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徐州市2013高三一模数学试卷及答案


徐州市 2012–––2013 学年度高三第一次质量检测

数学Ⅰ
注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) 。本试卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、考

试号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写 在试卷及答题纸上的规定位置。 3. 作答试题, 必须用 0.5 毫米的黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答, 在其它位置作答一律无效。 4. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式:
球的表面积为 S ? 4?R 2 ,其中 R 表示球的半径。 一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. . ........ 1.已知全集 U ? {0,1,2,3}, 集合 A ? {0,1}, B ? {1,2,3}, 则 (C U A) ? B ? 2.已知 i 是虚数单位,实数 a, b 满足 ( 3 ? 4i )(a ? bi ) ? 10i , 则 3a ? 4b ? ▲ ▲ . .

3.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数据画出了如图所示的频 率分布直方图, 现要从这 10000 人中再用分层抽样的方法抽出 100 人作进一步调查, 则月收 网 入在 [2500,3000) (元)内应抽出 ▲ 人.新 课 标 第 一
开始 输入 n 频率/组距
S ?0

0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 月收入(元)
n?2

输出 S
S?S?n

结束
n?n?1

(第 3 题图)

(第 4 题图

4.如图是一个算法的流程图,若输入 n 的值是 10,则输出 S 的值是 ▲

.

5.若一个长方体的长、宽、高分别为 3 、 2 、1,则它的外接球的表面积是 ▲

.

6.从 0,1,2,3 这四个数字中一次随机取两个数字,若用这两个数字组成无重复数字的两位数, 则所得两位数为偶数的概率是 ▲ .wwW. x k B 1.c Om 7.已知等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a 2 a 8 ? 2a 3 a 6 , S 5 ? ?62 ,则 a1 的值是 ▲
x2 a2 ? y2 b2

.

8.已知双曲线

? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F , 若以 F 为圆心的圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 与

此双曲线的渐近线相切,则该双曲线的离心率为 ▲

.

9.由命题“ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? m ? 0 ”是假命题,求得实数 m 的取值范围是 (a ,??) ,则实数 a 的 值是 ▲ .

? x ? 0, ? 10.已知实数 x, y 满足约束条件 ? y ? 2 x ? 1, ( k 为常数) ,若目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 ?x ? y ? k ? 0 ?

11 ,则实数 k 的值是 ▲ 3

.

? 3 x , x ? [0,1] ? 11.已知函数 f ( x ) ? ? 9 3 ,当 t ? [0,1] 时, f ( f ( t )) ? [0,1] ,则实数 t 的取值范围是 ? ? x , x ? (1,3] ?2 2



.www.X k b1.coM

12.已知角 ? 的终边经过点 P (1,?1) , A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 是函数 f ( x ) ? sin(?x ? ? )(? ? 0) 图象 点 上的任意两点,若 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 时, x1 ? x 2 的最小值为

?

,则 f ( ) 的值是 ▲ 3 2

?

.

13.若对满足条件 x ? y ? 3 ? xy( x ? 0, y ? 0) 的任意 x, y , ( x ? y) 2 ? a( x ? y) ? 1 ? 0 恒成立,则 实数 a 的取值范围是 ▲ . 14.如图,在等腰三角形 ABC 中,已知 AB ? AC ? 1, A ? 120?, E , F 分别是边 AB, AC 上的点,且

AE ? m AB, AF ? n AC , 其中 m , n ? (0,1), 若 EF , BC 的中点分别为 M , N , 且 m ? 4n ? 1, 则
MN 的最小值是 ▲

.

A E B F M N
第 14 题图

C

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题纸指定的区域内作答,解答题应写出文字 ........... 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 在△ ABC ,已知 (sin A ? sin B ? sin C )(sin B ? sin C ? sin A) ? 3 sin B sin C . (1) 求角 A 值; (2) 求 3 sin B ? cos C 的最大值.w W w. xK b 1. c om 16.(本小题满分 14 分) 如图, 在四棱柱 ABCD ? A1 B1C 1 D1 中, 已知平面 AA1 C 1 C ? 平面 ABCD , 且 AB ? BC ? CA ? 3 ,
AD ? CD ? 1 .

(1) 求证: BD ? AA1 ; (2) 若 E 为棱 BC 的中点, 求证:AE // 平面 DCC 1 D1 .
A1 B1

D1 C1

D A
第 16 题 图

C

E B

17.(本小题满分 14 分) 如图,两座建筑物 AB, CD 的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是 9 cm 和 15 cm ,从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的视角 ?CAD ? 45? . (1) 求 BC 的长度; (2) 在线段 BC 上取一点 P ( 点 P 与点 B, C 不重合) ,从点 P 看这两座建筑物的视角分别为 ?APB ? ? , ?DPC ? ? , 问点 P 在何处时, ? ? ? 最小? w W w. xK b 1. c om

D A

?
B P

?
C
第 17 题图

18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :
x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,且过点 ( 2 ,

6 ). 2

(1) 求椭圆 E 的方程;新 课 标 第 一 网 (2) 若点 A , B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭圆上 异于 A , B 的任意一点,直线 AP 交 l 于点 M . (ⅰ)设直线 OM 的斜率为 k 1 , 直线 BP 的斜率为 k 2 ,求证: k 1 k 2 为定值; (ⅱ)设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m . 求证:直线 m 过定点,并求出定点的坐标.

y P A
O

M

B
x
l

m
19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a x ? x 2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1). (1) 求函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2) 求函数 f ( x ) 单调区间;

(3) 若存在 x1 , x 2 ? [?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? 1(e 是自然对数的底数) ,求实数 a 的取 值范围. 20. (本小题满分 16 分)新 课标 第一网 已 知 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ? 0, 令 a1 ? a, b1 ? b, 且 对 任 意 正 整 数 k , 当 a k ? bk ? 0 时 ,

a k ?1 ?

1 1 3 1 1 3 a k ? bk , bk ?1 ? bk ; 当 a k ? bk ? 0 时, bk ?1 ? ? a k ? bk , a k ?1 ? a k . 2 4 4 4 2 4

(1) 求数列 {a n ? bn } 的通项公式; (2) 若对任意的正整数 n , a n ? bn ? 0 恒成立,问是否存在 a, b 使得 {bn } 为等比数列?若存 在,求出 a, b 满足的条件;若不存在,说明理由; (3) 若对任意的正整数 n, a n ? bn ? 0, 且 b2n ?

3 b2n?1 , 求数列 {bn } 的通项公式. 4

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数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括 A 、 B 、C 、 D 四小题,请选定其中两题,并在答题卡指定区域内作答, 若多做,则按作答的前两题评分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A[选修 4—1 :几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,AB 是⊙ O 的一条切线, 切点为 B , 直线 ADE , CFD, CGE 都是⊙ O 的割线, 已知 AC ? AB . 求证: FG // AC wwW. x kB 1.c Om
G O
C

F
D A

E
B
第 21—A 题图

B. [选修 4—2 :矩阵与变换](本小题满分 10 分)
?a 0? y2 x2 ? ? 1, 求矩 (a ? 0, b ? 0) 对应的变换下变成椭圆 E : 若圆 C : x 2 ? y 2 ? 1 在矩阵 A ? ? ? 4 3 ? 0 b?

阵 A 的逆矩阵 A ? 1 . C. [选修 4—4 :坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
? ?x ? ? ? 在平面直角坐标系 xOy 中, C 的参数方程为 ? 圆 ? ?y ? ? ? 2 ? r cos ? , 2 (? 为参数, r ? 0) ,以 O 为极点, 2 ? r sin? 2

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ?
直线 l 的最大距离为 3 ,求 r 的值. D. [选修 4—5 :不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 2, 求 2 x 2 ? 3 y 2 ? z 2 的最小值.

?
4

) ? 1, 若圆 C 上的点到

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分)x k b 1 .c o m 如 图 , 已 知 抛 物 线 C : y 2 ? 4x 的 焦 点 为 F , 过 F 的 直 线 l 与 抛 物 线 C 交 于
A( x1 , y1 )( y1 ? 0), B( x 2 , y 2 ) 两点, T 为抛物线的准线与 x 轴的交点.

(1) 若 TA ? TB ? 1, 求直线 l 的斜率; (2) 求 ?ATF 的最大值.

y A

T
O

F B

x

第 22 题图

23.(本小题满分 10 分) 已知数列 {a n } 满足 a n?1 ?

1 2 1 a n ? na n ? 1(n ? N * ), 且 a1 ? 3. 2 2

(1) 计算 a 2 , a 3 , a 4 的值,由此猜想数列 {a n } 的通项公式,并给出证明;
n (2) 求证:当 n ? 2 时, a n ? 4n n .

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数学Ⅰ试题参考答案与评分标准
一、填空题 1. {2,3} 8. 2. 0 3. 25 4. 54 5. 6? 6.

5 9

7. ?2

2 7 3 5 7 37 9. 1 10. ?3 11. [log3 ,1] 12. ? 13. (??, ] 14. 2 7 5 3 6 二、解答题 15.⑴因为 (sin A ? sin B ? sin C )(sin B ? sin C ? sin A) ? 3sin B sin C , 由正弦定理,得 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,????????????????2 分
所以 b2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,所以 cos A ? 因为 A? (0, ?) ,所以 A ?

b2 ? c2 ? a 2 1 ? ,????????????4 分 2bc 2

? .??????????????????????6 分 3 ? 2? 2? ⑵ 由 A ? ,得 B ? C ? ,所以 3sin B ? cos C ? 3sin B ? cos( ? B) 3 3 3 1 3 ? ? 3 sin B ? (? cos B ? sin B) ? sin( B + ) ,??????????????10 分 2 2 6 2? ? ? ?? 因为 0 ? B ? ,所以 ? B + ? ,?????????????????12 分 3 6 6 6 ? ? ? 当 B + ? ,即 B ? 时, 3sin B ? cos C 的最大值为 1 . ????????14 分 6 2 3
16.⑴在四边形 ABCD 中,因为 BA ? BC , DA ? DC ,所以 BD ? AC ,?????2 分 又平面 AAC1C ? 平面 ABCD ,且平面 AA1C1C ? 平面 ABCD ? AC ,新 课 1
标第 一 网

BD ? 平面 ABCD ,所以 BD ? 平面 AA1C1C ,???????????????4 分
又因为 AA1 ? 平面 AA1C1C ,所以 BD ? AA1 .???????????????7 分 ⑵在三角形 ABC 中,因为 AB ? AC ,且 E 为 BC 中点,所以 AE ? BC ,???9 分 又因为在四边形 ABCD 中, AB ? BC ? CA ? 3 , DA ? DC ? 1 , 所以 ?ACB ? 60? , ?ACD ? 30? ,所以 DC ? BC ,所以 AE ? DC ,????12 分 因为 DC ? 平面 DCC1 D1 , AE ? 平面 DCC1 D1 ,所以 AE ? 平面 DCC1 D1 .?14 分 17.⑴作 AE ? CD ,垂足为 E ,则 CE ? 9 , DE ? 6 ,设 BC ? x , 则 tan ?CAD ? tan(?CAE + ?DAE) ?

tan ?CAE + tan ?DAE ???????2 分 1 ? tan ?CAE ? tan ?DAE

9 6 + ? x x ? 1 ,化简得 x 2 ? 15 x ? 54 ? 0 ,解之得, x ? 18 或 x ? ?3 (舍) 9 6 1? ? x x
答: BC 的长度为 18m .????????????????????????6 分 ⑵设 BP ? t ,则 CP ? 18 ? t (0 ? t ? 18) ,

9 15 + 162 + 6t 6(27 + t ) t 18 ? t ? tan(? + ? ) ? ? 2 .?????????8 分 2 9 15 ?t + 18t ? 135 ?t + 18t ? 135 1? ? t 18 ? t
设 f (t ) ?

t 2 + 54t ? 27 ? 23 27 + t , f ?(t ) ? 2 , 令 f ?(t )? 0, 因 为 0 ? t ? 18 , 得 (t ? 18t + 135) 2 ?t 2 + 18t ? 135

t ? 15 6 ? 27 ,当 t ? (0,15 6? 27) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是减函数;当 t ? (15 6 ? 27,18)
时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是增函数,新 课
标第 一 网

所以,当 t ? 15 6 ? 27 时, f (t ) 取得最小值,即 tan(? + ? ) 取得最小值,???12 分 因为 ?t 2 + 18t ? 135 ? 0 恒成立,所以 f (t ) ? 0 ,所以 tan(? + ? ) ? 0 , ? + ? ? ( , ?) , 因为 y ? tan x 在 ( , ?) 上是增函数,所以当 t ? 15 6 ? 27 时, ? + ? 取得最小值. 答:当 BP 为 (15 6 ? 27)m 时, ? + ? 取得最小值. ???????????14 分 18.⑴由题意得 2c ? 2 ,所以 c ? 1 ,又

? 2

? 2

2 3 + 2 ? 1 ,?????????????2 分 2 a 2b 1 消去 a 可得, 2b4 ? 5b2 ? 3 ? 0 ,解得 b2 ? 3 或 b2 ? ? (舍去) ,则 a 2 ? 4 , 2 2 2 x y ? ? 1 .????????????????????4 分 所以椭圆 E 的方程为 4 3
⑵(ⅰ)设 P( x1 , y1 )( y1 ? 0) , M (2, y0 ) ,则 k1 ?

y1 y0 , k2 ? , x1 ? 2 2

因为 A, P, B 三点共线,所以 y0 ?

y0 y1 4 y12 4 y1 ? , 所以, k1k2 ? ,8 分 x1 ? 2 2( x1 ? 2) 2( x12 ? 4)

因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 y12 ? (4 ? x12 ) ,故 k1k2 ?

3 4

4 y12 3 ? ? 为定值.10 分 2( x12 ? 4) 2

(ⅱ)直线 BP 的斜率为 k2 ?

y1 2 ? x1 ,直线 m 的斜率为 km ? ,x k b 1 .c o m x1 ? 2 y1

则直线 m 的方程为 y ? y0 ?

2 ? x1 ( x ? 2) ,????????????????12 分 y1

y?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 4 y12 2 ? x1 2 ? x1 2(2 ? x1 ) 4 y1 ( x ? 2) ? y0 ? x? ? ? x? y1 y1 y1 x1 ? 2 y1 ( x1 ? 2) y1

?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 12 ? 3x12 2 ? x1 2 ? x1 2 ? x1 x? ( x ? 1) , = = x? y1 y1 y1 y1 ( x1 ? 2) y1
?????????????????????16 分

所以直线 m 过定点 (?1,0) .

19.⑴因为函数 f ( x) ? a x + x2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1) , 所以 f ?( x) ? a x ln a + 2x ? ln a , f ?(0) ? 0 ,????????????????2 分 又因为 f (0) ? 1 ,所以函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 . ????4 分 ⑵由⑴, f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a ? 2 x + ( a x ?1)ln a . 因为当 a ? 0, a ? 1 时,总有 f ?( x) 在 R 上是增函数, ????????????8 分 又 f ?(0) ? 0 ,所以不等式 f ?( x) ? 0 的解集为 (0, +?) , 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, +?) .??????????????????10 分 ⑶因为存在 x1 , x2 ?[?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ e ? 1 成立, 而当 x ? [?1,1] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x)max ? f ( x)min ,新 课
标第 一 网

所以只要 f ( x)max ? f ( x)min ≥ e ? 1即可.?????????????????12 分 又因为 x , f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:

x
f ?( x)
f ( x)

(??,0)

0 0

(0, +?)

?
减函数

+
增函数

极小值

所以 f ( x) 在 [?1,0] 上是减函数,在 [0,1] 上是增函数,所以当 x ? [?1,1] 时, f ? x ? 的最小值

f ? x ?min ? f ? 0? ? 1, f ? x ? 的最大值 f ? x ?max 为 f ? ?1? 和 f ?1? 中的最大值.

1 ? 2ln a , a 1 1 2 1 令 g (a) ? a ? ? 2ln a(a ? 0) ,因为 g ?(a) ? 1 + 2 ? ? (1 ? )2 ? 0 , a a a a 1 所以 g (a) ? a ? ? 2ln a 在 a ? ? 0, ?? ? 上是增函数.新 课 标第 一 网 a
因为 f (1) ? f (?1) ? (a + 1 ? ln a) ? ( + 1 + ln a) ? a ? 而 g (1) ? 0 ,故当 a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) ; 当 0 ? a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) .???????????????14 分 所以,当 a ? 1 时, f (1) ? f (0) ≥ e ? 1,即 a ? ln a ≥ e ? 1 ,函数 y ? a ? ln a 在 a ? (1, ??) 上

1 a

≥ ? ,即 是增函数,解得 a ≥ e ;当 0 ? a ? 1 时, f (? 1)? f (0) e 1

1 ? ln a ≥ e? 1,函数 a

1 1 ? ln a 在 a ? (0,1) 上是减函数,解得 0 ? a ≤ . a e 1 综上可知,所求 a 的取值范围为 a? (0, ] ? [e, +?) .????????????16 分 e 1 1 3 20.⑴当 an ? bn ≥ 0 时, an?1 ? an ? bn 且 bn?1 ? bn , 2 4 4 1 1 3 1 所以 an?1 ? bn?1 ? an ? bn ? bn ? (an ? bn ) ,??????????????2 分 2 4 4 2 1 1 3 又当 an ? bn ? 0 时, bn?1 ? ? an ? bn 且 an?1 ? an , 4 2 4 3 1 1 1 an?1 ? bn?1 ? an ? an ? bn ? (an ? bn ) ,????????????????4 分 4 4 2 2 1 因此,数列 ?a n ? bn ?是以 a ? b 为首项, 为公比的等比数列, 2 y?

?1? 所以, a n ? bn ? (a ? b) ? ? ?2?

n ?1

.?????????????????????5 分
n ?1

⑵因为 an ? bn ? 0 ,所以 a n ?1 ?

3 ? 3? a n ,所以 an ? a ? ? 4 ? 4?
n ?1



?1? bn ? (a ? b) ? ? ?2?

n ?1

?1? ? an ? (a ? b) ? ? ? 2?

? 3? ? a? ? ? 4?

n ?1

,?????????????8 分

假设存在 a , b ,使得 ?bn ? 能构成等比数列,则 b1 ? b , b2 ? 故(

2b ? a 4b ? 5a , b3 ? , 4 16

2b ? a 2 4b ? 5a ) ?( )b ,化简得 a ? b ? 0 ,与题中 a ? b ? 0 矛盾, 4 16

故不存在 a , b 使得 ?bn ? 为等比数列. ?????????????????10 分 ⑶因为 an + bn ? 0 且 b2 n ? 所以

3 1 1 b2 n ?1 ,所以 b2 n ? ? a 2 n ?1 ? b2 n ?1 4 4 2

3 1 1 1 3 1 b2 n ?1 ? ? a2n?1 ? b2n?1 ? ? a2n?1 ? b2n?1 ? b2n?1 4 4 2 4 4 4
3 4 1 4

所以 (b2n?1 ? b2n?1 ) ? ? (a2n?1 ? b2n?1 ) ,?????????????????12 分

?1? 由⑴知, a2 n ?1 ? b2 n ?1 ? (a ? b) ? ? ?2?

2n?2

a?b?1? ,所以 b2 n ?1 ? b2 n ?1 ? ? ? ? 3 ?2?

2n?2

b2n?1 ? b1 ? (b3 ? b1 ) ? ?(b2n?1 ? b2n?3 ) x k b 1. c o m
a?b? ?1? ?1? ?1? ?1? ?b? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ?2? ?2? ? 2? ? 2? ?
2 4 6 2n?4

? ? ? ?

? ? 1 ?n ?1 ? n ?1 ?1 ? ? a?b? ?4? ? 4(a ? b) ? ? 1 ? ? ? ? ?b? ?b? 1 ? ? ? ? ,?????????????13 分 ? 3 ? 1? 1 ? 9 ? ?4? ? ? ? ? 4 ? ? ?
n 3 3 (a ? b) ? ? 1 ? ? b2 n ? b2 n ?1 ? b ? 1 ? ? ? ? ,??????????????????14 分 ? 4 4 3 ? ?4? ? ? ?
n ?1 ? ? ? 4(a ? b) ? ? 1 ? 2 ? ?b ? 1? , n为奇数时, ? ? ?4? ? 9 ? ? ? ? ? 所以, bn ? ? ?????????????16 分 n ? 3 (a ? b) ? ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? b? ? , n为偶数时. 3 ? ?4? ? ?4 ? ? ?

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数学Ⅱ试题参考答案与评分标准
2 21.A.因为 AB 为切线, AE 为割线,所以 AB ? AD ? AE ,

又因为 AC ? AB ,所以 AD ? AE ? AC 2 .?????????????????4 分 所以

AD AC ,又因为 ?EAC ? ?DAC ,所以 △ ADC ∽ △ ACE , ? AC AE

所以 ?ADC ? ?ACE ,又因为 ?ADC ? ?EGF ,所以 ?EGF ? ?ACE , 所以 GF ? AC .???????????????????????????10 分 B.设点 P ( x, y ) 为圆 C: x2 ? y 2 ? 1 上任意一点,经过矩阵 A 变换后对应点为 P?( x?, y?) ,

? x? ? ax, ? a 0 ? ? x ? ? ax ? ? x? ? 则? ????????????????2 分 ? ? y ? ? ?by ? ? ? y ?? ,所以 ? y ? ? by. ?0 b? ? ? ? ? ? ? ?
因为点 P?( x?, y?) 在椭圆 E :

x2 y2 a 2 x2 b2 y 2 + ? 1 上,所以 + ? 1 ,??????4 分 4 3 4 3

? a2 ? ? 1, ?a2 ? 4, ? ?4 又圆方程为 x2 ? y 2 ? 1 ,故 ? 2 ,即 ? 2 ,又 a ? 0 , b ? 0 ,所以 a ? 2 , b ? 3 . ?b ? 3, ? b ? 1, ? ?3 ?
所以 A ? ?

?2 ?0

0? ? ,??????????????????????????6 分 3?
? 0 ? ? .?????????????????????????10 分 3? 3 ? ?
2 ? r cos? , 2 ( ? 为参数, r ? 0 ) ,消去参数得, 2 ? r sin ? 2

?1 ?2 所以 A?1 ? ? ? ?0 ?

? ?x ? ? ? C.因为圆 C 的参数方程为 ? ?y ? ? ? ?
2 2

? ? 2? ? 2? 2 2? 2 ,半径为 r ,??3 分 ?x? ? ?? y? ? ? r ? r ? 0 ? ,所以圆心 C ? ? ? ? ? ? ? 2 ,? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ?
因为直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 1 ,化为普通方程为 x ? y ? 2 ,???6 分

? 4

?
圆心 C 到直线 x ? y ? 2 的距离为 d ?

2 2 ? ? 2 2 2 2

? 2 ,????????8 分

又因为圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3,即 d ? r ? 3 ,所以 r ? 3 ? 2 ? 1 .?10 分

1 ? 1 ? D.由柯西不等式, ( x ? y ? z )2 ≤ ?( 2 x) 2 ? ( 3 y) 2 ? z 2 ? ? ?( ) 2 ? ( ) 2 ? 12 ? ,??5 分 ? ? ? 2 3 ?
因为 x + y + z ? 2 ,所以 2 x2 ? 3 y 2 ? z 2 ≥

24 , 11
标第 一 网

当且仅当

2x 3y z 6 4 12 ? ? ,即 x ? , y ? , z ? 时,等号成立,新 课 1 1 1 11 11 11 2 3

所以 2 x2 ? 3 y 2 ? z 2 的最小值为

24 .???????????????????10 分 11

22.⑴因为抛物线 y 2 ? 4 x 焦点为 F ?1,0 ? , T ( ?1,0) .

??? ??? ??? ??? TB TB 当 l ? x 轴时, A(1, 2) , B (1, ?2) ,此时 TA? ? 0 ,与 TA? ? 1 矛盾,?????2 分
所以设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入 y 2 ? 4 x ,得 k 2 x2 ? (2k 2 + 4) x + k 2 ? 0 , 则 x1 + x2 ?

2k 2 + 4 2 , x1 x2 ? 1 , ①所以 y12 y2 ? 16 x1 x2 ? 16 ,所以 y1 y2 ? ?4 ,②?4 分 k2

??? ??? TB 因为 TA? ? 1 ,所以 ( x1 + 1)( x2 + 1) + y1 y2 ? 1 ,将①②代入并整理得, k 2 ? 4 ,
所以 k ? ?2 .??????????????????????????????6 分 y y y 1 1 ⑵因为 y1 ? 0 , 所以 tan ?ATF ? 1 ? 2 1 ? 当且仅当 1 ? , y1 ? 2 时, 即 ≤1 , y1 1 4 y1 x1 ? 1 y1 ? ?1 4 y1 4 取等,所以 ?ATF ≤ ,所以 ?ATF 的最大值为

? 4

? .????????10 分 4

23.⑴ a2 ? 4 , a3 ? 5 , a4 ? 6 ,猜想: an ? n + 2(n ? N* ) .???????????2 分 ①当 n ? 1 时, a1 ? 3 ,结论成立; ②假设当 n ? k (k ≥1, k ?N* ) 时,结论成立,即 ak ? k + 2 ,
2 则当 n ? k + 1 时, ak ?1 ? ak ? kak ? 1= (k + 2)2 ? k (k +2)+1=k +3=(k +1)+2 ,

1 2

1 2

1 2

1 2

即当 n ? k + 1 时,结论也成立,由①②得,数列{an } 的通项公式为 an ? n + 2(n ? N* ) .5 分

⑵原不等式等价于 (1 + )n ≥ 4 . 证明:显然,当 n ? 2 时,等号成立; 当 n ? 2 时, (1 ? )n ? C0 ? C1 n n

2 n

2 2 2 2 2 2 n 2 ? C2 ( )2 ? ? ? Cn ( )n ≥ C0 ? C1 ? C2 ( )2 ? C3 ( )3 n n n n n n n n n n n n 2 2 2 > C0 ? C1 ? C2 ( )2 ? 5 ? ? 4 , n n n n n n

n 综上所述,当 n ≥ 2 时, an ≥ 4nn .???????????????????10 分

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