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2013年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)文科数学答案


2013 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测

数 学(文科)
一、填空题 二、填空题 ? 11. 4 BDBCACBDBD 12. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 5
2 2

评分参考

13. 20 15.
1 3

? 2 14. ? sin(?

? ) ? (或 ? sin? ? ? cos? ? 1 ) 4 2
三、解答题 16.⑴解法 1、 由题可知: A(?1,3) , B(cos ? ,sin ? ) , ??? ? ??? ? OA ? (?1,3) , OB ? (cos ? ,sin ? ) ??? ??? ? ? OA ? OB ,得 OA ? OB ? 0 1 ∴ ? cos ? ? 3sin ? ? 0 , tan ? ? 3 解法 2、 由题可知: A(?1,3) , B(cos ? ,sin ? ) kOA ? ?3 , kOB ? tan ?

……1 分 ……2 分 ……3 分 ……4 分 ……1 分 ……2 分

∵ OA ? OB ,∴ KOA ? KOB ? ?1 ……3 分 1 ……4 分 ?3tan ? ? ?1 , 得 tan ? ? 3 解法 3、 设 B( x , y ) , (列关于 x、y 的方程组 2 分,解方程组求得 x、y 的值 1 分,求正切 1 分) ⑵解法 1、 由⑴ OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 , 记 ?AOx ? ? , ? ? ( , ? ) 2 3 3 10 ?1 10 ? ?? ∴ sin ? ? , cos ? ? (每式 1 分) 10 10 10 10 4 3 ∵ OB ? 1 cos ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? (列式计算各 1 分) 5 5 3 10 4 10 3 3 10 sin ?AOB ? sin( ? ? ? ) ? ? ? ? ? (列式计算各 1 分) 10 5 10 5 10 1 1 3 10 3 ∴ S?AOB ? AO BO sin ?AOB ? ? 10 ?1? ? (列式计算各 1 分) 2 2 10 2 解法 2、 由题意得: AO 的直线方程为 3x ? y ? 0 3 4 3 则 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 即 B ( , ) (列式计算各 1 分) 5 5 5 4 3 3 ? ? 3 5 5 5 ? 10 (列式计算各 1 分) 则点 B 到直线 AO 的距离为 d ? 10 10
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?

……6 分 ……8 分 ……10 分 ……12 分 ……6 分 ……8 分

……10 分

又 OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 ,∴ S?AOB ? 解法 3、
sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

1 1 3 10 3 AO ? d ? ? 10 ? ? (每式 1 分)…12 分 2 2 10 2

4 3 3 即 B ( , ) (每式 1 分) ……6 分 5 5 5 ??? ? ??? ? 4 3 即: OA ? (?1,3) , OB ? ( , ) , ……7 分 5 5 ??? ??? ?1? 4 ? 3 ? 3 ? ? OA ? OB 2 2 5 5 ? 10 ……9 分 OA ? (?1) ? (3) ? 10 , OB ? 1 , cos ?AOB ? ??? ??? ? ? ? 10 10 ?1 OA OB

(模长、角的余弦各 1 分)
3 10 ……10 分 10 1 1 3 10 3 ? (列式计算各 1 分) 则 S?AOB ? AO BO sin ?AOB ? ? 10 ?1? ……12 分 2 2 10 2 解法 4、根据坐标的几何意义求面积(求 B 点的坐标 2 分,求三角形边长 2 分,求某个 内角的余弦与正弦各 1 分,面积表达式 1 分,结果 1 分)

∴ sin ?AOB ? 1 ? cos 2 ?AOB ?

17.⑴李生可能走的所有路线分别是:DDA,DDB,DDC,DEA,DEB,DEC,EEA,EEB, EEC,EDA,EDB,EDC(1-2 个 1 分,3-5 个 2 分,5-7 个 3 分,7-11 个 4 分, ……5 分 ) 共 12 种情况 ……6 分 ⑵从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有:DEA,DEC,EEA,EEC ……7 分 共 4 种情况, ……8 分 4 1 所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率 P ? ? (文字说明 1 分)……12 分 12 3 18.⑴解法 1、 依题意, CP ? 1 , C1 P ? 2 ,在 Rt ?BCP 中, PB ? 12 ? 12 ? 2 同理可知, A1 P ? 22 ? 22 ? 2 2 , A1 B ? 32 ? 12 ? 10 (每式 1 分) 所以 A1P ? PB ? A1B , 则 A1P ? PB ,
2 2 2

……1 分 ……3 分 ……4 分 ……5 分 ……6 分

同理可证, A1P ? PD ,

由于 PB ? PD ? P , PB ? 平面 PBD , PD ? 平面 PBD , ……7 分 所以, A1 P ? 平面 PBD . ……8 分 解法 2、 由 A1P ? PB (或 A1 P ? PD )和 A1 P ? BD 证明 A1 P ? 平面 PBD (证明任何一个线线垂直关系
给 5 分,第二个线线垂直关系给 1 分)

⑵解法 1、 如图 1,易知三棱锥 A1 ? BDC1 的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体 积,即 VA1 ? BDC1 ? VABCD ? A1B1C1D1 ? 4VA1 ? ABD (文字说明 1 分)……11 分 D1
1 ?1 ? ? ? AB?AD ??A1 A ? 4 ? ? ? AB?AD ??A1 A ……13 分 3 ?2 ? 1 ……14 分 ? ? 2 ? 2 ?3 ? 2 3
文科试题参考答案 第 2 页 共 5 页

C1 B1

N
A1

C1

A1

D
A

C

D
B (第 18 题图 2)

B (第 8 题图 1)

M

解法 2、 依题意知,三棱锥 A1 ? BDC1 的各棱长分别是
A1C1 ? BD ? 2 , A1 B ? A1 D ? C1 B ? C1 D ? 11 (每式 1 分)……10 分

如图 2,设 BD 的中点为 M ,连接 A1M,C1M , 则 A1M ? BD , C1M ? BD ,且 A1M ? C1M ? 10 , 于是 BD ? 平面 A1C1M , ……12 分 设 A1C1 的中点为 N ,连接 MN ,则 MN ? A1C1 ,且 MN ? A1M 2 ? A1 N 2 ? 10 ? 1 ? 3 , 则三角形 A1C1M 的面积为 S?A1C1M ?
1 1 ……13 分 A1C1 ?MN ? ? 2 ? 3 ? 3 , 2 2 1 1 所以,三棱锥 A1 ? BDC1 的体积 V ? ?S?A1C1M ?BD ? ? 3 ? 2 ? 2 . ……14 分 3 3 p ? 1, p ? 2 2

19.⑴由题意,抛物线 C2 的焦点 F ?1, 0 ? ,则 所以方程为: y 2 ? 4 x . ⑵解法 1、 设 P(m, n) ,则 OP 中点为 ( , ) ,
m n 2 2

……2 分 ……3 分 ……4 分

m ?n ? 2 ? k ( 2 ? 4) ? 因为 O、P 两点关于直线 y ? k ( x ? 4) 对称,所以 ? (每方程 1 分)……6 分 ? n ? k ? ?1 ? m ? 2 ? 8k ?m? ?km ? n ? 8k 1? k2 , 即? ,解之得 ? ……7 分 ? ? m ? nk ? 0 ? n ? ? 8k ? 1? k2 ? 8k 2 8k 2 将其代入抛物线方程,得: (? ,所以 k 2 ? 1 (列式计算各 1 分)……9 分 ) ? 4? 2 2 1? k 1? k ? y ? k ( x ? 4) ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得: (b2 ? a2 ) x2 ? 8a2 x ? 16a2 ? a2b2 ? 0 ……11 分 ? 2 ?1 ? 2 b ?a 2 2 由 ? ? (?8a ) ? 4(b2 ? a2 )(16a2 ? a2b2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b2 ? 16 , ……12 分

注意到 b2 ? a2 ? 1 ,即 2a 2 ? 17 ,所以 a ?

34 ,即 2a ? 34 , 2

……13 分 ……14 分

因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 . 解法 2、 ? m2 ? , m ? ,因为 O、P 两点关于直线 l 对称,则 OM ? MP =4 , 设 P? ? 4 ?
2

……5 分

? m2 ? 即 ? ……6 分 ? 4 ? ? m2 ? 4 ,解之得 m ? ?4 ? 4 ? 即 P(4, ?4) ,根据对称性,不妨设点 P 在第四象限,且直线与抛物线交于 A, B 如图.则
文科试题参考答案 第 3 页 共 5 页

k AB ? ?

1 ? 1 ,于是直线 l 方程为 y ? x ? 4 (讨论、斜率与方程各 1 分) kOP

……9 分 ……11 分 ……12 分 ……13 分 ……14 分

? y? x?4 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得: (b2 ? a2 ) x2 ? 8a2 x ? 16a2 ? a2b2 ? 0 ? ? 2 ? 2 ?1 b ?a 2 2 由 ? ? (?8a ) ? 4(b2 ? a2 )(16a2 ? a2b2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b2 ? 16 ,

注意到 b2 ? a2 ? 1 ,即 2a 2 ? 17 ,所以 a ? 因此,椭圆 C1 长轴长的最小值为 34 .

34 ,即 2a ? 34 , 2

y

l

y

B

O F

M P

x

O F

M P

x

A

20.⑴设第 n 年新城区的住房建设面积为 ?n m2 ,则当 1 ? n ? 4 时, ?n ? 2n?1 a ;……1 分 当 n ? 5 时, ?n ? (n ? 4)a . ……2 分 所以, 当 1 ? n ? 4 时, an ? (2n ? 1)a 当 n ? 5 时, an ? a ? 2a ? 4a ? 8a ? 9a ? … ? (n ? 4)a ?
2

……3 分
n ? 9n ? 22 a (列式 1 分)……5 分 2

?(2 n ? 1) a (1 ? n ? 4), ? 故 an ? ? n 2 ? 9n ? 22 ……6 分 a (n ? 5). ? ? 2 ⑵ 1 ? n ? 3 时, an?1 ? (2n?1 ? 1)a , bn ? (2n ? 1)a ? 64a ? 4na ,显然有 an ?1 ? bn ……7 分

n ? 4 时, an?1 ? a5 ? 24a , bn ? b4 ? 63a ,此时 an ?1 ? bn .

……8 分

5 ? n ? 16 时, an ?1 ?

n ? 11n ? 12 n ? 9n ? 22 a , bn ? a ? 64a ? 4na (每式 1 分)……10 分 2 2 an?1 ? bn ? (5n ? 59)a . ……11 分
2 2

所以, 5 ? n ? 11 时, an ?1 ? bn ; 12 ? n ? 16 时, an ?1 ? bn . n ? 17 时,显然 an ?1 ? bn ……13 分 (对 1-2 种情况给 1 分,全对给 2 分) 故当 1 ? n ? 11 时, an ?1 ? bn ;当 n ? 12 时, an ?1 ? bn . 21.⑴ f ?( x) ? ……14 分

1 1 x 2 ? (2a ? 1) x ? a 2 ? ? ……1 分 x ( x ? a)2 x( x ? a ) 2 设 h( x) ? x 2 ? (2a ? 1) x ? a 2 ,其判别式 ? ? (2a ? 1)2 ? 4a 2 ? 4a ? 1 ……2 分 1 ①当 a ? ? 时, ? ? 0, h( x) ? 0, x( x ? a) 2 ? 0 ,? f ?( x) ? 0 , f (x) 在定义域 ? 0, ?? ? 上是增函 4 数; ……3 分

文科试题参考答案

第 4 页 共 5 页

当 ? ? 0 时,由 h( x) ? x 2 ? (2a ? 1) x ? a 2 ? 0 解得: x1 ?

2a ? 1 ? 4a ? 1 2a ? 1 ? 4a ? 1 , x2 ? 2 2 (每个根 1 分)……5 分

1 ? ②当 ? ? a ? 0 时, ? 0 , a ? 1 ? 0 ; (2a ? 1)2 ? (4a ? 1) ? 4a 2 ? 0 , 2a ? 1 ? 4a ? 1 ? 0 , 又 ? 2 4 2a ? 1 ? 4a ? 1 2a ? 1 ? 4a ? 1 故 x2 ? x1 ? 0 ,即 h( x) 在定义域 ? 0, ?? ? 上有两个零点 x1 ? , x2 ? 2 2 2 ?( x) ? 0 , f (x) 为 ? 0, x1 ? 上的增函数 在区间 ? 0, x1 ? 上, h( x) ? 0 , x( x ? a) ? 0 ,? f

在区间 ? x1 , x2 ? 上, h( x) ? 0 , x( x ? a)2 ? 0 ,? f ?( x) ? 0 , f (x) 为 ? x1 , x2 ? 上的增函数 在 区 间 ? x2 , ?? ? 上 , h( x ) ? 0, x( x ? a)2 ? 0 , ? f ?( x) ? 0 , f (x) 为 ? x2 , ?? ? 上 的 增 函 数. ……6 分 ③当 a ? 0 时, x1 ? 0, x2 ? 1 ,在区间 ? 0,1? 上, h( x) ? 0 , x( x ? a) ? 0 ,? f ?( x) ? 0 ;在区
2

间 ?1, ?? ? 上, h( x) ? 0 , x( x ? a)2 ? 0 ,? f ?( x) ? 0 ,

……7 分

④当 a ? 0 时,函数 f (x) 的定义域是 ? 0, a ? ? ? a, ?? ? ,? h(a) ? ?a ? 0 , h( x) 在 ? 0, a ? 上有 零点 x1 ?
2a ? 1 ? 4a ? 1 2a ? 1 ? 4a ? 1 , ? a, ?? ? 上有零点 , x2 ? 在 ; 在区间 ? 0, x1 ? 和 ? x2 , ?? ? 上, 2 2 在区间 ? x1 , a ? 和 ? a, x2 ? 上, f ?( x) ? 0 , f (x) 在 f ?( x) ? 0 , f (x) 在 ? 0, x1 ? 和 ? x2 , ?? ? 上为增函数;

? x1 , a ? 和 ? a, x2 ? 上位减函数.

……8 分

1 1 综上: 当 a ? ? 时,函数 f (x) 的递增区间是 ? 0, ?? ? ;当 ? ? a ? 0 时, f (x) 的递增区间 4 4 是 ? 0, x1 ? 和 ? x2 , ?? ? ,递减区间是 ? x1 , x2 ? ;当 a ? 0 时, f (x) 的递减区间是 ? 0,1? ;递增区间是

?1, ?? ? ; 当 ? x2 , ?? ? .
g ?( x) ?

a ? 0 时 , f (x) 的 递 减 区 间 ? x1 , a ? 和 ? a, x2 ? , 递 增 区 间 是 ? 0, x1 ? 和
……9 分

⑵当 a ? 0 时, g ( x) 的定义域是 ? 0, ?? ? ,当 a ? 0 时, g ( x) 的定义域是 ? 0, a ? ? ? a , ?? ? ,
x(1 ? ln x) ? a ,令 t (x) ? x(1 ?ln x) ,则 t ?(x) ? ?ln x (每个导数 1 分) x( x ? a ) 2 在区间 ? 0,1? 上, t ?( x) ? ? ln x ? 0 , t ( x) ? x(1 ? ln x) 是增函数且 0 ? t ( x) ? 1;

……11 分

在区间 ?1, ?? ? 上, t ?( x) ? ? ln x ? 0 , t ( x) ? x(1 ? ln x) 是减函数且 t ( x) ? 1 ; 当 x ? 1 时,t (1) ? 1 . 故当 a ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 无极大值; 函数 g ( x) 在 x ? x?? 处取得极大值; 值. ……12 分

当 0 ? a ? 1时, t (a) ? a ? 0 ,方程 t ( x) ? a 在区间 ? 0,1? 和 ?1, ?? ? 上分别有一解 x?, x?? ,此时 ……13 分 当 a ? 0 时,方程 t ( x) ? a 在区间 ? e, ?? ? 上有一解 x??? ,此时函数 g ( x) 在 x ? x??? 处取得极大 综上所述,若 g ( x) 有极大值,则 a 的取值范围是 ? ??,1? . ……14 分

文科试题参考答案

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