nbhkdz.com冰点文库

高一数列辅优:递推数列求通项公式的习题(6种题型)(学生用)2012.6.23


数列专题复习---------------------------------------------------------------------------由递推数列到通项公式

2012.6

递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通 项公式

的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。现在总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。 类型 1 an ?1 ? an ? f (n) 解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 例1. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n

练习:已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式 , 变式: 已知数列 {an } a1 ? 1,且 a2k=a2k-1+(-1)K, 中 (1)求 a3, a5; (II)求{ an}的通项公式. 类型 2 a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,…….

an?1 ? f (n)an

解法:把原递推公式转化为

an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

例 1:已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

练习 1: 已知 a1 ? 3 , a n ?1 ?

3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

练习 2:已知数列{an},满足 a1=1, an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 (n≥2),则{an}的通项 an ? ? 类型 3

。解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

?1 ? ___

n ?1 n?2

q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 1? p 例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .

an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ?

练习 1:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列{bn}滿足 4 是等差数列; 类型 4 。 an?1 ? pan ? q n(其中 p,q 均为常数,( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) )
n ?1

b1 ?1 b2 ?1

4

?4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明:数列{bn}
(或 an?1 ? pan ? rqn ,其中 p,q, r

均为常数) 。解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 q

,得:

an?1 p an 1 ? ? ? 引入辅助数列 ?bn ?(其 q n?1 q q n q

an p 1 ) ,得: bn?1 ? bn ? 再待定系数法解决。 n q q q 5 1 1 n ?1 例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2
中 bn ?
第 1 页 共 2 页

数列专题复习---------------------------------------------------------------------------由递推数列到通项公式

2012.6

变式:设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ?

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1, 2,3,? ? ? 3 3 3
n 3 2n , n ? 1, 2,3,? ?,证明: ? Ti ? ? 2 Sn i ?1

(Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; (Ⅱ)设 Tn ?

类型 5 递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。 解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 其中 s,t 满足 ?

数列 ?an ? : 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b ,求数列 ?an ? 的通项公式。 例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ?

?s ? t ? p ?st ? ?q

2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3

变式:1.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N *). (I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式; (III)若数列 ?bn ? 满足 4
b1 ?1 b2 ?1

4

...4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式(或 Sn ? f (an ) ) 解法:这种类型一般利用 a n ? ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 与 an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消去 S n (n ? 2) 或与 ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an 进行求解。 1 例:已知数列 ?an ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ? n ? 2 .(1)求 an?1 与 an 的关系; (2)求通项公式 an . 2

变式: 已知正项数列 ?an ? , 其前 n 项和 Sn 满足 10Sn ? an 2 ? 5an ? 6 且 a1 , a3 , a15 成等比数列, 求数列 ?an ? 的通项 an 变式:已知数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 , ⑴设数列 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列; ⑵设数列 c n ?

an , (n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列;⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。 2n 1 n ?1 3 变式: 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-2=3 (? ) (n ? 3), 且S1 ? 1, S 2 ? ? , 求数列{an}的通项公式. 2 2
第 2 页 共 2 页


高一数列辅优:递推数列求通项公式的习题(6种题型)(学生用)2012.6.23

---由递推数列到通项公式 2012.6 递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通...

高一数列辅优:递推数列求通项公式的习题(含答案)2012.6.23

高一数列辅优:递推数列求通项公式的习题(含答案)2012.6.23 隐藏>> 高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在...

题型最全的递推数列求通项公式的习题

最全的递推数列求通项公... 5页 1下载券 高一数列辅优:递推数列... 2页...高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的...

递推数列求通项公式的习题

递推数列求通项公式的习题_数学_高中教育_教育专区。高考中通项公式 a n 求法题型分类前言:数列通项公式的求法一直以来都是高考数列题的难点,现在我总结出来一些...

高一数列专项典型练习题及解析答案

项积为 Tn, T2014=( C .6 D.﹣6 ) 7. ...(Ⅰ)求{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列 的...考查学生分析解决问题的能力,确定数列{an}是周期为...

高一数列专项典型练习题及解析答案3

T2014=( C .6 D.﹣6 ) 7. (2014?河西区一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 an+2=2an+1﹣an,a6=4﹣a4,则 S9=( ) A.9 8. (2013...

高一数列专项典型练习题及解析答案(1)

T2014=( C .6 D.﹣6 ) 7. (2014?河西区一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 an+2=2an+1﹣an,a6=4﹣a4,则 S9=( ) A.9 B.12 C....

4.17高一数列专项典型练习题及解析答案

T2014=( C .6 D.﹣6 ) 7. (2014?河西区一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 an+2=2an+1﹣an,a6=4﹣a4,则 S9=( ) A.9 B.12 C....

几类常见递推数列的解题方法

学生要求高.第二类方法有一定的规律性,只需遵循其特有规律方可顺利 求解.在教学中,我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法. 一...

高考递推数列通项公式的题型探究

高考递 数列通项公式的题型探究 高考递推数列通项公式的题型探究 题型 2008-9-28 数列知识是高考考察的重点和热点,高考数列试题是以等差、等比数列知识为主干,经...