (0,

A

x

y

4 2 , ), 3 3

所以 PQ ? (1,0 ? 2), QB ? (0,2,0), QM ? (?1,

4 2 , ), 3 3

7

??? ? ?? ? ? PQ ? n1 ? x ? 2 z ? 0, ? x ? 2 z , ?? ? ?? ? ??? 设平面 PQB 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,则 ?QB ? n ? 2 y ? 0, ? y ? 0. ? 1
令 z ? 1,? n1 ? (2,0,1) ,…………………9 分 同理平面 MBQ 的法向量为 n 2 ? ( ,0,1) ,…………………10 分 设二面角大小为 ? , cos? ?

2 3

n1 ? n2 n1 n2

?

7 65 . …………………………………………12 分 65

20.解:(1).设点 P( x, y) ,由题意可得,

( x ? 1) 2 ? y 2 2 ,…………………2 分 ? | x?2| 2

x2 x2 2 ? y ? 1 .曲线 E 的方程是 ? y 2 ? 1 .………………………5 分 整理可得: 2 2
(2).设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) ,由已知可得: | AB |? 当 m ? 0 时,不合题意. …………………6 分 当 m ? 0 时,由直线 l 与圆 x ? y ? 1 相切,可得:
2 2

2.

|n| m ?1
2

? 1,即 m2 ? 1 ? n2 .

?y ? m x? n 1 2 ? 2 2 联立 ? x 2 消去 y 得 (m ? ) x ? 2mnx ? n ? 1 ? 0. …………………8 分 2 2 ? ? y ?1 ?2
1 ? 2m n ? ? ? 2m n ? ? ? ? 4m 2 n 2 ? 4(m 2 ? )( n 2 ? 1) ? 2m 2 ? 0 , x1 ? , x2 ? 2 2 2m ? 1 2m 2 ? 1
所以, x1 ? x2 ?

? 4m n 2n 2 ? 2 , x x ? 1 2 2m 2 ? 1 2m 2 ? 1

S四边形 ACBD ?

2 2 2 2m 2 ? n 2 ? 1 2|m| 1 | AB | | x2 ? x1 | = ? ? . 10 分 = 2 2 2 2m ? 1 2m ? 1 2 | m | ? 1 2 |m|
1 2 6 ,即 m ? ? 时等号成立,此时 n ? ? ,经检验可知, |m| 2 2
8

当且仅当 2 | m |?

直线 y ?

2 6 2 6 和直线 y ? ? 符合题意. ………………………………12 分 x? x? 2 2 2 2

21. 解:(1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ( x2 ? 2 x)ln x ? x2 ? 2 ,定义域为 ? 0, ?? ? ,

f ?( x) ? ? 2x ? 2? ln x ? ? x ? 2? ? 2x. …………………2 分

? f ?(1) ? ?3 ,又 f (1) ? 1, f ( x) 在 ?1, f ?1? ? 处的切线方程 3x ? y ? 4 ? 0. ……………4 分
2 2 (2)令 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 2 ? 0, 则 x ? 2 x ln x ? ax ? 2 ? x ? 2, 即 a ?

?

?

1 ? ( x ? 2) ? ln x , x

令 h( x ) ?

1 ? ( x ? 2) ? ln x , …………………5 分 x
1 1 2 ? 2 ln x 1 ? x ? 2 ln x ? ? ? . …………………6 分 x2 x x2 x2

则 h?( x) ? ?

令 t ( x) ? 1 ? x ? 2 ln x , t ?( x) ? ?1 ? 函数,又?t ?1? ? h? ?1? ? 0

2 ?x ? 2 ? ,? t ?( x ) ? 0 , t ( x ) 在 (0, ??) 上是减 x x



所以当 0 ? x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,当 1 ? x 时, h? ? x ? ? 0 ,

所以 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减,?h ? x ?max ? h(1) ? 1.………8 分 因为 a ? 0 , 所以当函数 g ? x ? 有且仅有一个零点时, a ? 1 .
2 2 ?2 当 a ? 1 , g ? x ? ? x ? 2 x ln x ? x ? x ,若 e ? x ? e, g ( x) ? m, 只需证明 g ( x)max ? m,

?

?

…………………9 分

g?( x) ? ? x ?1??3 ? 2ln x ? 令 g ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? e ,又? e ?2 ? x ? e , ,
? 函数 g ( x) 在 (e ?2 , e 2 ) 上单调递增,在 (e 2 ,1) 上单调递减,在 (1, e) 上单调递增,10 分
3 ? 1 ?3 又 g (e ) ? ? e ? 2e 2 2 ? 3 2
? 3 ? 3

3 ? 2



g (e) ? 2e 2 ? 3e,

3 3 3 ? ? ? 1 ?3 3 2 2 2 g ( e ) ? ? e ? 2 e ? 2 e ? 2e ? 2e(e ? ) ? g (e). ? 2 2

9

即 g (e

?

3 2

) ? g (e) , g ( x) max ? g (e) ? 2e 2 ? 3e,

? m ? 2e 2 ? 3e. ………12 分

22.证明:(1)因为 PG ? PD ,所以 ?PDG ? ?PGD . 由于 PD 为切线,故 ?PDA ? ?DBA ,…………………2 分 又因为 ?EGA ? ?PGD ,所以 ?EGA ? ?DBA , 所以 ?DBA ? ?BAD ? ?EGA ? ?BAD , 从而 ?PFA ? ?BDA .…………………4 分 又 AF ? EP, 所以 ?PFA ? 90? ,所以 ?BDA ? 90? , 故 AB 为圆的直径.…………………5 分 (2)连接 BC,DC. 由于 AB 是直径,故∠BDA=∠ACB=90° . 在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中,AB=BA,AC=BD,从而得 Rt△BDA≌Rt△ACB, 于是∠DAB=∠CBA. …………………7 分 又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故 DC∥AB. ………………8 分 因为 AB⊥EP,所以 DC⊥EP,∠DCE 为直角,…………………9 分 所以 ED 为直径,又由(1)知 AB 为圆的直径,所以 DE ? AB ? 5 .…………………10 分 23.解:(Ⅰ)圆 C 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ,即 ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2. ………2 分 所以圆心坐标为(1,-1) ,圆心极坐标为 ( 2,

7? ) ;…………………5 分 4

(Ⅱ)直线 l 的普通方程: 2 2x ? y ? 1 ? 0 ,圆心到直线 l 的距离

d?

2 2 ?1?1 3

?

2 2 ,…………………7 分 3

所以 AB ? 2 2 ?

8 2 10 ? , 9 3
2? 2 2 5 2 ? , …………………9 分 3 3

点 P 直线 AB 距离的最大值为 r ? d ?

Smax ?
24.

1 2 10 5 2 10 5 .…………………10 分 ? ? ? 2 3 3 9
: ( Ⅰ ) 当



m?5





?3 x ? 6, x ? ?1 ? f ( x) ? ?? x ? 2,?1 ? x ? 1, ………………………3 分 ?4 ? 3 x , x ? 1 ?
由 f ( x) ? 2 易得不等式解集为 x ? (? ,0) ;………………………5 分
10

4 3

(2)由二次函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 2 ,该函数在 x ? ?1 取得最小值 2,

?3 x ? 1 ? m, x ? ?1 ? 因为 f ( x) ? ? ? x ? 3 ? m, ?1 ? x ? 1 在 x ? ?1 处取得最大值 m ? 2 ,…………………7 分 ??3 x ? m ? 1, x ? 1 ?
所以要使二次函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 与函数 y ? f ( x) 的图象恒有公共点,只需 m ? 2 ? 2 , 即 m ? 4. .……………………………10 分

11


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