nbhkdz.com冰点文库

上海市崇明中学2015-2016学年高一上学期勤奋杯竞赛数学试题


崇明中学高一勤奋杯数学试卷
一. 填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1、函数 y ? log2 ( x ? 2) 的定义域是_ (2 , ? ?) ___________ _. 2、已知 lg 2 ? a, lg 3 ? b, 则 lg 45 的值用 a,b 表示为 3、

已知函数 y ? f ( x) 存在反函数 y ? f 则f
?1 ?1

1 ? 2b ? a

( x) , 若函数 y ? f ( x ? 1) 的图像经过点 (3 , 1) ,

(1) 的值是_2__________.
?log 2 x, x ? 0,
2 ? x ,   x ? 0.

4、已知函数 f ( x) ? ?

则不等式 f ( x) ? 1 的解集为_ ?? ?,?1? ? ?2,??? ______.

5 、 已 知 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 [0, ? ?) 上 单 调 递 增 , 则 满 足

f (m) ? f (1) 的实数 m 的范围是

?1 ? m ? 1


1.

6、已知函数 f ? x ? ? log2 x ? x ? 2 的零点在区间 ? n, n ?1?? n ? Z ? 内,则 n ?

7、设 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? 2 ,则下列不等式恒成立的有①③______.(填 不等式序号)

a ? b ? 2 ;③ a 2 ? b 2 ? 2 . 8x 8、 若 x>0,y>0,且 y= ,则 x+y 的最小值为 18 x?2
9、已知 f ? n ? ? ?

① ab ? 1 ;②

? ?n ? 3, n ? 10, 则 f ? 8? ? _ f f n ? 5 , n ? 10. ? ? ? ? ? ? ? ?

7

10 、已知 f(x)是定义在 (??, ??) 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2x ,若函数 f(x)在
2

t ?1 区间[-1,t]上的最小值为-1,则实数 t 的取值范围是 . 2 11、已知函数 f(x)=-x +4x,x ? [m,5]的值域是[-5,4],则实数 m 的取值范围是[-1,2]
12 、 已 知 函 数 f ( x) ? 10x , 对 于 实 数 m 、 n 、 p 有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,

f (m ? n ? p) ? f (m) ? f (n) ? f ( p) ,则 p 的最大值等于
13、已知 a ? 0 ,函数 f ( x ) ?
x ? 2a x ? 2a

2 lg 2 ? lg 3
1 ,则 a 的值为 2



在区间 ?1, 4? 上的最大值等于

2 3 或 3 2

14、设定义域为 R 的函数 f ( x ) ? ?

? x ? 1 , x ? 0, ,找出一 组 b 和 c 的值,使得关于 x 的方 2 ?( x ? 1) , x ? 0
3 1 ,c ? 2 2

2 程 f ( x) ? b ? f ( x) ? c ? 0 有 7 个不同的实根 b ? ?

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、 若 a ? b ? c ,则函数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b ? ? ? x ? b ?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? 的两个零点分别 位于区间(A A. ? a, b ? 和 ? b, c ? 内 C. ? b, c ? 和 ? c, ??? 内 ) B. ? ??, a ? 和 ? a, b ? 内 D. ? ??, a ? 和 ? c, ??? 内

16、已知命题 a:如果 x<3,那么 x<5;命题 b:如果 x ? 3,那么 x ? 5;命题 c:如果 x ? 5,那么 x ? 3。关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是 ( A ) ①命题 a 是命题 b 的否命题,且命题 c 是命题 b 逆命题 ②命题 a 是命题 b 的逆命题,且命题 c 是命题 b 的否命题 ③ 命题 b 是命题 a 的否命题,且命题 c 是命题 a 的逆否命题 A、①③ B、② C、②③ D、①②③ 17、设 f ( x ) 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 A. f ( x) f (? x) 是奇函数 C. f ( x) ? f (? x) 是偶函数 ( D )

B. f ( x) f (? x) 是奇函数 D. f ( x) ? f (? x) 是偶函数

18.设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在闭区间 [a , b] ? D ,使得函数 f ( x) 满足:① f ( x) 在 [a , b] 上是单调函数;② f ( x) 在 [a , b] 上的值域是 [2a , 2b] ,则称区间 [a , b] 是函 数 f ( x) 的 “和谐区间” . 下列结论错 误的是??????????????? (D
2 A.函数 f ( x) ? x ( x ? 0 )存在“和谐区间”



B.函数 f ( x) ? e ( x ? R )不存在“和谐区间”
x

4x ( x ? 0 )存在“和谐区间” x ?1 ? x 1? D.函数 f ( x) ? loga ? a ? ? ( a ? 0 , a ? 1 )不存在“和谐区间” 8? ?
C.函数 f ( x ) ?
2

三、解答题(本大题满分 24 分) 19、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? log 1

1 ? kx 为奇函数. x ? 1 2

(I)求常 数 k 的值; (Ⅱ)若 a ? b ? 1 ,试比较 f (a) 与 f (b) 的大小;
x (Ⅲ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ( ) ? m ,且 g ( x) 在区间 ?3, 4? 上没有零点,求实数 m 的

1 2

取值范围. 解: (I)∵ f ( x) ? log 1

1 ? kx 为奇函数 2 x ?1

[

∴ f ( ? x) ? ? f ( x) , 即 log 1
2

………………………………………………………………(1 分) ………………………………………(2 分)

1 ? kx 1 ? kx x ?1 ? ? log 1 ? log 1 ? x ?1 2 x ?1 2 1 ? kx

网 ZXXK]

∴ ∴

1 ? kx x ?1 ? ,即 1 ? k 2 x 2 ? 1 ? x 2 ,整理得 k 2 ? 1 . ………………………(3 分) ? x ? 1 1 ? kx
k ? ?1 ( k ? 1 使 f ( x) 无意义而舍去)
…………………………………(4 分)

(Ⅱ) f ( x) ? log 1

1? x . x ? 1 2
……………………………………(5 分)

1? a 1? a 1? b f (a) ? f (b) ? log 1 ? log 1 ? log 1 a ? 1 1? b a ? 1 b ? 1 2 2 2 b ?1
? log 1
2

(1 ? a)(b ? 1) ab ? a ? b ? 1 ? log 1 ………………………………………(6 分) (a ? 1)(1 ? b) 2 ab ? a ? b ? 1

当 a ? b ? 1 时, ab ? a ? b ? 1 ? ab ? a ? b ? 1 ? 0 , …………………………… ………(7 分) 所以 0 ?
ab ? a ? b ? 1 ab ? a ? b ? 1 ? log 1 1 ? 0 , ………………………(8 分) ? 1 ,从而 log 1 ab ? a ? b ? 1 2 ab ? a ? b ? 1 2

即 f (a) ? f (b) ? 0 . 所以 f (a ) ? f (b) . ………………………………………………(9 分)

(Ⅲ)由(2)知, f ( x ) 在 (1, ??) 递增, …………………………………………(10 分)
x 所以 g ( x) ? f ( x) ? ( ) ? m 在 ?3, 4? 递增.

1 2

…………………………………(11 分)

∵ g ( x) 在区间 ?3, 4? 上没有零点, ∴ g (3) ? log 1

1?1 1 3 9 ?( ) ?m ? ? ?m ? 0 2 8 2 3 ?1

…………………………………(12 分)

或 g (4) ? log 1

1? 4 1 4 5 1 ? ( ) ? m ? log 1 ? ? m ? 0 , 2 16 2 4 ?1 2 3

………………… …(13 分)

∴ m?

9 1 5 ? log 1 . 或m ? 8 16 2 3

……………………………………………………(14 分)

20. (本题满分 12 分) 函数 fn ( x) ? x ? bx ? c(n ? Z , b, c ? R) .
n

(1)若 n ? ?1 ,函数 f ? x ? 在区间 ?2, ??? 上是单调递增函数,求实数 b 的取值范围;
网 Z*X*X*K]

学*科*

(2) 设 n ? 2 ,若对 任意 x1, x2 ?[?1,1], f2 ( x) ? f 2 ( x) ? 4 恒成立,求 b 的取值范围. 解: (1) n ? ?1 时, f ? x ? ?

1 ? bx ? c x

任设 x1 ? x2 ? 2 , f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

1 1 ? bx1 ? c ? ( ? bx2 ? c) x1 x2

?

? x1 ? x2 ?? bx1 x2 ? 1? ………………………………………………..2 分
x1 x2

? x1 ? x2 ? 2, ? x1 ? x2 ? 0, x1x2 ? 0 ,
因为函数 f ? x ? 在 ?2, ??? 上是单调递增函数,故恒有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,..3 分 从而恒有 bx1 x2 ? 1 ? 0 ,即恒有 b ?

1 ,…………………………….4 分 x1 x2

当 x1 ? x2 ? 2 时, x1 x2 ? 4 ,?

1 1 1 ? ,? b ? ……………………..6 分 4 x1 x2 4

(2)当 n ? 2 时 f2 ( x) ? x2 ? bx ? c 对任意 x1 , x2 ?[?1,1] 有 f2 ( x) ? f 2 ( x) ? 4 恒成立等价于 f 2 ( x) 在 [?1,1] 上的最大值与 最小值之差 M ? 4 ……………………..7 分 当?

b ? ?1 ,即 b ? 2 时, f 2 ( x) 在 x ?[?1,1] 上单调递增, 2

所以 f 2 ( x)min ? f 2 (?1) ? 1? b ? c , f 2 ( x)max ? f 2 (1) ? 1 ? b ? c ,所以 M ? 2b ? 4 , 与题设矛盾;……………………………..9 分 当 ?1 ? ?

b b b ? 0 ,即 0 ? b ? 2 时, f 2 ( x) 在 x ? [?1, ? ] 上单调递减,在 x ? [ ? ,1] 上 2 2 2

单调递增,所以 f 2 ( x) min ? f 2 (? ) ? ?
2

b 2

b2 ? c , f2 ( x)max ? f2 (1) ? 1 ? b ? c , 4

?b ? 所以 M ? ? ? 1? ? 4 恒成立,所以 0 ? b ? 2 ;……………………………..11 分 ?2 ?
当0 ? ?

b b b ? 1 ,即 ?2 ? b ? 0 时, f 2 ( x) 在 x ? [?1, ? ] 上单调递减,在 x ? [ ? ,1] 上 2 2 2

单调递增,所以 f 2 ( x) min ? f 2 (? ) ? ?
2

b 2

b2 ? c , f2 ( x)max ? f2 (?1) ? 1 ? b ? c , 4

所以 M ? ? 当?

?b ? ? 1? ? 4 恒成立,所以 ?2 ? b ? 0 ;……………………………….13 分 ?2 ?

b ? ?1 ,即 b ? 2 时, f 2 ( x) 在 x ?[?1,1] 上单调递减, 2

所以 f 2 ( x)min ? f 2 (1) ? 1 ? b ? c , f 2 ( x)max ? f 2 (?1) ? 1 ? b ? c ,所以 M ? ?2b ? 4 , 与题设矛盾.……………………………………… ……………………………………….15 分 综上所述,实数 b 的取值范围是 ?2 ? b ? 2 .………………………………16 分


上海市崇明中学2015-2016学年高一上学期勤奋杯竞赛数学试题

上海市崇明中学2015-2016学年高一上学期勤奋杯竞赛数学试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。崇明中学高一勤奋杯数学试卷一. 填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)...

2015-2016学年高一数学上学期期中试题

2015-2016 学年度上学期(期中)考试高一数学试题【新课标】考试说明: (1)本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分, 满分 150 分. 考试时间为...

上海市延安中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题

上海市延安中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。上海市延安中学 2015 学年第一学期期中考试 高一年级 数学试卷 (考试时间:90 ...

上海市高中名校2015-2016学年高一数学上学期期中试题(含答案)

上海市高中名校2015-2016学年高一数学上学期期中试题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。2015 学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷 (考试时间:90 分钟 满分:...

上海市建平中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题

上海市建平中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,只要求将最终结果直接填写...

河北衡水中学2015-2016学年高一上学期数学试题

河北衡水中学2015-2016学年高一上学期数学试题_数学_高中教育_教育专区。2013—2014 学年度第一学期高一年级考试 数学试卷考试时间:120 分钟 总分:150 分 第Ⅰ卷...

上海市金山中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题

上海市金山中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。金山中学 2015 学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷(考试时间:90 分钟 满分...

上海市建平中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题

上海市建平中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,只要求将最终结果直接填写...

最新精编 上海市高中名校2015-2016学年高一数学上学期期中试题(含答案)

最新精编 上海市高中名校2015-2016学年高一数学上学期期中试题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。金山中学 2015 学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷 (考试...