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2013年高考文理科数学数列练习题


等差数列
1.递推关系与通项公式

递推关系:a n ?1 ? a n ? d 通项公式:a n ? a1 ? (n ? 1)d 推广:a n ? a m ? (n ? m)d 变式:a1 ? a n ? (n ? 1)d ; a n ? a1 n ?1 a ? am d? n n?m d?
特征:an ? dn ? (a1 ? d ),

即:an ? f (n) ? kn ? m , (k , m为常数)
an ? kn ? m,(k , m为常数) 是数列 ?an ? 成等差数列的充要条件。
2.等差中项: 若 a, b, c 成等差数列,则 b 称 a与c 的等差中项,且 b ?

a?c ; a, b, c 成等差数列是 2

2b ? a ? c 的充要条件。
3.前 n 项和公式

Sn ?

(a1 ? a n )n n(n ? 1)d ; S n ? na1 ? 2 2

特征:S n ?

d 2 d n ? (a1 ? )n, 2 2 2 即S n ? f (n) ? An ? Bn S n ? An2 ? Bn ( A, B为常数)

是数列

?an ?成等差数列的充要条件。 ?an ?的基本性质 (其中m, n, p, q ? N ? )
p ? q,则am ? an ? a p ? aq 反之,不成立。

4.等差数列

⑴ 若m ? n ? ⑵ an

? am ? (n ? m)d ? an?m ? an ? m ? S n , S3n ? S 2n 仍成等差数列。

⑶ 2an

⑷ S n , S 2n

5.判断或证明一个数列是等差数列的方法: ①定义法:

an?1 ? an ? d (常数)(n ? N ?) ?an ? 是等差数列 ?
②中项法:

2an?1 ? an ? an?2
③通项公式法:

(n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数列

an ? kn ? b

(k , b为常数) ? ?an ? 是等差数列

④前 n 项和公式法:

S n ? An2 ? Bn

( A, B为常数) ? ?an ? 是等差数列

等比数列
1. 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列 叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,记为 q,(q ? 0) 。 2. 递推关系与通项公式

递推关系:a n ?1 ? qan 通项公式:a n ? a1 ? q n ?1 推广:a n ? a m ? q n ? m
3. 等 比 中 项 : 若 三 个 数 a, b, c 成 等 比 数 列 , 则 称 b 为 a与c 的 等 比 中 项 , 且 为

b ? ? ac,注:b 2 ? ac 是成等比数列的必要而不充分条件。
4. 前 n 项和公式

(q ? 1) ? na1 ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? ? 1? q 1? q ?

(q ? 1)

5. 等比数列的基本性质, (其中m, n, p, q ? N ① 若m ? n ?
n?m

?

)

p ? q,则am ? an ? a p ? aq 反之不真!

②q

?

an 2 ,an ? an?m ? an? m (n ? N ? ) am



?an ?为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列。
? S n,S3n ? S 2n, 仍成等比数列。 ?

④ q ? ?1 时,S n,S 2n

6. 等比数列与等比数列的转化 ①

?an ?是等差数列 ? ?c a ?
n

(c ? 0,c ? 1) 是等比数列;



?an ?是正项等比数列 ? ?logc an ?


(c ? 0,c ? 1) 是等差数列;

?an ?既是等差数列又是等比数列 ? ?an ? 是各项不为零的常数列。
an?1 ? q(常数) ?an ? 为等比数列; ? an
2

7. 等比数列的判定法 ①定义法:

②中项法: an?1

? an ? an?2

(an ? 0) ? ?an ? 为等比数列;

③通项公式法:

an ? k ? q n (k , q为常数) ?an ? 为 等 比 数 列 ; ④ 前 n 项 和 法 : ?

S n ? k (1 ? q n ) (k , q为常数) ?an ? 为等比数列。 ?
一.求数列 {an } 的最大、最小项的方法:

?? 0 ? 1、比差法: a n ?1 ? a n ? ?? ? ?? 0 ?? 0 ?

?? 1 a n ?1 ? ? ? ?? 1 ( an ? 0 ) 2、比商法: an ?? 1 ? 3、利用函数的单调性: an ? f (n) 研究函数 f (n) 的增减性
二.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数 列的通项结构。 1、分组法求数列:通项虽然不是等差等比数列,但通过拆分可以化为由等差、等比的和的 形式,再分别用公式法求和。 例:已知数列 {an } 的通项为: an ? 2n ? 3n ,求 S n 2、错位相减法:利用等比数列前 n 项和公式的推导方法求解,一般可解决一个等差数列和 一个等比数列对应项相乘所得数列的求和。 说明: (1) 一般地, 如果数列 ?an ? 是等差数列,?bn ?是等比数列且公比为 q , 求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和时,可采用这一思路和方法。具体做法是:乘以常数 q ,然后错位相减,使其转 化为等比数列问题求解。 要善于识别题目类型,特别是当等比数列部分中公比为负数的情形更值得注意。 (2)在写出“ Sn ”与“ qSn ”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐” ,以便于下一 步准确写出“ S n ? qSn ”的表达式; 3、裂项相消法:将数列的通项裂成两项之差求和时,正负相消,剩下首尾若干若。 常见裂项有:

1 1 1 1 1 1 ? ( ? )、 ? ( n ? k ? n) n( n ? k ) k n n ? k n?k ? n k

4、倒序相加法:利用等差数列前 n 项和公式的推导方法求解,将数列正着写,倒着写再相 加。

典例精析
一、 错位相减法求和 例 1:求和: S n ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a n(n ? 1) 解:⑴ a ? 1时, S n ? 1 ? 2 ? 3? ? n ? 2

时,因为a ? 0 ⑵a ?1
Sn ? 1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a 1 1 2 n ?1 n S n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 a a a a a
由①-②得: ① ②

1 1 1 1 n (1 ? ) S n ? ? 2 ? ? ? n ? n ?1 a a a a a 1 1 (1 ? n ) a a ? n ? 1 a n ?1 1? a n a (a ? 1) ? n(a ? 1) 所以 S n ? a n (a ? 1) 2 综上所述, n(n ? 1) ? ? ? 2 Sn ? ? n a (a ? 1) ? n(a ? 1) ? ? a n (a ? 1) 2 ?
点拨:①若数列 相减法; ②当等比数列公比为字母时,应对字母是否为 1 进行讨论; ③当将 S n 与 q 二、 裂项相消法求和 例 2:数列

(a ? 1) a ? 1)

?an ?是等差数列, ?bn ? 是等比数列,则求数列 ?an ? bn ?的前 n 项和时,可采用错位

S n 相减合并同类项时,注意错位及未合并项的正负号。

?an ?满足 a1 =8, a4 ? 2,且an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ?an ?的通项公式;

(n? N )

?

①求数列

则d

?

a 4 ? a1 ? ?2 4 ?1

所以, an =8+( n -1)×(-2)=―10-2 n

bn ? ?

1 1 ? n(14 ? a n ) 2n(n ? 2)

1 1 1 ( ? ) 4 n n?2 所以
② Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

1? 1 1 1 1 1 1 ? ?(1 ? 3 ) ? ( 2 ? 4 ) ? ? ? ( n ? n ? 2 )? 4? ? 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ) 4 2 n ?1 n ? 2 3 1 1 m ? ? ? ? 8 4(n ? 1) 4(n ? 2) 32 ?
对一切 n ? N 恒成立。
?

? m ? 12 ?

8 8 ? 对一切n ? N ? 恒成立。 n ?1 n ? 2 8 8 对n ? N ?,( ? 12 ? ) min ? n ?1 n ? 2 8 8 16 12 ? ? ? 1?1 1? 2 3 16 所以 m ? 3

故 m 的最大整数值为 5。 点拨:①若数列

?an ?的通项能转化为 f (n ? 1) ? f (n) 的形式,常采用裂项相消法求和。

②使用裂项消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项。

典例精析
例一:已知正项数列

?an ?的前 n 项和为 S n , ?an ?是等差数列;

1 S n 是 与(a n ? 1) 2 的等比中项, 4

①求证:数列

②若 bn ?

an ,数列 ? n ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn b 2n

③在②的条件下,是否存在常数 ? ,使得数列 ?

?Tn ? ? ? ? 为等比数列?若存在,试求 ? an?2 ?

出 ? ;若不存在,说明理由。 解:①

1 S n 是 与(a n ? 1) 2 的等比中项, 4

1 (a n ? 1) 2 4 1 当n ? 1时,a1 ? (a1 ? 1) 2 , a1 ? 1 ? 4 1 当n ? 2时,S n ?1 ? (a n ?1 ? 1) 2 4 所以a n ? S n ? S n ?1 所以S n ? 1 2 2 (a n ? a n ?1 ? 2a n ? 2a n ?1 ) 4 即(a n ? a n ?1 )(a n ? a n ?1 ? 2) ? 0 ?

因为an ? 0,所以an ? an?1 ? 2 ? 0 即:an ? an?1 ? 2
所以数列

?an ?是等差数列。
2n ? 3 2n

② Tn ? 3 ?

Tn ? ? 2n ? 3 1 ? (3 ? ? ?) ? n an?2 2n ? 3 2
? 3?? 1 ? n 2n ? 3 2

所以当且仅当 3+ ? =0,即 ? =-3 时,数列

?Tn ? ? ? ? ? 为等比数列。 ? an?2 ?

通项

与前 n 项和

的关系


任意数列

的前 n 项和

注意:由前 n 项和 (1)求 ,

求数列通项时,要分三步进行:

(2)求出当 n≥2 时的

, 中的 n=1 时有 成立,则最后的通项公式可以统一

(3)如果令 n≥2 时得出的

写成一个形式,否则就只能写成分段的形式.
题型一 归纳、猜想法求数列通项 【例 1】根据下列数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式 ⑴7,77,777,7777,? ⑶1,3,3,5,5,7,7,9,9? 解析:⑴将数列变形为

7 7 7 7 ? (10 ? 1), (10 2 ? 1), (10 3 ? 1) , ?, (10 n ? 1) 9 9 9 9

⑶将已知数列变为 1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,?。可得数列的通

1 ? (?1) n 项公式为 a n ? n ? 2
点拨:本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律,从而求 得通项。 题型二 应用 a n

? S1 ?? ?S n ? S n?1

(n ? 1) (n ? 2)

求数列通项

例 2.已知数列

?an ?的前 n 项和 S n ,有 S n ? 3n ? 2 ,求其通项公式.
? S1 ? 31 ? 2 ? 1 ,

解析:当 n ? 1 , a1 时 当 n ? 2时, an

? Sn ? Sn?1 ? (3n ? 2) ? (3n?1 ? 2)
? 2 ? 3n ?1

又 a1

? 1 ? 1 不适合上式,故 an ? ? n ?1 ?2 ? 3

(n ? 1) (n ? 2)

经典例题精析 类型一:迭加法求数列通项公式
1.在数列 解析:∵ 当 时, , , 中, , , , ,求 .

将上面

个式子相加得到:

∴ 当 故 例:已知数列 , , 时, .



) , 符合上式

,求

.

【答案】

类型二:迭乘法求数列通项公式
2.设 求它的通项公式 解析:由题意 ∴ ∵ ,∴ , 是首项为 1 的正项数列,且 . ,







,又



∴当 当

时, 时, 符合上式





.

例:在数列

中,



,求

.

【答案】 ∴

类型三:倒数法求通项公式
3.数列 中, , ,求 .

思路点拨:对

两边同除以



即可.

解析:∵

,∴两边同除以







成等差数列,公差为 d=5,首项







∴ 例:数列 中, ,

. ,求 .

【答案】

.

类型四:待定系数法求通项公式

4.已知数列

中,



,求

.

解:设

,解得

即原式化为 设 ,则数列 为等比数列,且



例:已知数列

满足

,而且

,求这个数列的通项公式

.

【答案】∵

,∴



,则

,即



∴数列

是以

为首项,3 为公比的等比数列,



,∴

.



.

类型五:



的递推关系的应用
中, 是它的前 n 项和,并且 ,求证:数列 是等比数列; , .

5.已知数列 (1)设

(2)设 (3)求数列 解析: (1)因为

,求证:数列 的通项公式及前 n 项和.

是等差数列;

,所以

以上两式等号两边分别相减,得

即 因为 由此可知,数列 由 所以 , 所以

,变形得 ,所以 是公比为 2 的等比数列. , , ,

所以

.

(2)

,所以



代入得

由此可知,数列

是公差为

的等差数列,它的首项





.

(3) 当 n≥2 时, ∴ 由于 故所求 例:若 ,

,所以

也适合此公式, 的前 n 项和公式是 ( ),求 代入 , . , .

【答案】当 n≥2 时,将 ∴ 整理得

两边同除以



(常数)



是以

为首项,公差 d=2 的等差数列,







.

1.在正整数 100 至 500 之间能被 11 整除的个数为( ) A.34 B.35 C.36 D.37 2 2.在数列{an}中,a1=1,an+1=an -1(n≥1) ,则 a1+a2+a3+a4+a5 等于( ) A.-1 B.1 C.0 D.2 3.{an}是等差数列,且 a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9 的值是( ) A.24 B.27 C.30 D.33 * 4.等差数列{an}中,已知 a1=-6,an=0,公差 d∈N ,则 n(n≥3)的最大值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2 5.设 an=-n +10n+11,则数列{an}从首项到第几项的和最大( ) A.第 10 项 B.第 11 项 C.第 10 项或 11 项 D.第 12 项 6.已知等差数列{an}的公差为正数,且 a3·a7=-12,a4+a6=-4,则 S20 为( ) A.180 B.-180 C.90 D.-90 7.设函数 f(x)满足 f(n+1)=

2 f (n) ? n (n∈N*)且 f(1)=2,则 f(20)为( 2



A.95 B.97 C.105 D.192 8.由公差为 d 的等差数列 a1、a2、a3?重新组成的数列 a1+a4, a2+a5, a3+a6?是( A.公差为 d 的等差数列 B.公差为 2d 的等差数列 C.公差为 3d 的等差数列 D.非等差数列 考查等差数列的性质. 9.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为 q , 则 q 的取值范围是( ) A. (0,



1? 5 ) 2

B. (

1? 5 ,1] 2

C. [1,

1? 5 ) 2

D. (

?1? 5 1? 5 , ) 2 2
?

10.数列 {an } 的通项公式 an ? n2 ? kn ,若此数列满足 an ? an?1 ( n ? N ),则 k 的取值范围是 A, k ? ?2 B, k ? ?2 C, k ? ?3 D, k ? ?3

11.等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若

Sn a 2n ,则 n = ? Tn 3n ? 1 bn

2n ? 1 2n ? 1 D, 3n ? 4 3n ? 1 12.三个数 a, b, c 成等比数列,且 a ? b ? c ? m(m ? 0) ,则 b 的取值范围是 (
A,

2 3

B,

2n ? 1 3n ? 1

C,



(A) [0,

m ] 3

(B) [? m,?

m ] 3

(C) (0,

m ) 3

(D) [ ? m,0) ? (0,

m ] 3

13.在数列{an}中,a1=1,an+1=

2a n 2 (n∈N*) ,则 是这个数列的第_________项. an ? 2 7

14.在等差数列{an}中,已知 S100=10,S10=100,则 S110=_________. 15.在-9 和 3 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成和为-21 的等差数列,则 n=_______. 16.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若

Sn a 2n = ,则 11 =_________. Tn 3n ? 1 b11

17.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1, ( x ? 1). (1)求 f (x) 的反函数 f
?1

( x) ,并指出其定义域;
?1

(2) 若数列{an}的前 n 项和 Sn 对所有的大于 1 的自然数 n 都有 S n ? f 求数列{an}的通项公式; (3)令 cn ?

且 (S n?1 ) , a1 =1,

1 , 求c1 ? c2 ? ? ? cn . a n ? a n?1
a (1 ? a n ) 1? a

18.已知数列{an}满足 a1 ? a (a ? 0, 且a ? 1), 其前 n项和 S n ? (1)求证:{an}为等比数列;

(2)记 bn ? an lg | an | (n ? N * ),Tn 为数列{bn}的前 n 项和,那么: ①当 a=2 时,求 Tn; ②当 a ? ?

7 时, 是否存在正整数 m, 使得对于任意正整数 n 都有 bn ? bm ? 如果存在, 3
2 . 9

求出 m 的值;如果不存在,请说明理由. 19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a n ? S n ? S n ?1 (n ? 2, S n ? 0), a1 ? (Ⅰ)求证:数列 {

1 } 为等差数列; Sn

(Ⅱ)求满足 an ? 0 的自然数 n 的集合. 20.已知数列 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 S n . (I)若 a4 ? a5 ? 0, 试验证: S 7 ? S1 , S 6 ? S 2 , S5 ? S3 成立,并将其整合为一个等式; (II)一般地,若存在正整数 k,使 ak ? ak ?1 ? 0 ,我们可将(I)中的结论作相应推广, 试写出推广后的结论,并推断它是否正确. 21.已知数列 {an } 满足递推式 an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,其中 a4 ? 15. (Ⅰ)求 a1 , a2 , a3 ; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)求数列 {an } 的前 n 项和 S n . 22.已知等差数列 ?an ? ,公差 d 大于 0,且 a2 、a5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两个根,数
2

列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn且Tn ? 1 ?

1 bn 。 2

(1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式;

(2)记 cn ? an ? n , 求证:cn?1 ? cn . b 创新试题 1. 在直角坐标平面上有一点列 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )?, Pn ( xn , yn )? ,对一切正整数 n , 1 点 Pn 位于函数 y ? 3 x ? 数列 ?xn ? . ⑴求点 Pn 的坐标; ⑵设抛物线列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,?中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 cn 的顶点为 Pn ,且过点 Dn (0, n 2 ? 1) ,记与抛物线 cn 相切于 Dn 的直线的斜率为 k n ,求:

13 5 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ? 为首项,? 1 为公差的等差 4 2

1 1 1 . ? ??? k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n
2. 设数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和 Sn 满足关系式 (1)求证 数列{an}是等比数列;
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3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,4?)

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(2)设数列{an}的公比为 f(t),作数列{bn},使 b1=1,bn=f( 通项 bn; (3)求和 b1b2-b2b3+b3b4-?+b2n-1b2n-b2nb2n+1
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1 )(n=2,3,4?),求数列{bn}的 bn ?1

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1. 【答案】C 解析:观察出 100 至 500 之间能被 11 整除的数为 110、121、132、?它们构 成一个等差数列,公差为 11,数 an=110+(n-1) ·11=11n+99,由 an≤500,解得 n≤36.4, * n∈N ,∴n≤36. 2. 【答案】A 解析:由已知:an+1=an2-1=(an+1) n-1) (a , ∴a2=0,a3=-1,a4=0,a5=-1. 3. 【答案】D 解析:a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9 成等差数列,故 a3+a6+a9=2×39-45=33. 4. 【答案】C 解析:an=a1+(n-1)d,即-6+(n-1)d=0 ? n=

6 +1 d

∵d∈N*,当 d=1 时,n 取最大值 n=7. 5. 【答案】 解析: an=-n2+10n+11=- C 由 (n+1) (n-11) 得 a11=0, a10>0, 12<0, 10=S11. , 而 a S 6. 【答案】A 解析:由等差数列性质,a4+a6=a3+a7=-4 与 a3·a7=-12 联立,即 a3,a7 是 方程 x2+4x-12=0 的两根,又公差 d>0,∴a7>a3 ? a7=2,a3=-6,从而得 a1=-10,d=2, S20=180. 7. 【答案】B

1 ? ? f ( 2) ? f (1) ? 2 ? 1 ? ? f (3) ? f (2) ? 1 ? 2 n ? 解析:f(n+1)-f(n)= ? ? 2 2 ? ? ? ? ? f ( 20) ? f (19) ? 1 ? 19 ? 2 ?

1 (1+2+?+19) ? f(20)=95+f(1)=97. 2 8. 【答案】B 解析: a2+a5)-(a1+a4)=(a2-a1)+(a5-a4)=2d. a3+a6)-(a2+a5)= ( ( (a3-a2)+(a6-a5)=2d.依次类推.
相加得 f(20)-f(1)=

?a ? aq ? aq 2 ?q 2 ? q ? 1 ? 0 ? ? 2 2 9. 【答案】D 解析: 设三边为 a, aq, aq 2 , 则 ?a ? aq ? aq ,即 ?q ? q ? 1 ? 0 ?aq ? aq 2 ? a ?q 2 ? q ? 1 ? 0 ? ?
?1 ? 5 1? 5 ?q? ? 2 ? 2 ?1 ? 5 1? 5 ? 得 ?q ? R ,即 ?q? 2 2 ? ?1 ? 5 ?1 ? 5 ?q ? , 或q ? ? 2 2 ?
? 10. 【答案】 解析: 由 an?1 ? an ? (2n ? 1) ? k ? 0 , n ? N 恒成立,有 3 ? k ? 0 ,得 k ? ?3 。 D 1

11











B







a1 ? a2 n ?1 (2n ? 1) S an 2an a1 ? a2 n ?1 2(2n ? 1) 2n ? 1 2 2 。 ? ? ? ? 2 n ?1 ? ? bn 2bn b1 ? b2 n ?1 b1 ? b2 n ?1 (2n ? 1) T2 n ?1 3(2n ? 1) ? 1 3n ? 1 2 b b 1 m 12. 【答案】D 解析:设 a ? , c ? bq ,则有 ? b ? bq ? m,? b ? 0,? ? q ? 1 ? 。 q q q b

当 q ? 0 时,

m m 1 m 1 ? 而 当 ? ? q ? 1 ? 3 , b ? 0 , 0 ? b ? ; q ? 0 时, ? ? q ? 1 ? ?1 , 3 b q b q



m m ? ?1 ,而 m ? 0 ?b ? 0 ,则 ? m ? b ? 0 ,故 b ? [? m,0) ? (0, ] 。 b 3
1 a n ?1
=

13. 【答案】6 解析:由已知得 数列. ∴

1 1 1 1 1 + ,∴{ }是以 =1 为首项,公差 d= 的等差 an 2 an a1 2

1 1 2 2 =1+(n-1) ,∴an= = ,∴n=6. an 2 n ?1 7

14. 答案】 【 -110 解析: 100-S10=a11+a12+?+a100=45 a11+a100) (a1+a110) S ( =45 =-90 ? a1+a110= -2.

1 S110= (a1+a110)×110=-110. 2 (n ? 2)( ?9 ? 3) 15. 【答案】5 解析:-21= ,∴n=5. 2 (a1 ? a 21 ) 21(a1 ? a 21 ) a11 S 2 ? 21 21 21 2 2 ? ? 16. 【答案】 解析: = = 21 ? . b11 (b1 ? b21 ) 21(b1 ? b21 ) T21 3 ? 21 ? 1 32 32 2 2
17.解: (1)? y ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1)

? x ?1 ?

y

? f ?1 ( x) ? ( x ? 1) 2
定义域为: ?0,???. (2)? S n ? f
?1

(S n?1 ),? S n ? ( S n?1 ? 1) 2 . S n?1 ? 1.

又 S n ? 0,? S n ?

?{ S n }为等差数列 ? a1 ? S1 ? 1,? S n ? n, S n ? n 2 . . ? a n ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? (n ? 1) 2 ? 2n ? 1(n ? 2).
而 a1 = 1 符合上式,故 an ? 2n ? 1. (3) c1 ? c 2 ? ?c n ?

1 1 1 ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1) ? (2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

?

n 2n ? 1

18.解:1)当 n≥2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 整理得

a a (1 ? a n ) ? (1 ? a n ?1 ) 1? a 1? a

an ? a, a n ?1

所以{an}是公比为 a 的等比数列.(4 分) (2)? a1 ? a,? an ? a n

?bn ? an lg | an |? a n lg | a n |? nan lg | a |
①当 a=2 时, Tn ? (2 ? 2 ? 2 2 ? ... ? n ? 2 n ) lg 2,2Tn ? [2 2 ? 2 ? 23 ? ... ? (n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n?1 ] lg 2, 两式相减,得

? Tn ? (2 ? 2 2 ? 2 3 ? ... ? 2 n ? n ? 2 n ?1 ) lg 2, 化简整理,得 Tn ? 2[1 ? (1 ? n) ? 2 n ] lg 2
②因为-1<a<0,所以:当 n 为偶数时,

(9 分)

bn ? nan lg | a |? 0;
当 n 为奇数时,

bn ? nan lg | a |? 0;
所以,如果存在满足条件的正整数 m,则 m 一定是偶数.

b2 k ? 2 ? b2 k ? 2a 2 k (a 2 ? 1)(k ?

a2 ) lg | a |, 其中k ? N * 1? a2

当a ? ?

7 2 时,a 2 ? 1 ? , 3 9
2

所以 2a (a ? 1) lg | a |? 0.又因为
2k

a2 7 ? , 2 2 1? a

所以当 k ? 当k ?

7 时, b2 k ? 2 ? b2 k , 即b8 ? b10 ? b12 ? ... 2

7 时, b2 k ? 2 ? b2 k , 即b8 ? b6 ? b4 ? b2 2

故存在正整数 m=8,使得对于任意正整数 n 都有 bn ? bm 19.解: (Ⅰ)? an ? S n ? S n?1 ? S n ? S n?1 , S n ? 0

(n ? 2)

?

1 1 1 9 ? ? ?1. 又 ? S n S n ?1 S1 2

?{

1 9 }为以 为首项,-1 为公差的等差数列. Sn 2 1 9 11? 2n ? ? (n ? 1) ? (?1) ? Sn 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
2 . 11 ? 2n

? Sn ?

当 n ? 2 时,

a n ? S n ? S n?1 ?

4 , (11? 2n)(13 ? 2n)

?2 ? 9 (n ? 1) ? ? an ? ? . 4 ? (n ? 2) ? (11 ? 2n)(13 ? 2n) ?


11 13 4 ? 0 ,解得 ? n ? ,而 n ? N * , ? n ? 6. 2 2 (11 ? 2n)(13 ? 2n)

故所求 n 的集合为{6}. 20.解: (I)? an为等差数列 且a4 ? a5 ? 0. ,

? S7 ? S1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? S1 ? 3(a4 ? a5 ) ? S1 ; S6 ? S 2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? S 2 ? 2(a4 ? a5 ) ? S 2 ; S5 ? S3 ? a4 ? a5 ? S3 ; 又S 4 ? S 4 .
∴对任意 n ? N*,n ? 8, 等式S k ?n ? S n 恒成立 . (II)推广:设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若存在正整数 k,使 ak ? ak ?1 ? 0, 则对任意 n ? N*,且n ? 2k , 等式S 2k ?n ? S n 恒成立 . 设 {an } 的公差为 d ,? ak ? ak ?1 ? 0,? 2a1 ? (2k ? 1)d ? 0.

? S 2 k ?n ? [a1 ?

(2k ? n ? 1)d 2k ? 1 2k ? n ? 1 ](2k ? n) ? (? d? d )(2k ? n) 2 2 2 n n n ? ? d ? (2k ? n) ? ? (2kd ? nd ) ? ? (d ? 2a1 ? nd ) 2 2 2 n(n ? 1) ? na1 ? d ? S n. 2

故推广后的结论正确. 21.解: (1)由 an ? 2an?1 ? 1及a4 ? 15 知 a4 ? 2a3 ? 1,

解得: a3 ? 7, 同理得 a2 ? 3, a1 ? 1. (2)由 an ? 2an?1 ? 1知 an ? 1 ? 2an?1 ? 2

an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) ??an ? 1?构成以 a1 ? 1 ? 2 为首项以 2 为公比的等比数列;

? an ? 1(a1 ? 1) ? 2n?1 ;? an ? 1 ? 2 n , ? an ? 2 n ? 1. 为所求通项公式
(3)? an ? 2 n ? 1

? S n ? a1 ? a2 ? a3 ? LL ? an ? (21 ? 1) ? (2 2 ? 1) ? (23 ? 1) ? LL ? (2 n ? 1) ? (21 ? 2 2 ? 23 ? LL ? 2 n ) ? n
2(1 ? 2 n ) ? ? n ? 2 n?1 ? 2 ? n. 1? 2
22.解: (1)设 ?an ? 的公差为 d,由题意得:

?a2 ? a5 ? 12 ?2a1 ? 5d ? 12 ?a1 ? 1 ? ? ? an ? 2n ? 1 ?a2 a5 ? 27 ? ?(a1 ? d )(a1 ? 4d ) ? 27 ? ? ?d ? 2 ?d ? 0 ?d ? 0 ? ? 1 1 1 2 ? Tn ? 1 ? bn 得Tn-1 ? 1 ? bn ?1 两式相减得:bn ? bn ?1,b1 ? T1 ? 2 2 3 3
? bn 1 1 2 2?1? ? , 即?bn ? 是以 为公比,以 为首项的等比数列。 bn ? ? ? ? bn ?1 3 3 3 3?3?
n ?1

?1? ? 2? ? ?3?

n

(2) cn ? anbn ? (2n ? 1) ? 2 ? ?

?1? ? 3?

n

?1? ? cn?1 ? cn ? (2n ? 1) ? 2 ? ? ? 3?
? n ? 1,?cn?1 ? cn
创新试题答案 1.解: (1) x n ? ?

n ?1

1 ?1? ? (2n ? 1) ? 2 ? ? ? ?8 ? ( )n?1 (n ? 1) 3 ? 3?

n

5 3 ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n ? 2 2

? yn ? 3 ? xn ?

13 5 3 5 ? ?3n ? ,? Pn (?n ? , ?3n ? ) 4 4 2 4 (2)? cn 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn .? 设 cn 的方程为: 2n ? 3 2 12 n ? 5 y ? a( x ? ) ? , 2 4 把 Dn (0, n 2 ? 1) 代入上式,得 a ? 1 ,? cn 的方程为: y ? x 2 ? (2n ? 3) x ? n 2 ? 1 。 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) k n ? y ' | x?0 ? 2n ? 3 ,? k n?1k n (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ? ??? 7 9 2n ? 1 2n ? 3 k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n 2 5 7 1 1 1 1 1 )? ? = ( ? 2 5 2n ? 3 10 4n ? 6
2.解
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(1)由 S1=a1=1,S2=1+a2,得 3t(1+a2)-(2t+3)=3t ① ②
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∴a2=

2t ? 3 a2 2t ? 3 , ? 3t a1 3t

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又 3tSn-(2t+3)Sn-1=3t, 3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t ①-②得 3tan-(2t+3)an-1=0
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an 2t ? 3 ? ,n=2,3,4?, an?1 3t

所以{an}是一个首项为 1 公比为

2t ? 3 的等比数列; 3t
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(2)由 f(t)=

1 2t ? 3 2 1 2 = ? ,得 bn=f( )= +bn-1 ? bn?1 3 3t 3 t

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2 2n ? 1 (n-1)= ; 3 3 2n ? 1 5 4 (3)由 bn= ,可知{b2n-1}和{b2n}是首项分别为 1 和 ,公差均为 的等差数列, 3 3 3 4n ? 1 于是 b2n= , 3
可见{bn}是一个首项为 1,公差为

2 的等差数列 3

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于是 bn=1+

∴b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+?+b2n-1b2n-b2nb2n+1 ? =b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+?+b2n(b2n-1-b2n+1) =-

4 4 1 5 4n ? 1 4 2 (b2+b4+?+b2n)=- · n( + )=- (2n +3n) 3 3 2 3 9 3

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