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2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第2课时 函数的单调性和最值


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高三数学(新课标版· 理)

2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)

第二章 函数与基本初等函数

第二章

函数与基本初等函数

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第2课时 函数的单调性和最



第二章

第2课时

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理解函数的单调性及其几何意义; 会运用函数图像理 解和研究函数的性质; 会求简单函数的值域, 理解最大(小) 值及几何意义.

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请注意!
函数的单调性是函数的一个重要性质,几乎是每年必 考的内容,例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单 调性比较大小、求值域、最值或解不等式.如2010年广东 卷第19题,2010年浙江卷第15题等.

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1.单调性定义 (1)单调性定义:给定区间D上的函数y=f(x),若对于
?x1,x2 ∈D,当x1<x2时,都有f(x1) < f(x2),则f(x)为区

间D上的增函数,否则为区间D上的减函数. 单调性与单调区间密不可分,单调区间是定义域的 子区间.

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(2)证明单调性的步骤:证明函数的单调性一般从定 义入手,也可以从导数入手.①利用定义证明单调性的 一般步骤是a.?x1,x2∈D,且x1<x2 ,b.计算f(x1)-f(x2) 并 判断符号,c.结论. ②设y=f(x)在某区间内可导,如果f′(x) ≥ 0,则f(x) 为增函数,若f′(x) ≤ 0,则f(x)为减函数.

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2.与单调性有关的结论 ①若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数,则f(x)+ g(x)为某区间上的 增(减) 函数. ②若f(x)为增(减)函数,则-f(x)为 减(增) 函数. ③y=f[g(x)]是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单 调性相同,则y=f[g(x)]是 增函数. 若f(x)与g(x)的单调性相 反,则y=f[g(x)]是 减函数.

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④奇函数在对称区间上的单调性 相同 ,偶函数在对 称区间上的单调性 相反. ⑤若函数f(x)在闭区间[a,b]上是减函数,则f(x)的最 大值为 f(a) ,最小值为 f(b) ,值域为 [f(b),f(a)].

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3.函数的最值 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意x∈I,都有 f(x)≤M ,②存在x0∈I,使得 f(x0)
=M ,则称M是函数y=f(x)的最大值;类比定义y=f(x)

的最小值.

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1.(课本习题改编)f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调增 区间为________;f(x)max=________.

答案 [1,4]

8

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解析 函数f(x)的对称轴:x=1,单调增区间为 [1,4],f(x)max=f(-2)=f(4)=8.

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2.下列函数中,在区间(-∞,0)上是减函数的是 ( ) A.y=1-x2 C.y=- -x B.y=x2+x x D.y= x-1

答案 D

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1-x 3.(1)函数y= 的减区间是__________________ 1+x _______________________________________________; (2)函数y= 1-x 的减区间是________________. 1+x

答案

(1)(-∞,-1),(-1,+∞) (2)(-1,1]

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1-x 2 解析 (1)∵y= =-1+ 1+x 1+x ∴当1+x>0或1+x<0时,此函数均为减函数,故 减区间为(-1,+∞)、(-∞,-1) 1-x (2)由 ≥0得x∈(-1,1],此即为递减区间. 1+x

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4.函数f(x)=log0.5(x2-2x-8)的增区间________; 减区间________.

答案 (-∞,-2),(4,+∞)

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解析 先求函数的定义域,令x2-2x-8>0,得x> 4或x<-2,通过图像得函数u=x2-2x-8,在x>4时, 单调递增,在x<-2时递减,所以原函数f(x)=log0.5(x2- 2x-8)在(4,+∞)上递减,在(-∞,-2)上递增. 评析 求函数的单调区间,应先确定函数的定义 域,在定义域的基础上,划分单调增(减)区间,因此, 函数的单调区间应是定义域的子集.

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5.若奇函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,则不等式 f(lgx)+f(1)>0的解集是________.

答案

1 (0,10)

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解析 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),又因 为f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在[0,+∞)上也 为单调递减函数,所以函数f(x)在R上为单调递减函数. 不等式f(lgx)+f(1)>0可化为f(lgx)>-f(1)=f(-1),所 1 以lgx<-1,解得0<x< . 10

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题型一

判断或证明函数的单调性

ax 例1 判断函数f(x)= 2 (a≠0)在区间(-1,1)上的单调 x -1 性.

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【解析】 法一 设-1<x1<x2<1, a?x1x2+1??x2-x1? 则f(x1)-f(x2)= . 2 2 ?x1-1??x2-1? ?x1x2+1??x2-x1? ∵ 2 >0, ?x1-1??x2-1? 2 ∴a>0时,函数f(x)在(-1,1)上为减函数; a<0时,函数f(x)在(-1,1)上为增函数.

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-a?x2+1? 法二 对f(x)求导,有f′(x)= 2 , ?x -1?2 ∵x∈(-1,1),∴(x2-1)2>0,x2+1>0, ∴当a<0时,f′(x)>0,f(x)在(-1,1)上为增函数, 当a>0时,f′(x)<0,f(x)在(-1,1)上为减函数.

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【答案】 a>0时,函数f(x)在(-1,1)上为减函数; a<0时,函数f(x)在(-1,1)上为增函数.

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探究1 (1)判断函数的单调性有三种方法: ①图像法;②利用已知函数的单调性;③定义法. (2)证明函数的单调性有两种方法: ①定义法;②导数法.

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思考题1 设函数f(x)=2x+a· x-1(a为实数).若 2 a<0,用函数单调性定义证明:y=f(x)在(-∞,+∞)上 是增函数.



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【解析】 设任意实数 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2) =(2x1+a· x1-1)-(2 x2+a· x1-1) 2 2
- -

=(2 x1-2 x2)+a(2 x1-2 x2)
- -

2 x1 x2-a =(2 x1-2 x2)· 2 x1 x2 .
+ +

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∵x1<x2,∴2 x1<2 x2,∴2 x1-2 x2<0; ∵a<0,∴2 x1 x2-a>0.又 2 x1 x2>0.
+ +

∴f(x1)-f(x2)<0,所以 f(x)是增函数.

【答案】 略

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题型二
例2

求函数的单调区间

求下列函数的单调区间.

(1)f(x)=-x2+2|x|+3; (2)f(x)=log1 (-x2-2x+3).
2

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【解析】

?-x2+2x+3 ? (1)∵f(x)=? 2 ?-x -2x+3 ?

?x≥0? ?x<0?

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其图像如图所示,所以,函数y=f(x)的单调递增区 间为(-∞,-1]和[0,1];单调递减区间为[-1,0]和[1, +∞).

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(2)设u=-x2-2x+3(u>0),其图像如图所示.

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1 ∵0< <1, 2 ∴f(x)的单调增区间就是u(x)=-x2-2x+3(u>0)的单 调减区间[-1,1);单调减区间就是u(x)的单调增区间(- 3,-1] ∴f(x)的增区间为[-1,1),减区间为(-3,-1].

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【答案】 (1)单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1], 单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞). (2)增区间为[-1,1),减区间为(-3,-1].

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探究2 (1)求函数的单调区间,首先应注意函数的 定义域,函数的增减区间都是其定义域的子集;其次掌 握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.常 用方法:定义法,利用图像和单调函数的性质,导数 法.

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若两个函数f(x),g(x)在x∈(a,b)上都是增(减)函 1 数,则f(x)+g(x)也为增(减)函数,但f(x)· g(x), 等的单 f?x? 调性与其正负有关,切不可盲目类比. (2)求复合函数的单调区间时,要注意单调区间必须 在定义域内.

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思考题2 求下列函数的单调区间. 1 (1)f(x)= 2; 3-2x-x (2)f(x)=log1 (-x2+4x+5);
2

(3)y=x-ln(x-1).

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【解析】 (1)∵3-2x-x2>0,∴-3<x<1. 由一元二次函数图像可知f(x)的递减区间是(-3,- 1],递增区间为(-1,1). (2)令u=-x2+4x+5,则f(x)=log1 u.
2

∵u>0,∴-1<x<5且x∈(-1,2],u为增函数;x∈ (2,5)时,u为减函数.

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又y=log 1 u在(0,+∞)上为减函数,据复合函数同
2

增异减, 故f(x)在(-1,2]上单调递减;f(x)在(2,5)上单调递 增. (3)由x-1>0得x>1 x-2 1 y′=1- = x-1 x-1

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x y′ y

(1,2) - ??

2 0

(2,+∞) + ??

由上表可知,函数的增区间为(2,+∞),减区间为 (1,2).

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【答案】 (1)递减区间是(-3,-1],递增区间为 (-1,1). (2)f(x)在(-1,2]上单调递减;f(x)在(2,5)上单调递 增. (3)增区间为(2,+∞),减区间为(1,2).

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题型三

利用函数的单调性求最值

1 例3 (1)求函数f(x)=x-x在[1,3]上的最值.

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【解析】 解法一 设1≤x1<x2≤3 1 1 f(x2)-f(x1)=x2-x -(x1-x ) 2 1 x2-x1 1 1 =x2-x1+ - =x2-x1+ x1 x2 x1x2 1 =(x2-x1)(1+x x ) 1 2

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∵1≤x1<x2≤3,∴f(x2)-f(x1)>0 1 ∴f(x)=x- 在[1,3]上为增函数 x 8 ∴最小值为f(1)=0,最大值为f(3)=3.

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1 解法二 在[1,3]上,y=x为增函数,y= x 为减函 数, 1 ∴y=x- 为增函数,以下同解法一. x

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8 【答案】 最小值为f(1)=0,最大值为f(3)= . 3

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(2)已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)= 2 f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-3. ①求证:f(x)在R上是减函数; ②求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

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【思路】 问题(1)对于抽象函数的问题要根据题设 及所求的结论来适当取特殊值,证明f(x)为单调减函数的 首选方法是用单调性的定义来证.问题(2)用函数的单调 性即可求最值.

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【解析】 ①证明 方法一:∵函数f(x)对于任意 x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令x=y=0,得f(0)=0. 再令y=-x,得f(-x)=-f(x). 在R上任取x1>x2,则x1-x2>0, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).

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又∵x>0时,f(x)<0, 而x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2). 因此f(x)在R上是减函数.

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方法二:设x1>x2, 则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在R上为减函数.

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(2)解析 ∵f(x)在R上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与 f(3). 而f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.

答案 最大值为2,最小值为-2.

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探究3

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(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的

重要方法,特别是当函数图像不易作出时,单调性几乎 成为首选方法. (2)函数的最值与单调性的关系 若函数的闭区间[a,b]上是减函数,则f(x)在[a,b] 上的最大值为f(a),最小值为f(b); 若函数在闭区间[a,b]上是增函数,则f(x)在[a,b] 上的最大值为f(b),最小值为f(a).

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x 思考题3 求函数f(x)= 在[0,3]上最值. x+1

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【解析】 设0≤x1<x2≤3,

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?x2-x1? x2 x1 f(x2)-f(x1)= - = , x2+1 x1+1 ?x2+1??x1+1? ∵0≤x1<x2≤3,∴f(x2)-f(x1)>0. x ∴f(x)= 在[0,3]上单调递增. x+1 3 ∴最小值为f(0)=0,最大值为f(3)= . 4
3 【答案】 最小值为f(0)=0,最大值为f(3)=4.

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1 【探究】 本题还可以用:f(x)=1- ,从而确 x+1 定f(x)在[0,3]上递增.

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题型四

单调性的应用
?ax2+1?x≥0? ? ? ??a+2?eax?x<0? ?

例4

(1)已知函数f(x)=

为R上的单调函

数,则实数a的取值范围是( A.[-1,0) C.[-2,0)

) B.(0,+∞) D.(-∞,-2)

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【解析】 若f(x)在R上单调递增, ?a>0 ? 则有?a+2>0, ?a+2≤1 ?

此不等式组无解;

若f(x)在R上单调递减,

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?a<0 ? 则有?a+2>0, ?a+2≥1 ?

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解得-1≤a<0.

综上,实数a的取值范围是[-1,0).
【答案】 A

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(2)是否存在实数a,使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间 [2,4]上是增函数?如果存在,求a的范围.

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【解析】 设g(x)=ax2-x,假设符合条件a值存 在. 当a>1时,为使函数y=f(x)=loga(ax2-x)在闭区间 [2,4]上是增函数,只需g(x)=ax2-x在[2,4]上是增函数, 故应满足. 1 ? ?x= ≤2 1 2a ? 解得a> , 2 ?g?2?=4a-2>0 ?

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又a>1,∴a>1

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当0<a<1时,为使函数y=f(x)=loga(ax2-x)在闭区间 [2,4]上是增函数,只需g(x)=ax2-x在[2,4]上是减函数. 1 ? ?x= ≥4 故应满足:? 2a 无解. ?g?4?=16a-4>0 ? 综上可知,当a∈(1,+∞)时, f(x)=loga(ax2-x)在[2,4]上为增函数.

【答案】 存在,a>1.
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(3)已知f(x)的定义域为(0,+∞),且在其上为增函 数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,试解不等式 f(x)+f(x-2)<3.

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【解析】 ∵f(2)+f(2)=f(4),f(2)=1. ∴f(4)=2, ∴3=2+1=f(4)+f(2)=f(8). 因为f(x)+f(x-2)=f[x(x-2)], 所以原不等式为:f[x(x-2)]<f(8). 根据函数的定义域和单调性有

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?x>0 ? ?x-2>0 ?x?x-2?<8 ?

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?2<x<4,

所以原不等式的解集为{x|2<x<4}. 解抽象不等式时,应先将不等式化为 f[p(x)]<f[q(x)]形式,然后根据f(x)的单调性,去掉外 层函数f,即可得关于x的不等式.

【答案】 {x|2<x<4}

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探究4 已知单调性求参数值或利用单调性解不等式 是高考中热点,主要体现对性质的应用.

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思考题4 (1)已知f(x)=

??2-a?x+1,x<1, ? ? x ?a ,x≥1 ?

是R上

的增函数,那么a的取值范围是________.

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?2-a>0, ? 【解析】 依题意得?a>1, ?a≥?2-a?×1+1, ? 3 解得a的取值范围是 ≤a<2. 2

3 【答案】 [2,2)

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(2)已知函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且满 足f(x2+2x+3)<f(6)的x为________.

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【解析】 ∵x2+2x+3>0,∴x2+2x+3<6, ∴x2+2x-3<0,∴-1<x<3.

【答案】 -1<x<3

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1.(1)若f(x)与g(x)在定义域内均是增函数(减函数), 那么f(x)+g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数). (2)复合函数的单调性判断,要注意掌握“同增异 减”.

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2.根据定义证明函数单调性的一般步骤:设值 (x1,x2且x1<x2)→作差(f(x1)-f(x2))→变形→定号→结论. 3.对于函数f(x)的单调性,也可直接求f′(x),当 f′(x)>0时为增函数,当f′(x)<0时为减函数. 4.单调性法是求最值(或值域)的常用方法.

第二章

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