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高一数列辅优:递推数列求通项公式的习题(6种题型)(学生用)2012.6.23


数列专题复习---------------------------------------------------------------------------由递推数列到通项公式

2012.6

递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通 项公式

的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。现在总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。 类型 1 an ?1 ? an ? f (n) 解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 例1. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n

练习:已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式 , 变式: 已知数列 {an } a1 ? 1,且 a2k=a2k-1+(-1)K, 中 (1)求 a3, a5; (II)求{ an}的通项公式. 类型 2 a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,…….

an?1 ? f (n)an

解法:把原递推公式转化为

an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

例 1:已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

练习 1: 已知 a1 ? 3 , a n ?1 ?

3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

练习 2:已知数列{an},满足 a1=1, an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 (n≥2),则{an}的通项 an ? ? 类型 3

。解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

?1 ? ___

n ?1 n?2

q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 1? p 例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .

an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ?

练习 1:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列{bn}滿足 4 是等差数列; 类型 4 。 an?1 ? pan ? q n(其中 p,q 均为常数,( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) )
n ?1

b1 ?1 b2 ?1

4

?4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明:数列{bn}
(或 an?1 ? pan ? rqn ,其中 p,q, r

均为常数) 。解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 q

,得:

an?1 p an 1 ? ? ? 引入辅助数列 ?bn ?(其 q n?1 q q n q

an p 1 ) ,得: bn?1 ? bn ? 再待定系数法解决。 n q q q 5 1 1 n ?1 例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2
中 bn ?
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2012.6

变式:设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ?

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1, 2,3,? ? ? 3 3 3
n 3 2n , n ? 1, 2,3,? ?,证明: ? Ti ? ? 2 Sn i ?1

(Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; (Ⅱ)设 Tn ?

类型 5 递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。 解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 其中 s,t 满足 ?

数列 ?an ? : 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b ,求数列 ?an ? 的通项公式。 例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ?

?s ? t ? p ?st ? ?q

2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3

变式:1.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N *). (I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式; (III)若数列 ?bn ? 满足 4
b1 ?1 b2 ?1

4

...4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式(或 Sn ? f (an ) ) 解法:这种类型一般利用 a n ? ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 与 an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消去 S n (n ? 2) 或与 ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an 进行求解。 1 例:已知数列 ?an ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ? n ? 2 .(1)求 an?1 与 an 的关系; (2)求通项公式 an . 2

变式: 已知正项数列 ?an ? , 其前 n 项和 Sn 满足 10Sn ? an 2 ? 5an ? 6 且 a1 , a3 , a15 成等比数列, 求数列 ?an ? 的通项 an 变式:已知数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 , ⑴设数列 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列; ⑵设数列 c n ?

an , (n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列;⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。 2n 1 n ?1 3 变式: 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-2=3 (? ) (n ? 3), 且S1 ? 1, S 2 ? ? , 求数列{an}的通项公式. 2 2
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