nbhkdz.com冰点文库

3-3导数的实际应用


3-3 导数的实际应用 基础巩固强化 1.(文)正三棱柱体积为 V,则其表面积最小时,底面边长为( 3 A. V [答案] C 3 [解析] 设正三棱柱底面边长为 a,高为 h,则体积 V= 4 a2h, ∴h= 4V 3 2 3 4 3V a +3ah= 2 a2+ a , 2,表面积 S= 2 3a 3 B. 2V 3 C. 4V 3 D.2 V )

4

3V 3 由 S′= 3a- a2 =0,得 a= 4V,故选 C. (理)在内接于半径为 R 的半圆的矩形中,周长最大的矩形的边长 为( ) R 3 A. 2 和2R 4 7 C.5R 和5R [答案] B [解析] 设矩形垂直于半圆直径的边长为 x,则另一边长为 (0<x<R), 5 4 5 B. 5 R 和 5 R D.以上都不对

2 R2-x2,则 l=2x+4 R2-x2 l′=2-

4x 5 2 2,令 l′=0,解得 x= 5 R. R -x

5 5 当 0<x< 5 R 时,l′>0;当 5 R<x<R 时,l′<0. 5 5 所以当 x= 5 R 时, 取最大值, l 即周长最大的矩形的边长为 5 R, 4 5 5 R.

2.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万 1 件)的函数关系式为 y=-3x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大 年利润的年产量为( A.13 万件 C.9 万件 [答案] C 1 [解析] ∵y=-3x3+81x-234, ∴y′=-x2+81(x>0). 令 y′=0 得 x=9,令 y′<0 得 x>9,令 y′>0 得 0<x<9, ∴函数在(0,9)上单调递增,在(9,+∞)上单调递减, ∴当 x=9 时,函数取得最大值.故选 C. [点评] 利用导数求函数最值时,令 y′=0 得到 x 的值,此 x 的 值不一定是极大(小)值时,还要判定 x 值左右两边的导数的符号才能 确定. 3.(文)做一个圆柱形锅炉,容积为 V,两个底面的材料每单位面 积的价格为 a 元,侧面的材料每单位面积的价格为 b 元,当造价最低 时,锅炉的底面直径与高的比为( a A.b [答案] C [解析] a2 B. b b C.a ) b2 D. a ) B.11 万件 D.7 万件

如图,设圆柱的底面半径为 R,高为 h,则 V=πR2h. V 设造价为 y,则 y=2πR2a+2πRhb=2πaR2+2πRb· 2=2πaR2+ πR 2bV R , 2bV ∴y′=4πaR- R2 . 2R b 令 y′=0 并将 V=πR2h 代入解得, h =a. (理)圆柱的表面积为 S,当圆柱体积最大时,圆柱的底面半径为 ( ) A. S 3π B. 3πS D.3π· 6πS

6πS C. 6π [答案] C

[解析] 设圆柱底面半径为 r,高为 h, S-2πr2 ∴S=2πr +2πrh,∴h= 2πr ,
2

rS-2πr3 S-6πr2 又 V=πr h= ,则 V′= 2 ,令 V′=0, 2
2

6πS 得 S=6πr2,∴h=2r,r= 6π .

4.某公司生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位 产品,成本增加 100 元,已知总收益 R 与产量 x 的关系是 R=

?400x-1x2,0≤x≤400, 2 ? ?80000, x>400.
( ) A.100 C.200 [答案] D

则总利润最大时,每年生产的产品是

B.150 D.300

[解析] 由题意,总成本为 C=20000+100x.所以总利润为 P=R

?300x-x -20000,0≤x≤400, 2 -C=? ?60000-100x,x>400,
?300-x,0≤x≤400, ? P′=? ?-100,x>400. ?

2

令 P′=0,得 x=300,易知当 x=300 时,总利润最大. 5.(文)内接于半径为 R 的球并且体积最大的圆锥的高为( A.R 4 C.3R [答案] C [解析] 设圆锥的高为 h,底面半径为 r,则 R2=(h-R)2+r2,∴ r2=2Rh-h2, 1 π 2 π ∴V=3πr2h=3h(2Rh-h2)=3πRh2-3h3, 4 4 V′=3πRh-πh2,令 V′=0 得 h=3R. B.2R 3 D.4R )

(理)要制做一个圆锥形的漏斗, 其母线长为 20cm, 要使其体积最 大,则高为( 3 A. 3 cm 16 3 C. 3 cm [答案] D [解析] 设圆锥的高为 x,则底面半径为 202-x2, 1 其体积为 V=3πx(400-x2) (0<x<20), 1 20 3 V′=3π(400-3x2),令 V′=0,解得 x= 3 . 20 3 20 3 当 0<x< 3 时,V′>0;当 3 <x<20 时,V′<0, 20 3 所以当 x= 3 时,V 取最大值. 6.(2012· 保定模拟)定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(1)=1,且 f(x) 1 的导函数 f ′(x)>2,则满足 2f(x)<x+1 的 x 的集合为( A.{x|-1<x<1} C.{x|x<-1 或 x>1} [答案] B [解析] 令 g(x)=2f(x)-x-1, 1 ∵f ′(x)>2,∴g′(x)=2f ′(x)-1>0,∴g(x)为单调增函数,∵ f(1)=1,∴g(1)=2f(1)-1-1=0, ∴当 x<1 时,g(x)<0,即 2f(x)<x+1,故选 B. 7.(文)用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长 方体的长与宽之比为 2? 1 ,该长方体的最大体积是________. B.{x|x<1} D.{x|x>1} ) ) 10 3 B. 3 cm 20 3 D. 3 cm

[答案] 3m3 9 [解析] 设长方体的宽为 x,则长为 2x,高为2-3x (0<x<2),
?9 ? 故体积为 V=2x2?2-3x?=-6x3+9x2, ? ?

V′=-18x2+18x,令 V′=0 得,x=0 或 1, ∵0<x<2,∴x=1. ∴该长方体的长、宽、高各为 2m、1m、1.5m 时,体积最大,最 大体积 Vmax=3m3. (理)用总长为 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所 制作容器的底面的一边比另一边长 0.5m,那么容器的容积最大时, 容器的高为________. [答案] 1.2m [解析] 设容器的短边长为 xm, 则另一边长为(x+0.5)m, 14.8-4x-4?x+0.5? 高为 =3.2-2x. 4 由 3.2-2x>0 和 x>0,得 0<x<1.6, 设容器的容积为 ym3, 则有 y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0<x<1.6), 整理得 y=-2x3+2.2x2+1.6x, ∴y′=-6x2+4.4x+1.6, 令 y′=0,有-6x2+4.4x+1.6=0,即 15x2-11x-4=0, 4 解得 x1=1,x2=-15(不合题意,舍去), ∴高=3.2-2=1.2,容积 V=1×1.5×1.2=1.8. 1 8.(文)(2011· 北京模拟)若函数 f(x)=lnx-2ax2-2x 存在单调递减

区间,则实数 a 的取值范围是________. [答案] (-1,+∞) [分析] 函数 f(x)存在单调减区间,就是不等式 f ′(x)<0 有实数 解,考虑到函数的定义域为(0,+∞),所以本题就是求 f ′(x)<0 在 (0,+∞)上有实数解时 a 的取值范围. [解析] 1-ax -2x 1 解法 1:f ′(x)= x -ax-2= ,由题意知 x
2

f ′(x)<0 有实数解,∵x>0,∴ax2+2x-1>0 有实数解.当 a≥0 时, 显然满足;当 a<0 时,只要 Δ=4+4a>0,∴-1<a<0,综上知 a>- 1. 1-ax -2x 1 解法 2:f ′(x)=x -ax-2= , x 由题意可知 f ′(x)<0 在(0,+∞)内有实数解. 即 1-ax2-2x<0 在(0,+∞)内有实数解. 1 2 即 a>x2-x 在(0,+∞)内有实数解. 1 2 1 ∵x∈(0,+∞)时,x2-x=(x-1)2-1≥-1,∴a>-1. (理)(2011~2012· 黄冈市期末)对于三次函数 y=ax3 +bx2+cx+ d(a≠0),给出定义:设 f ′(x)是函数 y=f(x)的导数,f ″(x)是 f ′(x) 的导数, 若方程 f″(x)=0 有实数解 x0, 则称点(x0, 0))为函数 y=f(x) f(x 的“拐点”. 某同学经过探究发现: 任何一个三次函数都有“拐点”; 任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若 f(x) 1 1 5 =3x3-2x2+3x-12,请你根据这一发现,求: 1 1 5 (1)函数 f(x)=3x3-2x2+3x-12的对称中心为________; 1 2 3 4 2013 (2)计算 f( 2014 )+f( 2014 )+f( 2014 )+f( 2014 )+?+f( 2014 ) =
2

________. 1 [答案] (1)(2,1) (2)2013 [解析] (1)f ′(x)=x2-x+3,f″(x)=2x-1,由 2x-1=0 得 x 1 1 1 1 1 1 1 5 =2,f(2)=3×(2)3-2×(2)2+3×2-12=1,由拐点的定义知 f(x)的拐 1 点即对称中心为(2,1). 2014-k k k k (2)∴f(2014)+f(1-2014)=f(2014)+f( 2014 )=2(k=1,2,?, 1007), 1 2 2013 1 2013 2 ∴f(2014)+f(2014)+?+f(2014)=[f(2014)+f(2014)]+[f(2014)+ 2012 1006 1008 1007 f(2014)]+?+[f(2014)+f(2014)]+f(2014)=2×1006+1=2013. 9.有一个容积 V 一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶,已知单位面 积铝合金的价格是铁的 3 倍,问如何设计使总造价最小? [分析] 桶的总造价要根据铁与铝合金的用量来定,由于二者单 位面积的价格不同, 在保持铁桶容积不变的前提下, 使总造价最小. 问 题转化为 V 一定求总造价 y 的最小值,选取恰当变量(圆柱高 h 或底 半径 r)来表示 y 即变为函数极值问题. [解析] 设圆柱体高为 h,底面半径为 r,又设单位面积铁的造价 为 m,桶总造价为 y,则 y=3mπr2+m(πr2+2πrh). V 2mV 由于 V=πr2h,得 h=πr2,所以 y=4mπr2+ r (r>0). 2mV 所以,y′=8mπr- r2 .
? V ?1 ? V ?1 V 令 y′=0,得 r=?4π?3,此时,h=πr2=4?4π?3. ? ? ? ?

该函数在(0,+∞)内连续可导,且只有一个使函数的导数为零

? V ?1 的点,问题中总造价的最小值显然存在,当 r=?4π?3时,y 有最小值, ? ?

即 h?r=4 时,总造价最小. 10.(文)已知球的直径为 d,求当其内接正四棱柱体积最大时, 正四棱柱的高为多少? [解析] 如右图所示,设正四棱柱的底面边长为 x,高为 h,

由于 x2+x2+h2=d2, 1 ∴x2=2(d2-h2). ∴球内接正四棱柱的体积为 1 V=x2· 2(d2h-h3),0<h<d. h= 1 3 V′=2(d2-3h2)=0,∴h= 3 d. 在(0,d)上,函数变化情况如下表: h V′ V
? 3 ? ?0, d? 3 ? ?

3 3d 0 极大 值

? 3 ? ? d,d? ? 3 ?

+ ↗

- ↘

3 由上表知体积最大时,球内接正四棱柱的高为 3 d.

(理)

π 如右图所示,扇形 AOB 中,半径 OA=1,∠AOB=2,在 OA 的 延长线上有一动点 C,过点 C 作 CD 与 AB 相切于点 E,且与过点 B 所作的 OB 的垂线交于点 D, 问当点 C 在什么位置时, 直角梯形 OCDB 的面积最小. [分析] 要求直角梯形 OCDB 的面积的最小值, 需先求出梯形面 积,可设 OC=x,进而用 x 表示 BD,然后利用导数的方法求最小值. [解析] 如上图所示,过 D 作 DF⊥OA 于 F,可知 △OEC≌△DFC, 所以 OC=CD,设 OC=x(x>1), 在 Rt△CDF 中,CD2=CF2+DF2,即 x2=(x-BD)2+1, 所以 BD=x- x2-1, 所以梯形的面积为 1 1 S=2(BD+OC)· OB=2(2x- x2-1), 1 S′=2(2- x ). x -1
2

令 S′=0,解得 x1=

2 2 ,x2=- (舍去). 3 3

当 x>

2 2 时,S′>0;当 1<x< 时,S′<0. 3 3

2 3 所以当 x= 3 时,S 取最小值. 2 3 即当 OC= 3 时,直角梯形 OCDB 的面积最小. 能力拓展提升 1 1 11.已知非零向量 a、b 满足:|a|=2|b|,若函数 f(x)=3x3+2|a|x2 +a· 在 R 上有极值,设向量 a、b 的夹角为 θ,则 cosθ 的取值范围 bx 为(
?

)
?1 ? A.?2,1? ? ? ?1 ? B.?2,1? ? ? ?

1? ? C.?-1,2?
?

1? ? D.?-1,2?
?

[答案] D [解析] ∵函数 f(x)在 R 上有极值,∴f ′(x)=x2+|a|x+a· b=0 1 有两不等实根,∴Δ=|a|2-4|a|· |b|cosθ=4|b|2-8|b|2cosθ>0,∴cosθ<2, ∴选 D. [点评] 若 f(x)为三次函数,f(x)在 R 上有极值,则 f ′(x)=0 应 有二不等实根,当 f(x)有两相等实根时,不能保证 f(x)有极值,这一 1 点要特别注意,如 f(x)=3x3,f ′(x)=x2=0 有实根 x=0,但 f(x)在 R 上单调增,无极值.即导数为 0 是函数有极值的必要不充分条件. 12.如图,过函数 y=xsinx+cosx 图象上点(x,y)的切线的斜率 为 k,若 k=g(x),则函数 k=g(x)的图象大致为( )

[答案] A [解析] ∵y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx, ∴k=g(x)=xcosx,易知其图象为 A. 1 13. 函数 f(x)=2x3+2x2-x+1 的图象与 x 轴交点个数为________ 个. [答案] 1 [解析] 1 f ′(x)=6x2 +x-1=(3x-1)(2x+1),当 x<- 2 时,

1 1 1 f ′(x)>0,当-2<x<3时,f ′(x)<0,当 x>3时,f ′(x)>0,∴f(x)在(- 1 1 1 1 ∞,-2)上单调递增,在(-2,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递 增, 1 11 1 43 ∴当 x=-2时, f(x)取到极大值 8 , x=3时, 当 f(x)取到极小值54, 故 f(x)的图象与 x 轴只有一个交点. 14.将边长为 1m 的正三角形薄铁皮,沿一条平行于某边的直线 ?梯形的周长?2 剪成两块,其中一块是梯形,记 s= ,则 s 的最小值是 梯形的面积 ________. [答案] 32 3 3

[解析] 设 DE=x, 则梯形的周长为:3-x, 1 3 3 梯形的面积为:2(x+1)·2 (1-x)= 4 (1-x2),
2 ?3-x?2 4 3 x -6x+9 ∴s= = 3 · ,x∈(0,1), 1-x2 3 2 4 ?1-x ?

x2-6x+9 -6x2+20x-6 设 h(x)= ,h′(x)= . 1-x2 ?1-x2?2 1 令 h′(x)=0,得:x=3或 x=3(舍),
?1? ∴h(x)最小值=h?3?=8, ? ?

4 3 32 3 ∴s 最小值= 3 ×8= 3 . 15.(文)甲乙两地相距 400km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速 度不得超过 100km/h,已知该汽车每小时的运输成本 P(元)关于速度 1 1 v(km/h)的函数关系是 P=19200v4-160v3+15v. (1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式; (2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时 运输成本的最小值.

400 [解析] (1)汽车从甲地到乙地需用 v h,故全程运输成本为 Q=
3 2 400P v 5v v =48- 2 +6000

(0<v≤100).

v2 (2)Q′=16-5v,令 Q′=0 得,v=80, 2000 ∴当 v=80km/h 时, 全程运输成本取得最小值, 最小值为 3 元. (理)(2011· 江苏)请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD 是边长 为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角 三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图中的点 P, 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上,是被切去的 一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=x(cm).

(1)若广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大, 试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求 出此时包装盒的高与底面边长的比值. [解析] 设包装盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm),由已知得 60-2x a= 2x,h= = 2(30-x),0<x<30. 2 (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800, 所以当 x=15 时,S 取得最大值. (2)V=a2h=2 2(-x3+30x2),V′=6 2x(20-x).

由 V′=0 得 x=0(舍)或 x=20. 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈(20,30)时,V′<0. 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最大值. h 1 1 此时a=2.即包装盒的高与底面边长的比值为2. 16.(文)

用一块钢锭浇铸一个厚度均匀, 且全面积为 2m2 的正四棱锥形有 盖容器(如右图).设容器的高为 hm,盖子边长为 am. (1)求 a 关于 h 的函数解析式; (2)设容器的容积为 Vm3, 则当 h 为何值时, 最大?求出 V 的最 V 大值.(容器的厚度忽略不计)

[解析] (1)如右图,作 PO⊥平面 ABCD,O 为垂足,作 OE⊥BC 于 E,连结 PE,则 PE⊥BC,正四棱锥的全面积为 1 2=4×2×a× 所以 a= a h2+?2?2+a2.

1 (h>0). 1+h2

1 1 h (2)V=3a2h=3· 2(h>0), 1+h
2 1-h2 1 ?1+h ?-h?2h? V′=3· = . ?1+h2?2 3?1+h2?2

所以当 0<h<1 时,V′>0.所以 V(h)在(0,1]上为增函数. 当 h>1 时,V′<0,所以 V(h)在[1,+∞)上为减函数. 故 h=1 为函数 V(h)的唯一极大值点也是最大值点, 1 ∴Vmax=6. 1 答:当高 h=1m 时,容积取最大值6m3. (理)如图,有一矩形钢板 ABCD 缺损了一角(如图所示),边缘线 OM 上每一点到点 D 的距离都等于它到边 AB 的距离.工人师傅要将 缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形,若 AB=1m,AD= 0.5m, 问如何画切割线 EF 可使剩余部分五边形 ABCEF 的面积最大?

[解析] 由题知,边缘线 OM 是以点 D 为焦点,直线 AB 为准线 的抛物线的一部分. 1 以 O 点为原点, 所在直线为 y 轴建立直角坐标系, D(0, ), AD 则 4 1 1 M(2,4).

1 所以边缘线 OM 所在抛物线的方程为 y=x2(0≤x≤2).

要使如图的五边形 ABCEF 面积最大,则必有 EF 所在直线与抛 物线相切,设切点为 P(t,t2). 则直线 EF 的方程为 y=2t(x-t)+t2,即 y=2tx-t2, 1+4t2 1 由此可求得点 E,F 的坐标分别为 E( 8t ,4),F(0,-t2). 1 1+4t 1 所以 S△DEF=S(t)=2· 8t ·4+t2) (
4 2 1 16t +8t +1 1 =64· ,t∈(0,2]. t 4 2 1 48t +8t -1 所以 S′(t)=64· t2 2

3 3 3?4t2+1??t+ 6 ??t- 6 ? ?12t -1??4t +1? = = , 64t2 16t2
2 2

3 3 1 显然函数 S(t)在(0, 6 ]上是减函数,在( 6 ,2]上是增函数.所 3 以当 t= 6 时,S△DEF 取得最小值,相应地,五边形 ABCEF 的面积最 大. 3 1 1 此时点 E、F 的坐标分别为 E( 3 ,4),F(0,-12).

此时沿直线 EF 划线可使五边形 ABCEF 的面积最大.

1.函数 f(x)的定义域为 R,导函数 f ′(x)的图象如图所示,则函 数 f(x)( )

A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、两个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点 [答案] C [解析] 设 f ′(x)与 x 轴的 4 个交点,从左至右依次为 x1、x2、 x3、x4, 当 x<x1 时,f ′(x)>0,f(x)为增函数, 当 x1<x<x2 时,f ′(x)<0,f(x)为减函数, 则 x=x1 为极大值点, 同理,x=x3 为极大值点,x=x2,x=x4 为极小值点. 2.函数 f(x)=excosx 的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角的余 弦值为( ) 5 B. 5

5 A.- 5

2 C. 2 [答案] C

D.1

[解析] f ′(x)=excosx-exsinx,∴f ′(0)=1. 设 f(x)在点(0,f(0))处切线的倾斜角为 α,则 tanα=1, π 2 ∵α∈(0,π),∴α=4,∴cosα= 2 . 5π? ? sinθ 3cosθ 3.设函数 f(x)= 3 x3+ 2 x2+tanθ,其中 θ∈?0,12?,则导 ? ? 数 f ′(1)的取值范围为( A.[-2,2] C.[ 3,2] [答案] D [解析] ∵f ′(x)=sinθ·2+ 3cosθ· x x, π? ? ∴f ′(1)=sinθ+ 3cosθ=2sin?θ+3?.
? ?

) B.[ 2, 3] D.[ 2,2]

5π? ? π ?π 3π? ∵θ∈?0,12?,∴θ+3∈?3, 4 ?.
? ? ? ?

π? ? 2 ? ? ∴sin?θ+3?∈? ,1?,∴f ′(1)∈[ 2,2],故选 D. ? ? ?2 ? 4.某工厂要围建一个面积为 128m2 的矩形堆料场,一边可以用 原有的墙壁,其他三边要砌新的墙壁,要使砌墙所用的材料最省,堆 料场的长、宽应分别为________. [答案] 16m 8m 128 [解析] 设场地宽为 xm,则长为 x m, 128 因此新墙总长度为 y=2x+ x (x>0),

128 y′=2- x2 ,令 y′=0,∵x>0,∴x=8. 因为当 0<x<8 时,y′<0;当 x>8 时,y′>0, 所以当 x=8 时,y 取最小值,此时宽为 8m,长为 16m. 即当堆料场的长为 16m,宽为 8m 时,可使砌墙所用材料最省. 5.(2011· 陕西文)设 f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f ′(x). (1)求 g(x)的单调区间和最小值; 1 (2)讨论 g(x)与 g(x)的大小关系; 1 (3)求 a 的取值范围,使得 g(a)-g(x)<a对任意 x>0 成立. 1 1 [解析] ∵f(x)=lnx,∴f ′(x)=x,g(x)=lnx+x . x-1 ∴g′(x)= x2 ,令 g′(x)=0 得 x=1, 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,∴(0,1)是 g(x)的单调减区间; 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0.∴(1,+∞)是 g(x)的单调增区间, 因此当 x=1 时 g(x)取极小值,且 x=1 是唯一极值点,从而是最 小值点. 所以 g(x)最小值为 g(1)=1. 1 (2)g(x)=-lnx+x 1 1 令 h(x)=g(x)-g(x )=2lnx-x+x, ?x-1?2 则 h′(x)=- x2 , 1 当 x=1 时,h(1)=0,即 g(x)=g(x), 当 x∈(0,1)∪(1,+∞)时 h′(x)<0,h′(1)=0,所以 h(x)在(0,

+∞)单调递减, 1 当 x∈(0,1)时,h(x)>h(1)=0,即 g(x)>g(x), 1 当 x∈(1,+∞)时,h(x)<h(1)=0,即 g(x)<g(x ), 1 综上知,当 x∈(0,1)时,g(x)>g(x); 1 当 x=1 时,g(x)=g(x); 1 当 x∈(1,+∞)时,g(x)<g(x). (3)由(1)可知 g(x)最小值为 1, 1 1 所以 g(a)-g(x)<a对任意 x>0 成立等价于 g(a)-1<a,即 lna<1, 解得 0<a<e. 所以 a 的取值范围是(0,e). 6.学习曲线是 1936 年美国康乃尔大学 T.P.Wright 博士在飞机制 造过程中,通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究,首次发 现 并 提 出 来 的 . 已 知 某 类 学 习 任 务 的 学 习 曲 线 为 : f(t) = 3 · 100%(其中 f(t)为该任务的程度,t 为学习时间),且这类学习 4+a·-t 2 任务中的某项任务满足 f(2)=60%. (1)求 f(t)的表达式,计算 f(0)并说明 f(0)的含义; f?t? (2)已知 2x>xln2 对任意 x>0 恒成立, 现定义 t 为该类学习任务在 t 时刻的学习效率指数,研究表明,当学习时间 t∈(1,2)时,学习效率 最佳,当学习效率最佳时,求学习效率指数相应的取值范围. [解析] (1)∵f(t)= 3 · 100%(t 为学习时间),且 f(2)=60%, 4+a·-t 2



3 · 100%=60%,解得 a=4. 4+a·-2 2

3 3 ∴f(t)= 100%= · 100%(t≥0), -t· 4+a· 2 4?1+2-t? ∴f(0)= 3 · 100%=37.5%, 4?1+2-0?

f(0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为 37.5%. f?t? (2)令学习效率指数 t =y, f?t? 3 3 则 y= t = -t = t (t>0), 4t?1+2 ? 4?t+2t? t 现研究函数 g(t)=t+2t的单调性, 2t-t·tln2 2t-tln2+1 2 由于 g′(t)=1+ = (t>0), t 2 2t ?2 ? 又已知 2x>xln2 对任意 x>0 恒成立,即 2t-tln2>0,则 g′(t)>0 恒成立, ∴g(t)在(0,+∞)上为增函数,且 g(t)为正数. f?t? ∴y= t = t (t>0)在(0,+∞)上为减函数, 4?t+2t? 3

f?1? 1 f?2? 3 而 y|t=1= 1 =2,y|t=2= 2 =10, f?t? 3 1 即 y= t ∈(10,2), 3 1 故所求学习效率指数的取值范围是(10,2). 7.(2012· 延边州质检)已知函数 f(x)=x2+ax-lnx,a∈R. (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围;

(3)令 g(x)=f(x)-x2,是否存在实数 a,当 x∈(0,e](e 是自然对 数的底数)时,函数 g(x)的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存 在,说明理由. [解析]
2 1 2x +x-1 (1)当 a=1 时,由 f ′(x)=2x+1- x = = x

1 2?x-2??x+1? , x ∵函数 f(x)=x2+x-lnx 的定义域为(0,+∞), 1 1 ∴当 x∈(0,2]时,f ′(x)≤0,当 x∈[2,+∞)时,f ′(x)≥0, 1 所以函数 f(x)=x2+x-lnx 的单调递减区间为(0, ]单调递增区间 2 1 为[2,+∞).
2 1 2x +ax-1 (2)f ′(x)=2x+a-x= ≤0 在[1,2]上恒成立, x

? ?h?1?≤0 ? ? 令 h(x)=2x +ax-1,有 得? 7 ? a≤- ?h?2?≤0
2

a≤-1 2

?

7 ,得 a≤-2.

(3)假设存在实数 a, g(x)=ax-lnx(x∈(0, 使 e])有最小值 3, g′(x) 1 ax-1 =a-x= x . ①当 a≤0 时, g(x)在(0, e]上单调递减, min=g(e)=ae-1=3, g(x) 4 a=e(舍去),∴g(x)无最小值. 1 1 1 ②当 0<a<e 时,g(x)在(0,a)上单调递减,在(a,e]上单调递增, 1 ∴g(x)min=g(a)=1+lna=3,a=e2,满足条件.

1 ③当a≥e 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3, 4 a=e(舍去),∴f(x)无最小值. 综上,存在实数 a=e2,使得当 x∈(0,e]时,f(x)有最小值 3. 8.(2012· 山东苍山县模拟)某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤 蘑菇的成本 20 元,并且每公斤蘑菇的加工费为 t 元(t 为常数,且 2≤t≤5),设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为 x 元(25≤x≤40),根据 市场调查,日销售量 q 与 ex 成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为 30 元 时,销售量为 100kg.(每日利润=日销售量×(每公斤出厂价-成本价 -加工费)). (1)求该工厂的每日利润 y 元与每公斤蘑菇的出厂价 x 元的函数关 系式; (2)若 t=5, 当每公斤蘑菇的出厂价 x 为多少元时, 该工厂的利润 y 最大,并求最大值. k k [解析] (1)设日销售量 q=ex,则e30=100,∴k=100e30, 100e30 ∴日销售量 q= ex , 100e30?x-20-t? ∴y= (25≤x≤40). ex 100e30?x-25? (2)当 t=5 时,y= , ex 100e30?26-x? y′= . ex 由 y′≥0 得 x≤26,由 y′≤0 得 x≥26, ∴y 在[26,25]上单调递增,在[26,40]上单调递减, ∴当 x=26 时,ymax=100e4.

当每公斤蘑菇的出厂价为 26 元时,该工厂的利润最大,最大值 为 100e4 元.


3-3 导数的实际应用

3-3 导数的实际应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档3-3 导数的实际应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考一号理科...

3-3导数的实际应用

3-3 导数的实际应用 基础巩固强化 1.(文)正三棱柱体积为 V,则其表面积最小时,底面边长为( 3 A. V [答案] C 3 [解析] 设正三棱柱底面边长为 a,高...

高考数学一轮总复习 3-3导数的实际应用

【走向高考】2015 届高考数学一轮总复习 3-3 导数的实际应用课后 强化作业 新人教 A 版 基础巩固强化一、选择题 1.(文)正三棱柱体积为 V,则其表面积最小时...

1.3.3导数的实际应用

1.3.3导数的实际应用_数学_高中教育_教育专区。高二数学导学案 课题 课标要求主要问题 1.3.3 导数的实际应用用问题中的作用. 如何利用导数解决最值问题 内容导...

3.3.3导数的实际应用

高二数学导学案(文倾)教学课题:3.3.3 导数的实际应用 课标要求:通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际应用问题中的作用。 本节主要...

3.3.3导数的实际应用(文

3.3 导数的实际应用导学案 徐万山学习目标: 掌握导数在解决实际问题中的应用 学习重点难点: 掌握导数在解决实际问题中的应用. 自主复习 1 2 1、 已知 a ? 0...

1.3.3 导数的实际应用

1.3.3 导数的实际应用_数学_高中教育_教育专区。人教B版选修2-2第一章导数学案和配套的课件1.3.3 导数的实际应用 【我的目标】 1.了解导数在解决实际问题中...

2015届高考数学一轮总复习 3-3导数的实际应用

2015届高考数学一轮总复习 3-3导数的实际应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015 届高考数学一轮总复习 3-3 导数的实际应用 基础巩固强化一、选择题 1.(...

导数(3)导数在实际生活中的应用

导数(3)导数实际生活中的应用_数学_高中教育_教育专区。专题一、目标要求: 导数实际生活中的应用 1、了解什么是最优化问题及最优化问题的类型(经营利润最大...