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不等式选讲高考专题复习


不等式选讲
[知识点复习] 1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性) a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc ⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ⑥(

平方法则) a ? b ? 0 ? an ? bn (n ? N , 且n ? 1) ⑧(倒数法则) a ? b ? 0 ? 2、几个重要不等式 ① a2 ? b2 ? 2ab ? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号). ②(基本不等式) 变形公式: ab ? ②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c

(异向可减性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc
(异向正数可除性) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b c d

⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N , 且n ? 1)

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b

a 2 ? b2 . 2

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取到等号).
?

变形公式:

a ? b ? 2 ab

? a?b? ab ? ? ? . ? 2 ?
2

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式)

a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). 3
④ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ? (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).
2 2 2

⑤ a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0) (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).

b a b a ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b a b b b?m a?n a ?1? ? ⑦ ? 其中 (a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0) a a?m b?n b
⑥ 若ab ? 0, 则 规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. ⑧ 当a ? 0时, ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a; x ⑨绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b . 3、几个著名不等式

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.

2 a?b a 2 ? b2 ①平均不等式: ?1 ? ab ? ? ? a,b ? R ? ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号). ?1 a ?b 2 2
(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均).
1

变形公式:
2 2 ? a?b ? a ?b ab ? ? ; ? ? 2 ? 2 ? 2

( a ? b) 2 a ?b ? . 2
2 2
2

②幂平均不等式: a1 ? a2 ? ... ? an ?
2 2

1 (a1 ? a2 ? ... ? an ) 2 . n

③二维形式的三角不等式:

x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ( x1 , y1 , x2 , y2 ? R).
④二维形式的柯西不等式:

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a, b, c, d ? R).
当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.

⑤三维形式的柯西不等式:

(a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 .
⑥一般形式的柯西不等式:

(a12 ? a22 ? ... ? an2 )(b12 ? b22 ? ... ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2 .
⑦向量形式的柯西不等式: 设 ? , ? 是两个向量,则 ? ? ? ? ? ? , 当且仅当 ? 是零向量,或存在实数 k ,使 ? ? k ? 时,等号成立. ⑧排序不等式(排序原理) : 设 a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 为两组实数. c1 , c2 ,..., cn 是 b1 , b2 ,..., bn 的任一排列,则

? ?? ?

? ?? ?

? ?? ?

??

? ?

? ?

a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ... ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn . (反序和 ? 乱序和 ? 顺序和)
当且仅当 a1 ? a2 ? ... ? an 或 b1 ? b2 ? ... ? bn 时,反序和等于顺序和. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法) 、综合法、分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法: ①舍去或加上一些项,如 (a ? ) ?
2

1 2

3 1 ? (a ? ) 2 ; 4 2

②将分子或分母放大(缩小) ,如

1 1 ? , 2 k k (k ? 1)

1 1 ? , 2 k k (k ? 1)

(

2 2 k

?

2 1 2 ?) ? , k? k k k ? k ?1

1 2 ? (k ? N * , k ? 1) 等. k k ? k ?1
1.不等式 | x ? 5 | ? | x ? 3 |? 10 的解集为 (A)[-5.7] (C) (??, ?5] ? [7, ??) (B)[-4,6] (D) (??, ?4] ? [6, ??)
2

【答案】D

二、填空题 1. 已 知 集 合

A ? B =________.

1 ? ? A ? ? x ? R | x ? 3 ? x ? 4 ? 9? , B ? ? x ? R | x ? 4t ? , t ? (0, ??) ? , 则 集 合 t ? ?

3.不等式 x ?1 ? x ? 3 ? 0 的解集是______. 4. (不等式选做题)若关于 x 的不等式 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在实数解,则实数 a 的取值范围是 解答题: 1.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-2|-|x-5|. (I)证明:-3≤f(x)≤3; (II)求不等式 f(x)≥x -8x+15 的解集.
2

2.不等选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x, a ? 0(1) a ? 1 时, 当 求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (2)如果不等式 f ( x) ? 0 的解集为 x x ? ?1 ,求 a 的值。

?

?

3.选修 4-5:不等式选讲 解不等式: x? | 2 x ? 1|? 3

4.选修 4-5:不等式选讲 设不等式 2x - 1< 的解集为 M. 1 (I)求集合 M; (II)若 a,b∈M,试比较 ab+1 与 a+b 的大小.

3

2010 年试题: 一、填空题: 1. (不等式选做题)不等式 二、解答题: 1.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 (Ⅰ)若不等式 。 的解集为 ,求实数 的值; 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围。 的解集为 .

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若

2.选修 4-5:不等式选讲 设 a、b 是非负实数,求证: 。

4.选修 4-5:不等式选讲

已知

均为正数,证明:

,并确定

为何值时,等号成立。

4

2009 年试题: 1.解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1

2.设函数 (1) 若 解不等式

。 ;(2)如果 , ,求 的取值范围。

3.选修 4-5:不等式选讲 如图,O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与原点的距离,y 表 示 C 到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和. (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70,x 应该在什么范围内取值?

5


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